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[摘 要]深度学习是较浅层学习而言的，深度学习就是学生在学习过程中通过深层思考真正理解知识。在实际教学中，教师通过挖掘知识来源、知识本源和知识文化背景，促进学生进行深度学习。因为只有挖掘出数学知识的来源、本源、文化背景，才能激发学生的求知欲望，引发学生深度思考，从而实现深度学习。
[关键词]知识本质;深度学习;核心素养;挖掘
深度学习是较浅层学习而言的。浅层学习主要是把知识作为孤立的内容进行接受式学习和记忆式学习。浅层学习的主要方式是“讲 听 记 仿 练”，浅层学习得到的知识很快会被忘记。要想改变这种学习方式，需要教师引领学生进行深度学习。深度学习就是学生在学习过程中通过深层思考对知识进行真正理解。只有真正明白、理解知识的形成过程及其根源，才能灵活应用知识解决问题。在实际教学中，教师应深入分析教材，挖掘出数学知识本质，从而促进学生深度学习。
一、挖掘知识来源，促进学生深度学习
教学中，教师不仅要让学生掌握知识，还要挖掘涉及知识的来源，因为学生只有理解知识的来源，才会有深度的思考，从而深度学习。
例如，对于“分数的意义”，教材用一页的篇幅阐述了分数产生的价值，对此教师除了分析此页内容的设计意图，还要挖掘该内容所涉及知识的来源，从而促进学生深度学习。
第一幅图（如图1）呈现的是古代人在度量物体长度时遇到的困惑。他们正在用一根打了几个结的绳子测量石头的长，每两个结之间的一段表示一个长度单位。测量得到这块石头长二结多一点，于是在一旁记录的人提出疑问：“剩下的不足一结怎么记？”当发现不足一结的这部分正好是把一结分割成两份中的一份时，分数的初步应用就出现了。这说明分数正是为了比较精确地测量这类需要分割的量而引入的。第二幅图（如图2）呈现的是用除法计算的问题。分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾，揭示了分数的来源。可以看出，只有把教材设计内容的本质挖掘出来，学生才能进行對分数意义和分数与除法关系等内容的深度学习。
又如，教学度量单位时，要让学生理解计量单位产生的必要性。面积单位的教学是一个典型案例，为了让学生充分理解面积单位产生的必要性，可设计以下几个环节。第一个环节，用重叠的方法比较两个长方形的面积大小。第二个环节，用拼剪的方法继续比较两个长方形的大小。通过不断地剪、拼（覆盖），最后比较发现其中一个长方形比另一个长方形多出一个小长方形或小正方形。第三个环节，引导学生通过剪拼比较最后多出的都是一些小图形：如果直接用这些小图形作为比较的单位去测量这些大图形中有几个这样的小图形，不就直接可以比较出它们的大小了吗？第四个环节，通过选择不同的小图形（长方形、正方形、三角形、圆形）发现用正方形做测量单位最合适。第五个环节，变换需要测量的面积大小，发现用小正方形不方便测量时必须用大正方形作为测量单位去测量。这样，学生对面积单位及多个面积单位产生的必要性就有了充分的理解，深度学习也发生了。
二、挖掘知识本源，促进学生深度学习
本源即一节课的“根源”，抓住一节课的“根源”，并且围绕它进行教学，学生就会真正理解知识，实现深度学习。
1. 概念教学中挖掘知识本源
当前，小学数学概念教学存在很多问题，如教师对概念的讲解浮光掠影、粗枝大叶， 简化概念形成的过程，且将学生要探索的概念知识全盘托出，要求学生死记硬背，导致学生只知其然而不知其所以然。想把概念课上好，教师应剥去数学枯燥乏味的“外衣”，努力挖掘概念的本质，有效呈现概念的形成过程;让学生回到思维的原点，感悟数学的本质。只有这样才能把知识深植于学生的脑海中。
例如，在教学“三角形的稳定性”一课时，大部分教师都会设计这样一个环节：请拿出准备好的三角形和四边形框架，分别拉一拉，看看发现了什么。学生总结出“三角形具有稳定性，而四边形易变形”这样的结论。这一结论只停留在表象上，教师应究其本质为什么三角形和四边形会具有这样的特性呢？一位教师在设计这节课时增加了一个环节：请用给定的三根小棒任意摆一个三角形，看能摆出多少个形状大小不一样的三角形。学生把自己认为和其他人摆得不一样的三角形呈现在黑板上，而教师稍微改变摆放位置后，所有的三角形都完全一样。学生发现原来只要是标准相同的三根小棒，无论怎么拼都只能拼出一个三角形。这就是三角形之所以稳定的原因。而用同样的方法试验四边形，同样标准的4根小棒却能摆出不同形状、大小的四边形（如长方形、平行四边形、不规则的四边形等），这也就是四边形易变形的原因。这位教师在教学中抓住了知识的本源，不仅让学生知其然，还让学生知其所以然。这样的教学，摒弃了纯记忆式教学，有效促进了学生深度学习。
2.在计算教学中挖掘知识本源
目前，很多教师在进行计算教学时往往只重视算法而忽略了算理。这样的教学，学生死记算法，而对为什么这样计算一知半解。然而只有知道为什么这样计算（背后的道理才是计算教学的根本），学生才能抓住知识的本质，实现深度学习。
例如，在“小数加减法”的教学中，教师不能只满足于探究出小数点对齐（也就是相同数位对齐）的计算方法，应在引导学生探究小数加减法的过程中，始终抓住知识的“魂”来教学。当引导学生说出小数加减法要把小数点对齐后，教师继续追问：“为什么要把小数点对齐？” “小数点对齐也就是相同数位对齐。”大多数教师此时就认为学生理解算理了，从而不再追问。可是有的教师却追问：“为什么要把相同数位对齐呢？”通过反复追问，学生触摸到了知识本质，即小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，只有相同的计数单位才能相加减。像这样，将“讲理”与“明法”有机结合，让学生在理解算理的基础上总结算法，有助于学生更深入地理解数学知识。
又如，在教学“两位数乘两位数”时，有位教师借助直观模型较好地处理了算理与算法的关系。首先，她提供给学生直观的点子图作为研究素材，让学生在点子图中表示12×14的意思。在学生呈现的成果中，虽然分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的。其次，再将分点子图与竖式对应，引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个细节背后的道理。 在计算教学时，无论是什么数的加减计算，究其本质都是要落实到只有相同的计数单位才能相加减的道理。而教学乘除法计算时无论是什么数的乘除法计算，究其本质都是要落实到乘除法的意义上来理解其背后的道理。
3. 在解决问题中挖掘知识本源
“解决问题”一直是令学生和教师头疼的内容。课改以来，教材对其的编排不再以板块式的结构呈现。整套教材只有在二年級下册和三年级下册中单独出现了“解决问题”单元，其他类型的“解决问题”都蕴藏在课后练习中或和计算教学同步出现。即使单独的单元对解决问题的思路、方法和数量关系也是含而不露，使教师尤其是新教师感到迷茫。但特级教师吴正宪讲的“两步的解决问题”就让人然开朗。吴老师是利用几何直观图让学生在充分理解要解决的问题的基础上建立关系式。
例如，对于题目“弟弟摘了4个桃子，哥哥比弟弟多摘了3个，弟弟和哥哥一共摘了多少个桃子？”，吴老师引导学生读题后，通过画图解决问题。有的学生画线段图，有的学生画圆圈图，有的学生一个一个地画。通过汇报，吴老师把学生所画的不同的图展示出来，并逐一订正，对出现的错误进行重点讲解。吴老师非常用心，她不是一下子将所有学生作品全拿出来展示，而是有目的地一层层地呈现。比如有个学生一个一个画，她就把学生的图规范起来，作为板书，这看上去随意但是非常用心。讲解画图的同时，这节课的数量关系也就产生了。吴老师对解决问题的教学加深了笔者的思考。笔者认为，教师在教学解决问题时，首先要指导学生盘点信息，读懂题意;其次要注重对数量关系的分析，在分析数量关系时要重视对四则运算意义的理解。加、减、乘、除运算的意义是核心，是本质，要让学生积累原型，知道在什么时候用加、减、乘、除运算。 除此之外，还要在具体情境中了解常见的数量关系，如总价 = 单价×数量、路程 = 速度×时间，工作总量=工效×工作时间、每份数×份数=总数等。在学生充分感悟这些基本的数量关系的基础上，教师再进行总结提炼，而这也是抽象概括的过程。学生可运用这几个基本的数量关系去解决其他类似的问题。当然，教师不要过早地揭示，更不能强加给学生。最后，教师要注重对解决问题策略的指导，使学生能有效应用数学思想方法解决问题。
三、挖掘知识文化背景，促进学生深度学习
新课标把“体现数学的文化价值”置于课程设计基本理念的重要位置上，并指出：数学是人类的一种文化，让学生接受它的熏陶，体会它的丰富价值，这对于激发学生的学习兴趣和求知欲望，培养学生独立观察、积极思考、主动探究具有积极的作用。同时数学文化的学习也会加深学生对知识本质的理解，促进学生深度思考。
例如，“为什么有时一天能过24次新年？”“为什么过4年才有一个闰年？”“埃及的金字塔之谜”等，给学生补充这些有趣的数学文化知识，可激发他们产生强烈的好奇心，进而去探究这些课本上没有的知识，从而深刻体会数学文化。
例如，在教学“圆的周长”时，教师可给学生提供以下资料：最初一些文明古国均取π值为3，如我国《周錍经算》就说：“径一周三。”后人称为“古率”。人们通过古率计算圆的周长总小于实际值，就不断运用经验修正π值。后来，古埃及人和古巴比伦人分别得到π=3.1605和π=3.125，再后来古希腊数学家阿基米德利用圆的内接和外切正多边形来求π的近似值，得到当时最好的估计值……直到现在，在电脑的帮助下我们能知道π值小数点后面的几万位。过去的若干个世纪的发展起来的大量的圆周率的贡献让学生难以置信。通过史料的介绍，不仅传播了数学的文化历史，还让学生知道了数学知识源于人类生活的需要，体会数学的源远流长，激励学生去探索数学知识。
总之，教师的教学在于“授人以业”“授人以法”“授人以道”。“授人以业”要求所授知识“准确”，“授人以法”要求所授知识“深刻”，而“授人以道”则更多地要求所授知识突显其“本质”。显然，教师只有显现数学知识的来源、本源、文化背景，才能激发学生的求知欲望，引发学生深度思考，从而促进学生深度学习。只有深度学习实现了，学生核心素养的培养才会有效落地。
（责编 黄春香）
[关键词]知识本质;深度学习;核心素养;挖掘
深度学习是较浅层学习而言的。浅层学习主要是把知识作为孤立的内容进行接受式学习和记忆式学习。浅层学习的主要方式是“讲 听 记 仿 练”，浅层学习得到的知识很快会被忘记。要想改变这种学习方式，需要教师引领学生进行深度学习。深度学习就是学生在学习过程中通过深层思考对知识进行真正理解。只有真正明白、理解知识的形成过程及其根源，才能灵活应用知识解决问题。在实际教学中，教师应深入分析教材，挖掘出数学知识本质，从而促进学生深度学习。
一、挖掘知识来源，促进学生深度学习
教学中，教师不仅要让学生掌握知识，还要挖掘涉及知识的来源，因为学生只有理解知识的来源，才会有深度的思考，从而深度学习。
例如，对于“分数的意义”，教材用一页的篇幅阐述了分数产生的价值，对此教师除了分析此页内容的设计意图，还要挖掘该内容所涉及知识的来源，从而促进学生深度学习。
第一幅图（如图1）呈现的是古代人在度量物体长度时遇到的困惑。他们正在用一根打了几个结的绳子测量石头的长，每两个结之间的一段表示一个长度单位。测量得到这块石头长二结多一点，于是在一旁记录的人提出疑问：“剩下的不足一结怎么记？”当发现不足一结的这部分正好是把一结分割成两份中的一份时，分数的初步应用就出现了。这说明分数正是为了比较精确地测量这类需要分割的量而引入的。第二幅图（如图2）呈现的是用除法计算的问题。分数的引入是为了解决在整数集合里除法不是总能实施的矛盾，揭示了分数的来源。可以看出，只有把教材设计内容的本质挖掘出来，学生才能进行對分数意义和分数与除法关系等内容的深度学习。
又如，教学度量单位时，要让学生理解计量单位产生的必要性。面积单位的教学是一个典型案例，为了让学生充分理解面积单位产生的必要性，可设计以下几个环节。第一个环节，用重叠的方法比较两个长方形的面积大小。第二个环节，用拼剪的方法继续比较两个长方形的大小。通过不断地剪、拼（覆盖），最后比较发现其中一个长方形比另一个长方形多出一个小长方形或小正方形。第三个环节，引导学生通过剪拼比较最后多出的都是一些小图形：如果直接用这些小图形作为比较的单位去测量这些大图形中有几个这样的小图形，不就直接可以比较出它们的大小了吗？第四个环节，通过选择不同的小图形（长方形、正方形、三角形、圆形）发现用正方形做测量单位最合适。第五个环节，变换需要测量的面积大小，发现用小正方形不方便测量时必须用大正方形作为测量单位去测量。这样，学生对面积单位及多个面积单位产生的必要性就有了充分的理解，深度学习也发生了。
二、挖掘知识本源，促进学生深度学习
本源即一节课的“根源”，抓住一节课的“根源”，并且围绕它进行教学，学生就会真正理解知识，实现深度学习。
1. 概念教学中挖掘知识本源
当前，小学数学概念教学存在很多问题，如教师对概念的讲解浮光掠影、粗枝大叶， 简化概念形成的过程，且将学生要探索的概念知识全盘托出，要求学生死记硬背，导致学生只知其然而不知其所以然。想把概念课上好，教师应剥去数学枯燥乏味的“外衣”，努力挖掘概念的本质，有效呈现概念的形成过程;让学生回到思维的原点，感悟数学的本质。只有这样才能把知识深植于学生的脑海中。
例如，在教学“三角形的稳定性”一课时，大部分教师都会设计这样一个环节：请拿出准备好的三角形和四边形框架，分别拉一拉，看看发现了什么。学生总结出“三角形具有稳定性，而四边形易变形”这样的结论。这一结论只停留在表象上，教师应究其本质为什么三角形和四边形会具有这样的特性呢？一位教师在设计这节课时增加了一个环节：请用给定的三根小棒任意摆一个三角形，看能摆出多少个形状大小不一样的三角形。学生把自己认为和其他人摆得不一样的三角形呈现在黑板上，而教师稍微改变摆放位置后，所有的三角形都完全一样。学生发现原来只要是标准相同的三根小棒，无论怎么拼都只能拼出一个三角形。这就是三角形之所以稳定的原因。而用同样的方法试验四边形，同样标准的4根小棒却能摆出不同形状、大小的四边形（如长方形、平行四边形、不规则的四边形等），这也就是四边形易变形的原因。这位教师在教学中抓住了知识的本源，不仅让学生知其然，还让学生知其所以然。这样的教学，摒弃了纯记忆式教学，有效促进了学生深度学习。
2.在计算教学中挖掘知识本源
目前，很多教师在进行计算教学时往往只重视算法而忽略了算理。这样的教学，学生死记算法，而对为什么这样计算一知半解。然而只有知道为什么这样计算（背后的道理才是计算教学的根本），学生才能抓住知识的本质，实现深度学习。
例如，在“小数加减法”的教学中，教师不能只满足于探究出小数点对齐（也就是相同数位对齐）的计算方法，应在引导学生探究小数加减法的过程中，始终抓住知识的“魂”来教学。当引导学生说出小数加减法要把小数点对齐后，教师继续追问：“为什么要把小数点对齐？” “小数点对齐也就是相同数位对齐。”大多数教师此时就认为学生理解算理了，从而不再追问。可是有的教师却追问：“为什么要把相同数位对齐呢？”通过反复追问，学生触摸到了知识本质，即小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，只有相同的计数单位才能相加减。像这样，将“讲理”与“明法”有机结合，让学生在理解算理的基础上总结算法，有助于学生更深入地理解数学知识。
又如，在教学“两位数乘两位数”时，有位教师借助直观模型较好地处理了算理与算法的关系。首先，她提供给学生直观的点子图作为研究素材，让学生在点子图中表示12×14的意思。在学生呈现的成果中，虽然分法不完全相同，但“先分后合”的思路是一致的。其次，再将分点子图与竖式对应，引导学生一步步深入地理解竖式计算中每一个细节背后的道理。 在计算教学时，无论是什么数的加减计算，究其本质都是要落实到只有相同的计数单位才能相加减的道理。而教学乘除法计算时无论是什么数的乘除法计算，究其本质都是要落实到乘除法的意义上来理解其背后的道理。
3. 在解决问题中挖掘知识本源
“解决问题”一直是令学生和教师头疼的内容。课改以来，教材对其的编排不再以板块式的结构呈现。整套教材只有在二年級下册和三年级下册中单独出现了“解决问题”单元，其他类型的“解决问题”都蕴藏在课后练习中或和计算教学同步出现。即使单独的单元对解决问题的思路、方法和数量关系也是含而不露，使教师尤其是新教师感到迷茫。但特级教师吴正宪讲的“两步的解决问题”就让人然开朗。吴老师是利用几何直观图让学生在充分理解要解决的问题的基础上建立关系式。
例如，对于题目“弟弟摘了4个桃子，哥哥比弟弟多摘了3个，弟弟和哥哥一共摘了多少个桃子？”，吴老师引导学生读题后，通过画图解决问题。有的学生画线段图，有的学生画圆圈图，有的学生一个一个地画。通过汇报，吴老师把学生所画的不同的图展示出来，并逐一订正，对出现的错误进行重点讲解。吴老师非常用心，她不是一下子将所有学生作品全拿出来展示，而是有目的地一层层地呈现。比如有个学生一个一个画，她就把学生的图规范起来，作为板书，这看上去随意但是非常用心。讲解画图的同时，这节课的数量关系也就产生了。吴老师对解决问题的教学加深了笔者的思考。笔者认为，教师在教学解决问题时，首先要指导学生盘点信息，读懂题意;其次要注重对数量关系的分析，在分析数量关系时要重视对四则运算意义的理解。加、减、乘、除运算的意义是核心，是本质，要让学生积累原型，知道在什么时候用加、减、乘、除运算。 除此之外，还要在具体情境中了解常见的数量关系，如总价 = 单价×数量、路程 = 速度×时间，工作总量=工效×工作时间、每份数×份数=总数等。在学生充分感悟这些基本的数量关系的基础上，教师再进行总结提炼，而这也是抽象概括的过程。学生可运用这几个基本的数量关系去解决其他类似的问题。当然，教师不要过早地揭示，更不能强加给学生。最后，教师要注重对解决问题策略的指导，使学生能有效应用数学思想方法解决问题。
三、挖掘知识文化背景，促进学生深度学习
新课标把“体现数学的文化价值”置于课程设计基本理念的重要位置上，并指出：数学是人类的一种文化，让学生接受它的熏陶，体会它的丰富价值，这对于激发学生的学习兴趣和求知欲望，培养学生独立观察、积极思考、主动探究具有积极的作用。同时数学文化的学习也会加深学生对知识本质的理解，促进学生深度思考。
例如，“为什么有时一天能过24次新年？”“为什么过4年才有一个闰年？”“埃及的金字塔之谜”等，给学生补充这些有趣的数学文化知识，可激发他们产生强烈的好奇心，进而去探究这些课本上没有的知识，从而深刻体会数学文化。
例如，在教学“圆的周长”时，教师可给学生提供以下资料：最初一些文明古国均取π值为3，如我国《周錍经算》就说：“径一周三。”后人称为“古率”。人们通过古率计算圆的周长总小于实际值，就不断运用经验修正π值。后来，古埃及人和古巴比伦人分别得到π=3.1605和π=3.125，再后来古希腊数学家阿基米德利用圆的内接和外切正多边形来求π的近似值，得到当时最好的估计值……直到现在，在电脑的帮助下我们能知道π值小数点后面的几万位。过去的若干个世纪的发展起来的大量的圆周率的贡献让学生难以置信。通过史料的介绍，不仅传播了数学的文化历史，还让学生知道了数学知识源于人类生活的需要，体会数学的源远流长，激励学生去探索数学知识。
总之，教师的教学在于“授人以业”“授人以法”“授人以道”。“授人以业”要求所授知识“准确”，“授人以法”要求所授知识“深刻”，而“授人以道”则更多地要求所授知识突显其“本质”。显然，教师只有显现数学知识的来源、本源、文化背景，才能激发学生的求知欲望，引发学生深度思考，从而促进学生深度学习。只有深度学习实现了，学生核心素养的培养才会有效落地。
（责编 黄春香）