作为一种定义在层次T网格上的多项式样条,PHT样条(Polynomial splines over Hierarchical T-meshes)具有诸多优良特性:PHT样条曲面具有凸包性、仿射不变性、局部支撑性等;基函数具有单位剖分性、线性无关性等。基于这些特性,PHT样条在模型拟合及等几何分析等领域得到了广泛和成功的应用。PHT样条中层次T网格的加细通过对待细分胞腔进行十字插入得到。该细分方法虽然简单且易于实现,但是在处理某些问题时容易忽略其各向异性特征,仍可能引入冗余的基函数。此外,当T网格中的某些胞腔在某一基点附近被多次细分时,PHT样条的基函数在该点附近可能会出现退化现象,这可导致PHT样条应用于等几何分析时,基函数装配得到的刚度矩阵条件数快速增大,可能造成矩阵病态。除了等几何分析,WEB方法(加权拓展B样条方法,Weight Extended B-splines method)在求解方程中也有其自身的优势。如何将PHT样条与WEB方法更好地相结合,使得PHT样条的优势能够充分发挥,也是值得我们关注的问题。针对以上问题,本文主要做了以下三方面工作。针对PHT样条在处理带有各向异性特征问题时可能会引入冗余控制系数这一问题,本文提出了 MPHT样条(改进的PHT样条,Modified Polynomial splines over Hierarchical T-meshes)。MPHT样条致力于增加PHT样条的灵活性,除了允许十字插入细分外,还允许胞腔仅被水平或者垂直对半剖分。本文提出了一种基于网格中胞腔的各向异性信息和相邻关系的网格细分算法,使得MPHT样条在处理带有各向异性特征的问题时比传统PHT样条更有效率。将MPHT样条应用于模型拟合和等几何分析的实验结果表明,MPHT样条对具有各向异性特性的问题具有一定优势。MPHT样条作为PHT样条的一种扩展也使用截断机制来构造基函数,因此,当网格的某个局部进行多次细分后,MPHT样条的基函数也会出现退化现象。本文为支撑域为矩形结构的MPHT样条基函数,提供了一种替换方法,以减少截断机制的使用。在减轻退化现象的同时,保留了 MPHT样条的基函数的优良性质,如,单位剖分性和线性无关性等。等几何分析的实验结果表明,用新方法构造的MPHT样条的基函数得到的刚度矩阵条件收有较大改善。加权拓展PHT样条是WEB样条在局部细分方面的优化。本文提出了一种基于加权拓展PHT样条的自适应配点法,从而避免了隐式计算域上的积分过程。我们适当地修改了加权拓展PHT样条内外基的分类方法,并且基于PHT样条C1连续的特点,选择高斯超收敛点作为配置点。此外,为了使基函数个数与配置点个数一致保证数值解的稳定性,本文还提供了一种重定位方法。与Greville配点法比较的实验结果表明,本文的方法能以更少的自由度得取得相同精度的的解,同时能有效避免数值结果出现震荡现象。总结来说,本文将PHT样条推广到MPHT样条。针对MPHT样条,我们进一步讨论了其基函数改进策略。此外,我们还提供了一种加权拓展PHT样条的自适应配点法来求解定义在复杂区域上的偏微分方程。