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[教学思考]
一、圆面积的教学起点在哪里?
数学的基础知识和基本概念的产生与生产劳动密切相关。由于测量的需要产生了长度单位，也由于测量的需要产生了面积单位和面积计算方法。成书于公元一世纪的《九章算术》在第一卷“方田”中给出了圆面积最朴素的算法：半周半径相乘得积步。回归生活，创设情境，当实际生活需要时，解决问题才不觉得是勉为其难。人教版的“圆形草坪占地面积是多少平方米?”北师大版的“喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田?”都是基于生活、基于问题解决的数学情境。在这样的问题情境中，学生努力回忆已学旧知，尝而不得，成功创设认知障碍。为后续学习解决这一问题从而使每一个学生获得学习的成功体验做好铺垫。因此回归生活，创设数学问题情境既是圆面积计算的生活起点，也是圆面积计算的教学起点。
二、初步感知圆面积的大小究竟有何作用?
苏教版和北师大版教材在探究圆面积计算公式前均编排了一次初步感知活动。“初步感知——大胆猜想——小心求证——总结归纳”是科学探究的必经之路。数学史研究发现，数学家探究圆面积计算也是一个从模糊到精确、从感性到理性的追求过程。“要知道半径是5米的圆的面积”“可以在方格纸上画圆，再来估算圆的面积”。在方格纸上画图，用数方格来数出圆的面积是基于面积的数学本质。我们知道面积的数学本质是若干个面积单位的集合，面积单位是一个个小正方形，一个平面图形面积的大小就是看它包含了多少个小正方形这种面积单位。所以在方格图上画示意图是依据数学本质和学生学情而来的。因为学生学习长方形面积也是用数方格的方法推导出计算公式来的，之后的正方形、平行四边形、三角形和梯形都是源于长方形面积公式的推论。初步感知圆面积的大小，学生可以发现圆面积与半径之间的关系，同时也渗透了化圆为方的数学思想。
三、圆面积计算公式推导的数学本质和指导思想究竟是什么?
圆是曲线图形，学生不知道如何转化成他们熟悉的直线图形。因为凭借学生的操作得到的不是学生元认知中的标准图形，只是有点像而已。以往的转化无论是两个完全一样的三角形拼成平行四边形。还是平行四边形剪拼成一个长方形。都是所见即所得的实实在在的转化，结果可见，从而降低了学生的认知难度。而圆是曲线图形。仅仅用简单的几次等分拼接不能得到标准的已学图形，教师可以指导学生通过折一折、剪一剪、拼一拼等活动，从4等分开始操作与思考，从有些轮廓到有点像，再到更像，使学生感知图形的变化趋势，并作出理性分析和逻辑推理。这样在有限的操作中获得初步的无限想象和推理，学生容易获得数学结论。所以感性的操作是圆面积推导的基础。而理性的思辨却是圆面积推导的关键。数学史研究发现：化圆为方、等积变形、极限思想和合情推理是圆面积计算公式推导最上位的指导思想。
根据教学内容的数学本质和学生数学发现学习的需要，我将教学目标确定为：(1)在具体情境中理解圆面积的含义，让学生通过操作、讨论等数学活动，经历猜想、验证、归纳、发现等数学化过程，引导学生自主探索发现圆的面积计算公式。(2)能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的实际问题。(3)沟通圆与其他图形之间的联系，培养学生的逻辑推理能力，渗透极限、化圆为方等数学思想方法。教学重点是指导学生探索发现圆面积与半径的关系。运用转化思想探索发现圆面积计算公式。教学难点是让学生在操作中初步建立无穷细分的极限思想。
[实践探索]
一、情境导入
出示学校广场圆形喷泉图片：圆形喷泉的半径是4米。在外圈走一圈要走多少米?这个圆形喷泉用了多少平方米的彩色地砖呢?
[设计意图：从学生熟悉的场景引入素材，再通过生活原型到数学问题的提炼。让学生亲历数学化的过程。通过指一指、摸一摸和说一说，引导学生正确区分周长与面积的本质区别，同时以解决实际问题为教学起点，成功创设学生认知障碍，为后续学习做好铺垫，熟悉的学习情境有利于调动学生探究学习的积极性。]
二、方中画圆
1.画一画：用一小格代表边长是1米的正方形。在方格图中画出喷泉示意图(图1)。
师：你能估计一下喷泉大约有多少平方米吗?说说你的想法。
(生估计圆面积)
师：我们可以用数方格的方法来验证估计的结果。
师：这样数，很麻烦，我们只数四分之一圆吧。(图2)
填空：半径是( )m，1/4圆的面积是( )m2，圆的面积大约是( )m2，右上角正方形的面积是( )m2，圆的面积大约是正方形面积的( )倍。
2.猜一猜：圆的面积和半径有什么关系?
3.数一数：验证猜想1/4圆的面积是( )m2。圆的面积大约是( )m2。正方形的面积大约是( )m2。
圆的面积大约是正方形面积(半径平方)的几倍?
学生自主发现结论：圆的面积是它半径平方的3倍多一些。
[设计意图：在方格纸上画出圆形喷泉示意图，从生活问题中抽象出数学问题，实现生活化向数学化的自然过渡，看方格图中的圆，估计面积的近似数，使学生的估计有了思维的拐杖。从一个一个数方格到优化数方格的方法。采用只数四分之一个圆的办法，为架构圆面积和半径平方数之间的关系铺平了道路。]
三、化圆为方
师：用这样数方格的方法来探求圆的面积既不方便也不准确，如何寻找一个既方便又准确的计算方法呢?
生：研究圆面积的计算公式。
师：我们在探究平行四边形面积计算公式的时候是怎么做的?
生：将平行四边形剪拼成一个长方形。发现平行四边形面积计算公式的。
师：那么你有办法将一个圆转化成我们熟悉的平面图形吗?请大家在小组中商量商量，用手中的工具、圆纸片试一试。
策略一：折一折，想一想(学生把圆折为近似的等腰三角形。交流过程略)
策略二：剪一剪，拼一拼
生：我们把一个圆剪成4个相等的扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有点像平行四边形。(展示学生作品)
师：有点轮廓。
生：我们小组将圆剪成8个相等的扇形，拼起来更像平行四边形了。
师：要让拼出的图形更像一个平行四边形。怎么办?
生：再等分得小一些。
师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分成了16份、32份，看拼成的新的图形，你有什么发现呢?(课件演示)再来看看64、128等分的。
生：越来越接近长方形了。
师：是的。平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。拼成的长方形与原来的圆有什么联系?如何求这个长方形的面积?我们把圆转化成了长方形。形状变了，什么没变呢?与同桌相互说说你的想法。
[设计意图：波利亚曾经说过：学习任何知识的最佳途径都是由自己发现的，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。我们要让知识回归本源。引导学生经历数学家探究发现这一知识的全过程。数方格实际上是数一个一个的面积单位，数不是一种最优化的数学方法，需要引导学生在此基础上建立一个数学模型。动手操作，将圆转化为一个熟悉的平面图形是一种有效的策略。如何转化?遇到难题从简单想起是探究发现有效的突破口。学生从4等分、8等分、16等分开始操作，在操作中观察，在观察中发现。手、口、脑多种感官有效结合，学生的主体作用得到充分发挥，并引导学生初步感受“变与不变”的辩证思想，提高了学生分析问题、解决问题的能力。学生通过有限的操作与思考。发现不易操作的无限分割中存在的趋势，这样的操作有目的，观察有依据，在合情推理模式中学生自主发现圆面积计算公式。数学模型的建立水到渠成。]
四、解决问题
1.解决实际问题。
例9：一个自动旋转喷水器的最远喷水距离大约是5米。它旋转一周后喷灌的面积约有多少平方米?
2.完成“练一练”。
五、回顾与拓展
今天学习了圆的面积。说说你的收获?看看课前大家看到的圆形喷泉彩色地砖吧。
大家有什么发现?(都是一块块梯形地砖铺起来的)这就是利用化圆为方的思想来铺地砖的。生活中有很多地方运用了化圆为方的转化思想，请你找一找，写一篇数学小论文。
[设计意图：化圆为方、化曲为直在本课中得到了充分的体现，课的最后，拉近圆形喷泉图片，学生看到原来圆形喷泉是由一块块等腰梯形的地砖拼成的。让学生深切地感受到了“方”“圆”之间的内在联系。用现实情况体现了化圆为方在生活中的应用，转化思想得到了极好的渗透。]
一、圆面积的教学起点在哪里?
数学的基础知识和基本概念的产生与生产劳动密切相关。由于测量的需要产生了长度单位，也由于测量的需要产生了面积单位和面积计算方法。成书于公元一世纪的《九章算术》在第一卷“方田”中给出了圆面积最朴素的算法：半周半径相乘得积步。回归生活，创设情境，当实际生活需要时，解决问题才不觉得是勉为其难。人教版的“圆形草坪占地面积是多少平方米?”北师大版的“喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田?”都是基于生活、基于问题解决的数学情境。在这样的问题情境中，学生努力回忆已学旧知，尝而不得，成功创设认知障碍。为后续学习解决这一问题从而使每一个学生获得学习的成功体验做好铺垫。因此回归生活，创设数学问题情境既是圆面积计算的生活起点，也是圆面积计算的教学起点。
二、初步感知圆面积的大小究竟有何作用?
苏教版和北师大版教材在探究圆面积计算公式前均编排了一次初步感知活动。“初步感知——大胆猜想——小心求证——总结归纳”是科学探究的必经之路。数学史研究发现，数学家探究圆面积计算也是一个从模糊到精确、从感性到理性的追求过程。“要知道半径是5米的圆的面积”“可以在方格纸上画圆，再来估算圆的面积”。在方格纸上画图，用数方格来数出圆的面积是基于面积的数学本质。我们知道面积的数学本质是若干个面积单位的集合，面积单位是一个个小正方形，一个平面图形面积的大小就是看它包含了多少个小正方形这种面积单位。所以在方格图上画示意图是依据数学本质和学生学情而来的。因为学生学习长方形面积也是用数方格的方法推导出计算公式来的，之后的正方形、平行四边形、三角形和梯形都是源于长方形面积公式的推论。初步感知圆面积的大小，学生可以发现圆面积与半径之间的关系，同时也渗透了化圆为方的数学思想。
三、圆面积计算公式推导的数学本质和指导思想究竟是什么?
圆是曲线图形，学生不知道如何转化成他们熟悉的直线图形。因为凭借学生的操作得到的不是学生元认知中的标准图形，只是有点像而已。以往的转化无论是两个完全一样的三角形拼成平行四边形。还是平行四边形剪拼成一个长方形。都是所见即所得的实实在在的转化，结果可见，从而降低了学生的认知难度。而圆是曲线图形。仅仅用简单的几次等分拼接不能得到标准的已学图形，教师可以指导学生通过折一折、剪一剪、拼一拼等活动，从4等分开始操作与思考，从有些轮廓到有点像，再到更像，使学生感知图形的变化趋势，并作出理性分析和逻辑推理。这样在有限的操作中获得初步的无限想象和推理，学生容易获得数学结论。所以感性的操作是圆面积推导的基础。而理性的思辨却是圆面积推导的关键。数学史研究发现：化圆为方、等积变形、极限思想和合情推理是圆面积计算公式推导最上位的指导思想。
根据教学内容的数学本质和学生数学发现学习的需要，我将教学目标确定为：(1)在具体情境中理解圆面积的含义，让学生通过操作、讨论等数学活动，经历猜想、验证、归纳、发现等数学化过程，引导学生自主探索发现圆的面积计算公式。(2)能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的实际问题。(3)沟通圆与其他图形之间的联系，培养学生的逻辑推理能力，渗透极限、化圆为方等数学思想方法。教学重点是指导学生探索发现圆面积与半径的关系。运用转化思想探索发现圆面积计算公式。教学难点是让学生在操作中初步建立无穷细分的极限思想。
[实践探索]
一、情境导入
出示学校广场圆形喷泉图片：圆形喷泉的半径是4米。在外圈走一圈要走多少米?这个圆形喷泉用了多少平方米的彩色地砖呢?
[设计意图：从学生熟悉的场景引入素材，再通过生活原型到数学问题的提炼。让学生亲历数学化的过程。通过指一指、摸一摸和说一说，引导学生正确区分周长与面积的本质区别，同时以解决实际问题为教学起点，成功创设学生认知障碍，为后续学习做好铺垫，熟悉的学习情境有利于调动学生探究学习的积极性。]
二、方中画圆
1.画一画：用一小格代表边长是1米的正方形。在方格图中画出喷泉示意图(图1)。
师：你能估计一下喷泉大约有多少平方米吗?说说你的想法。
(生估计圆面积)
师：我们可以用数方格的方法来验证估计的结果。
师：这样数，很麻烦，我们只数四分之一圆吧。(图2)
填空：半径是( )m，1/4圆的面积是( )m2，圆的面积大约是( )m2，右上角正方形的面积是( )m2，圆的面积大约是正方形面积的( )倍。
2.猜一猜：圆的面积和半径有什么关系?
3.数一数：验证猜想1/4圆的面积是( )m2。圆的面积大约是( )m2。正方形的面积大约是( )m2。
圆的面积大约是正方形面积(半径平方)的几倍?
学生自主发现结论：圆的面积是它半径平方的3倍多一些。
[设计意图：在方格纸上画出圆形喷泉示意图，从生活问题中抽象出数学问题，实现生活化向数学化的自然过渡，看方格图中的圆，估计面积的近似数，使学生的估计有了思维的拐杖。从一个一个数方格到优化数方格的方法。采用只数四分之一个圆的办法，为架构圆面积和半径平方数之间的关系铺平了道路。]
三、化圆为方
师：用这样数方格的方法来探求圆的面积既不方便也不准确，如何寻找一个既方便又准确的计算方法呢?
生：研究圆面积的计算公式。
师：我们在探究平行四边形面积计算公式的时候是怎么做的?
生：将平行四边形剪拼成一个长方形。发现平行四边形面积计算公式的。
师：那么你有办法将一个圆转化成我们熟悉的平面图形吗?请大家在小组中商量商量，用手中的工具、圆纸片试一试。
策略一：折一折，想一想(学生把圆折为近似的等腰三角形。交流过程略)
策略二：剪一剪，拼一拼
生：我们把一个圆剪成4个相等的扇形，把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有点像平行四边形。(展示学生作品)
师：有点轮廓。
生：我们小组将圆剪成8个相等的扇形，拼起来更像平行四边形了。
师：要让拼出的图形更像一个平行四边形。怎么办?
生：再等分得小一些。
师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分成了16份、32份，看拼成的新的图形，你有什么发现呢?(课件演示)再来看看64、128等分的。
生：越来越接近长方形了。
师：是的。平均分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。拼成的长方形与原来的圆有什么联系?如何求这个长方形的面积?我们把圆转化成了长方形。形状变了，什么没变呢?与同桌相互说说你的想法。
[设计意图：波利亚曾经说过：学习任何知识的最佳途径都是由自己发现的，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中内在的规律、性质和联系。我们要让知识回归本源。引导学生经历数学家探究发现这一知识的全过程。数方格实际上是数一个一个的面积单位，数不是一种最优化的数学方法，需要引导学生在此基础上建立一个数学模型。动手操作，将圆转化为一个熟悉的平面图形是一种有效的策略。如何转化?遇到难题从简单想起是探究发现有效的突破口。学生从4等分、8等分、16等分开始操作，在操作中观察，在观察中发现。手、口、脑多种感官有效结合，学生的主体作用得到充分发挥，并引导学生初步感受“变与不变”的辩证思想，提高了学生分析问题、解决问题的能力。学生通过有限的操作与思考。发现不易操作的无限分割中存在的趋势，这样的操作有目的，观察有依据，在合情推理模式中学生自主发现圆面积计算公式。数学模型的建立水到渠成。]
四、解决问题
1.解决实际问题。
例9：一个自动旋转喷水器的最远喷水距离大约是5米。它旋转一周后喷灌的面积约有多少平方米?
2.完成“练一练”。
五、回顾与拓展
今天学习了圆的面积。说说你的收获?看看课前大家看到的圆形喷泉彩色地砖吧。
大家有什么发现?(都是一块块梯形地砖铺起来的)这就是利用化圆为方的思想来铺地砖的。生活中有很多地方运用了化圆为方的转化思想，请你找一找，写一篇数学小论文。
[设计意图：化圆为方、化曲为直在本课中得到了充分的体现，课的最后，拉近圆形喷泉图片，学生看到原来圆形喷泉是由一块块等腰梯形的地砖拼成的。让学生深切地感受到了“方”“圆”之间的内在联系。用现实情况体现了化圆为方在生活中的应用，转化思想得到了极好的渗透。]