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[课例说明]
教学中，常听到许多教师抱怨新教材“长方体和正方体”的习题难学难教，常听到许多教师埋怨学生不会想象。固然，这跟新教材在习题的选配上“更重视联系生活，更需要借助想象”有关。但同时，我们也应该认识到：习题之所以难学难教，最根本的原因在于学生空间想象能力的贫弱。这与许多教师在教学中只重视“有形”知识(如概念、公式)的教学，不重视空间想象能力的培养有直接的关系。
相比于“有形”的知识，空间想象能力看似“空洞、无形”。但确是“实实在在”存在的，它既是解决生活实际问题的能力前提，也是比“有形”知识更高级的教学目标。当然，没有教师的主动培养，学生的空间想象能力不会无中生有。
培养学生的空间想象能力，除了充分利用好教材，结合概念教学、习题教学进行外，还需要辅以专门的训练——教师要善于开发一些以“培养空间想象能力”为主题的活动。这样，学生的空间想象能力才会由弱变强。有了空间想象能力。结合生活常识。生活中的实际问题便会迎刃而解。俗话说，“磨刀不误砍柴工”，“磨”得培养和发展学生空间想象能力这把“刀”，就能轻松利索地“砍”得了实际问题这把“柴”。
本课例，内容自编，适用于苏教版第11册或人教版第10册“长方体和正方体”教学单元。
[教学目标]
1.学会“两层”想象的方法，发展空间想象能力。
2.探究最节省材料的包装方法(表面积最小的拼法)。
[教学过程]
一、引入课题
师：(出示一个魔方)知道它是什么吗?
生：魔方。
师：魔方是一个什么形状的物体?
生：正方体。
师：今天我们就来探究一个跟它有关的问题。
屏幕上呈现例1：用硬纸板为12个魔方设计一个包装箱，怎样设计需要的硬纸板最少?(接头、重复处不算)
师：这是工业生产上的一个包装设计问题。从数学的角度看，这是一个什么问题?
生：求12个魔方的表面积。
师：不错，是个求表面积的问题。可是，有现成的图形吗?
生：没有。
师：所以，首先要解决一个“拼法”的问题。
点评：从学生喜爱的魔方玩具入手，切入课题快，话题有吸引力。通过引导学生从数学的角度思考，得出：这是一个跟“拼法”有关的求表面积的实际问题。
二、初步探究，想象拼法
1.想象拼法。
师：12个魔方拼成长方体，有多少种不同的拼法?
生：(拼法1)排1排，每排12个。
生：(拼法2)排2排，每排6个。
生：(拼法3)排3排，每排4个。
生：(拼法4)排4排，每排3个。
引导学生观察“拼法3”和“拼法4”。得出：两种拼法形“异”实“同”，重复了。(隐去重复的“拼法4”)
师：还有不同的拼法吗?
生：(想不出了)没有了!
师：(启发两层的拼法)这三种拼法都只有“一层”——是平房，想想看，有没有“两层”的拼法呢?
(学生尝试思考)
生：(拼法4)排两层，每层两排，每排3个。
师：说说你是怎样想到的?
生：我是根据“拼法2”来想的，把它从中间切断，然后把两段叠起来。
师：(肯定)不错!借助已有的图形，进行再想象是一个好办法。那么，有没有“三层”的拼法呢?
生：把“拼法2”切成3段，然后重叠起来。
生：三层的拼法与“拼法4”重复了。
(隐去重复的拼法)
师：有关两层和三层的想象，确实有一定的困难。可万事都有方法呀，想学这个方法吗?
生：(齐)想!
师：(教学方法)那好，请同学们观察“拼法4”，回答我的问题：上层有几个，下层有几个?上、下层的摆法相同吗?——因为两层上正方体的“个数相等”、“摆法相同”，所以想象两层的拼法时，只需将总数除以2，想“一层上”怎样摆——这个方法，能听懂吗?
生：能!
师：(引导运用)那么，三层的拼法，怎样想?
生：先将12除以3。得到4，然后想：一层上4个怎样摆?
师：说得好!
点评：拼法想象的难点有两个：一是拼法不重复，二是“两层”的想象方法。对于前者，教师通过引导观察比较，提高了学生对“形异实同”拼法的辨别能力；对于后者，从依赖模型的想象到摆脱模型的想象，教师教给学生想象的方法，耗时不多，效果很好。
2.观察拼法。
师：不用笔算。你能判断出：哪种拼法的表面积最大，哪种拼法的表面积最小吗?
生：排一排的表面积最大，排两层的表面积最小。
师：说说你的理由。
生：“拼法1”排一排，消失的面最少，所以它的表面积最大；“拼法4”排两层，消失的面最多，所以它的表面积最小。
(赞扬学生的回答。并引导每个学生观察：“拼法1”，每个正方体最少消失1个面，最多消失2个面；“拼法4”。每个正方体最少消失3个面，最多消失4个面。)
3.得出结论。
师：为12个魔方设计一个包装箱。设计成哪种拼法的样子最节省材料?
生：拼法4。
师：请从语文的角度，用一句话或一个词来概括一下这种拼法的特点。
(预设答案：聚在一起，牢牢抱成团，最紧凑)
点评：例1侧重于教学“两层”的想象方法，并根据直觉来判断表面积的大小，得出“最紧凑”的拼法表面积最小，为深入探究、发现规律铺垫。
三、深入探究，发现规律
1.独立想象拼法。
屏幕上呈现例2：为24个魔方设计一个包装箱，怎样设计表面积最小?
(一层的拼法，集体口答完成)
拼法1：排1排，每排24个。
拼法2：排2排，每排12个。
拼法3：排3排，每排8个。
拼法4：排4排，每排6个。
(两层的拼法，留给学生独立思考。教师巡视，帮助想象有困难的学生运用方法)
2.交流两层的拼法。
拼法5：排两层，每层2排，每排6个。
拼法6：排两层，每层3排，每排4个。
师：排三层。行不行?
生：不行!排三层会与“拼法6”重复。
师：不错，这道题就6种拼法。
(统计想象出“两层”拼法的人数)
师：祝贺你们想象成功!
点评：两层的拼法留给学生独立思考。意在让学生运用方法，体验想象成功。这一过程，教师重点帮扶想象有困难的学生。
3.判断表面积大小。
师：这6种拼法，谁的表面积最小?
生：(齐)拼法6。
师：确定吗?
生：(个别)拼法5。
师：有争议，没关系，可以通过计算来确定。为便于计算，我们假设每个魔方的棱长为1分米。一、二两组的同学算“拼法5”，三、四两组的同学算“拼法6”。
(学生分组计算，计算后汇报得数)
师：为24个魔方设计一个包装箱。设计成哪种拼法的样子最节省材料?
生：(坚定地)拼法6。
师：接下来。请你来探究一个数学“秘密”——若干个正方体，到底怎样拼才是表面积最小、最节省材料的 呢——想不想?
生：(兴致很高地)想!
4.发现表面积最小的秘密。
师：既然是探密，就得借助一定的数学方法。请看屏幕——今天我们请出的是哪位“大侠”?
屏幕上呈现下表：(表格说明：暂不出现“长宽高之和”一列，除“拼法”列外，其余各列数字均空缺。)
生：表格。
生：列表策略。
师：你能根据表格中的提示，将“长”“宽”“高”三列填完整吗?
(师生一起填写“长”“宽”“高”三列，并将“表面积”一列填完整，如上表)
师：观察表格。你发现什么?
生：当长、宽、高最接近时，拼成的长方体表面积最小。
师：好眼力!再提供一个观察的角度。
(表格中增加“长宽高之和”一列，学生计算)
师：你又发现什么?
生：当长、宽、高之和最小时，拼成的长方体表面积最小。
师：这里面的秘密，你全知道了吗?
生：(齐)知道了。
师：还用我说吗?
生：(开心地)不用了。
师：那说给我听听。
生：(根据板书齐答)当长、宽、高最接近时，当长、宽、高之和最小时，拼成的长方体表面积最小。
师：这就是表面积最小、最节省材料的数学秘密。回想一下：是什么策略让你们得以轻松地发现了它?
生：列表策略。
师：列表真是个好方法。
点评：运用“列表策略”揭示“最紧凑”的数学本质，是全课的高潮。教师为了突出“列表策略”在其中的作用，引出前有蓄势，运用后有反思，强化了学生对于“解决问题策略”重要性的认识。
四、教学“数学”的写法
1.学习写法。
师：我还想告诉你们一个更大的秘密。
(引导学生观察表格。发现：“每排的个数×排数×层数”等于“正方体的个数”)
生：我发现：只要把24分解成3个数相乘，有几种分法，就有几种拼法。
师：这正是我想告诉你们的秘密。
(教师以24个、40个正方体为例，教学有序的写法)
师：这种方法不需要借助想象，非常适合正方体个数较多的情况。
2.根据“写法”想象“拼法”。
师：用40个魔方拼长方体。哪种拼法的表面积最小?
生：“5×4×2”的拼法。
师：你能想象出这种拼法吗?
(学生展开想象：排两层，每层4排，每排5个)
点评：用正方体拼长方体，“想象法”有助于培养空间想象能力，“分解因数法”可以快速获得结论。两种方法，可以取长补短。根据“写法”想象“拼法”，便沟通了两种方法的联系。
五、全课总结
师：这节课你有什么收获?
课外题：用硬纸板为64个魔方设计一个包装箱，怎样设计需要的硬纸板最少?(接头、重复处不算)先展开想象，后写出拼法。
总评：这节自编课，以为若干个“魔方”设计一个“包装箱”为线索，由浅入深，设计了“培养两层想象的能力”、“探索表面积最小的秘密”、“学习快捷的分解方法”三个环节，前后连贯，结构完整，意图明确。在环环相扣中，学生经历了过程。发展了空间想象能力。体验到了探索的乐趣，获得了更多的数学知识，提高了学习数学的兴趣。
教学中，常听到许多教师抱怨新教材“长方体和正方体”的习题难学难教，常听到许多教师埋怨学生不会想象。固然，这跟新教材在习题的选配上“更重视联系生活，更需要借助想象”有关。但同时，我们也应该认识到：习题之所以难学难教，最根本的原因在于学生空间想象能力的贫弱。这与许多教师在教学中只重视“有形”知识(如概念、公式)的教学，不重视空间想象能力的培养有直接的关系。
相比于“有形”的知识，空间想象能力看似“空洞、无形”。但确是“实实在在”存在的，它既是解决生活实际问题的能力前提，也是比“有形”知识更高级的教学目标。当然，没有教师的主动培养，学生的空间想象能力不会无中生有。
培养学生的空间想象能力，除了充分利用好教材，结合概念教学、习题教学进行外，还需要辅以专门的训练——教师要善于开发一些以“培养空间想象能力”为主题的活动。这样，学生的空间想象能力才会由弱变强。有了空间想象能力。结合生活常识。生活中的实际问题便会迎刃而解。俗话说，“磨刀不误砍柴工”，“磨”得培养和发展学生空间想象能力这把“刀”，就能轻松利索地“砍”得了实际问题这把“柴”。
本课例，内容自编，适用于苏教版第11册或人教版第10册“长方体和正方体”教学单元。
[教学目标]
1.学会“两层”想象的方法，发展空间想象能力。
2.探究最节省材料的包装方法(表面积最小的拼法)。
[教学过程]
一、引入课题
师：(出示一个魔方)知道它是什么吗?
生：魔方。
师：魔方是一个什么形状的物体?
生：正方体。
师：今天我们就来探究一个跟它有关的问题。
屏幕上呈现例1：用硬纸板为12个魔方设计一个包装箱，怎样设计需要的硬纸板最少?(接头、重复处不算)
师：这是工业生产上的一个包装设计问题。从数学的角度看，这是一个什么问题?
生：求12个魔方的表面积。
师：不错，是个求表面积的问题。可是，有现成的图形吗?
生：没有。
师：所以，首先要解决一个“拼法”的问题。
点评：从学生喜爱的魔方玩具入手，切入课题快，话题有吸引力。通过引导学生从数学的角度思考，得出：这是一个跟“拼法”有关的求表面积的实际问题。
二、初步探究，想象拼法
1.想象拼法。
师：12个魔方拼成长方体，有多少种不同的拼法?
生：(拼法1)排1排，每排12个。
生：(拼法2)排2排，每排6个。
生：(拼法3)排3排，每排4个。
生：(拼法4)排4排，每排3个。
引导学生观察“拼法3”和“拼法4”。得出：两种拼法形“异”实“同”，重复了。(隐去重复的“拼法4”)
师：还有不同的拼法吗?
生：(想不出了)没有了!
师：(启发两层的拼法)这三种拼法都只有“一层”——是平房，想想看，有没有“两层”的拼法呢?
(学生尝试思考)
生：(拼法4)排两层，每层两排，每排3个。
师：说说你是怎样想到的?
生：我是根据“拼法2”来想的，把它从中间切断，然后把两段叠起来。
师：(肯定)不错!借助已有的图形，进行再想象是一个好办法。那么，有没有“三层”的拼法呢?
生：把“拼法2”切成3段，然后重叠起来。
生：三层的拼法与“拼法4”重复了。
(隐去重复的拼法)
师：有关两层和三层的想象，确实有一定的困难。可万事都有方法呀，想学这个方法吗?
生：(齐)想!
师：(教学方法)那好，请同学们观察“拼法4”，回答我的问题：上层有几个，下层有几个?上、下层的摆法相同吗?——因为两层上正方体的“个数相等”、“摆法相同”，所以想象两层的拼法时，只需将总数除以2，想“一层上”怎样摆——这个方法，能听懂吗?
生：能!
师：(引导运用)那么，三层的拼法，怎样想?
生：先将12除以3。得到4，然后想：一层上4个怎样摆?
师：说得好!
点评：拼法想象的难点有两个：一是拼法不重复，二是“两层”的想象方法。对于前者，教师通过引导观察比较，提高了学生对“形异实同”拼法的辨别能力；对于后者，从依赖模型的想象到摆脱模型的想象，教师教给学生想象的方法，耗时不多，效果很好。
2.观察拼法。
师：不用笔算。你能判断出：哪种拼法的表面积最大，哪种拼法的表面积最小吗?
生：排一排的表面积最大，排两层的表面积最小。
师：说说你的理由。
生：“拼法1”排一排，消失的面最少，所以它的表面积最大；“拼法4”排两层，消失的面最多，所以它的表面积最小。
(赞扬学生的回答。并引导每个学生观察：“拼法1”，每个正方体最少消失1个面，最多消失2个面；“拼法4”。每个正方体最少消失3个面，最多消失4个面。)
3.得出结论。
师：为12个魔方设计一个包装箱。设计成哪种拼法的样子最节省材料?
生：拼法4。
师：请从语文的角度，用一句话或一个词来概括一下这种拼法的特点。
(预设答案：聚在一起，牢牢抱成团，最紧凑)
点评：例1侧重于教学“两层”的想象方法，并根据直觉来判断表面积的大小，得出“最紧凑”的拼法表面积最小，为深入探究、发现规律铺垫。
三、深入探究，发现规律
1.独立想象拼法。
屏幕上呈现例2：为24个魔方设计一个包装箱，怎样设计表面积最小?
(一层的拼法，集体口答完成)
拼法1：排1排，每排24个。
拼法2：排2排，每排12个。
拼法3：排3排，每排8个。
拼法4：排4排，每排6个。
(两层的拼法，留给学生独立思考。教师巡视，帮助想象有困难的学生运用方法)
2.交流两层的拼法。
拼法5：排两层，每层2排，每排6个。
拼法6：排两层，每层3排，每排4个。
师：排三层。行不行?
生：不行!排三层会与“拼法6”重复。
师：不错，这道题就6种拼法。
(统计想象出“两层”拼法的人数)
师：祝贺你们想象成功!
点评：两层的拼法留给学生独立思考。意在让学生运用方法，体验想象成功。这一过程，教师重点帮扶想象有困难的学生。
3.判断表面积大小。
师：这6种拼法，谁的表面积最小?
生：(齐)拼法6。
师：确定吗?
生：(个别)拼法5。
师：有争议，没关系，可以通过计算来确定。为便于计算，我们假设每个魔方的棱长为1分米。一、二两组的同学算“拼法5”，三、四两组的同学算“拼法6”。
(学生分组计算，计算后汇报得数)
师：为24个魔方设计一个包装箱。设计成哪种拼法的样子最节省材料?
生：(坚定地)拼法6。
师：接下来。请你来探究一个数学“秘密”——若干个正方体，到底怎样拼才是表面积最小、最节省材料的 呢——想不想?
生：(兴致很高地)想!
4.发现表面积最小的秘密。
师：既然是探密，就得借助一定的数学方法。请看屏幕——今天我们请出的是哪位“大侠”?
屏幕上呈现下表：(表格说明：暂不出现“长宽高之和”一列，除“拼法”列外，其余各列数字均空缺。)
生：表格。
生：列表策略。
师：你能根据表格中的提示，将“长”“宽”“高”三列填完整吗?
(师生一起填写“长”“宽”“高”三列，并将“表面积”一列填完整，如上表)
师：观察表格。你发现什么?
生：当长、宽、高最接近时，拼成的长方体表面积最小。
师：好眼力!再提供一个观察的角度。
(表格中增加“长宽高之和”一列，学生计算)
师：你又发现什么?
生：当长、宽、高之和最小时，拼成的长方体表面积最小。
师：这里面的秘密，你全知道了吗?
生：(齐)知道了。
师：还用我说吗?
生：(开心地)不用了。
师：那说给我听听。
生：(根据板书齐答)当长、宽、高最接近时，当长、宽、高之和最小时，拼成的长方体表面积最小。
师：这就是表面积最小、最节省材料的数学秘密。回想一下：是什么策略让你们得以轻松地发现了它?
生：列表策略。
师：列表真是个好方法。
点评：运用“列表策略”揭示“最紧凑”的数学本质，是全课的高潮。教师为了突出“列表策略”在其中的作用，引出前有蓄势，运用后有反思，强化了学生对于“解决问题策略”重要性的认识。
四、教学“数学”的写法
1.学习写法。
师：我还想告诉你们一个更大的秘密。
(引导学生观察表格。发现：“每排的个数×排数×层数”等于“正方体的个数”)
生：我发现：只要把24分解成3个数相乘，有几种分法，就有几种拼法。
师：这正是我想告诉你们的秘密。
(教师以24个、40个正方体为例，教学有序的写法)
师：这种方法不需要借助想象，非常适合正方体个数较多的情况。
2.根据“写法”想象“拼法”。
师：用40个魔方拼长方体。哪种拼法的表面积最小?
生：“5×4×2”的拼法。
师：你能想象出这种拼法吗?
(学生展开想象：排两层，每层4排，每排5个)
点评：用正方体拼长方体，“想象法”有助于培养空间想象能力，“分解因数法”可以快速获得结论。两种方法，可以取长补短。根据“写法”想象“拼法”，便沟通了两种方法的联系。
五、全课总结
师：这节课你有什么收获?
课外题：用硬纸板为64个魔方设计一个包装箱，怎样设计需要的硬纸板最少?(接头、重复处不算)先展开想象，后写出拼法。
总评：这节自编课，以为若干个“魔方”设计一个“包装箱”为线索，由浅入深，设计了“培养两层想象的能力”、“探索表面积最小的秘密”、“学习快捷的分解方法”三个环节，前后连贯，结构完整，意图明确。在环环相扣中，学生经历了过程。发展了空间想象能力。体验到了探索的乐趣，获得了更多的数学知识，提高了学习数学的兴趣。