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教材是课程标准的具体体现。是教师进行教学的一种重要资源，但“教材仅仅是达成《课程标准》的中介，它只起到参照物的作用。在教学实践中我们要用‘用教材教’的理念来看待教材，处理教材”。特级教师路培琦说：“教材就是提供给教师进行教学的素材，是给你的一个教学思路。你要利用这个教材和思路达到你的课堂教学目标，因此不能照本宣科，不能把教材当作圣经念。”教材上出现的内容不一定都讲，教材上较为概要或没有的内容教师要展开或补充。但在实际教学中，有的对教材的延伸流于形式，没有高效地推动学生的探究活动。
什么是教材的延伸?就是延展教材，扩大教材的宽度、范围。一个方向是把教材推广到学生已有的知识、经验，激活大脑接通联系，实现从旧知到新知、从具体到抽象的转化。另一个方向是引领学生将单课的知识延伸至知识结构，延伸至生活，实现从局部到整体、从知识到能力的转化。
延伸有什么意义?数学的学习有两个过程，内化构建和外化构建。内化构建是学生的感知、表象、理解向内发展。在内化构建中，教师应根据学生的认知特点，把教材中的现成结论延伸为学生动手操作的情境，转变为学生探索的对象，促使静态的知识动态化。小学数学教材的延伸是为了让学生从具有的“数学现实”出发，在实践活动中、在现实生活中学习数学。这就是给教材写“序”，其目的是帮助学生更轻松地从数学现实和知识结构走入教材。外化构建是从理论到实践，实现教材实践化，揭示知识之间的内在联系。这是给教材写“续”，促进学生参与解决问题，主动地构建认知结构。综上所述，如下图所示。小学数学教材的延伸能帮助学生实现两种方向的思维过程。
我们该怎样发掘教材资源，延伸教材，拓宽课堂教学的空间呢?下面是我实践探索的体会。
一、“序”引导学生轻松高效地走入教材
序曲是歌舞剧的前奏，与剧情融合，起到表现剧情、引导听众进入戏剧的作用。我们给教材加上“序”，就是将“书本数学”延伸为“生活数学”，不是单纯地强调学科的学术性，也把它看作学生生活的组成部分。将数学学科的高度抽象性以具体形象的教学方式与学生沟通。引导学生走向社会，走进生活。具体地感知数学在现实生活中的意义，把“侧重教的教材转化成儿童学的学材”，引导学生轻松高效地走入教材。
1.生活为“序”，激活知识。
教师要沟通数学知识与学生的现实生活之间的联系，将枯燥的教学内容激活。实现知识与生活和儿童认知世界的交汇。
例如《长方形和正方形的认识》练习第三题，关于长方形转化成正方形，书上画了一幅图。
如果让学生照样子折，然后直接回答为什么，学生感觉比较困难。实际上，学生很小的时候都学会了折纸，而折纸中经常要像这样把长方形转化成正方形。于是我就设计了这样几个问题：谁会做风车?这是一张长方形的纸，可以直接做吗?怎样能变成正方形的纸?下面这两张纸分别做风车，哪张纸做的风车大?为什么?你还能折更大的吗?为什么?你有什么发现?
学生利用做风车的实际经验，很快地判断出右面的纸能折出更大的正方形，通过比较，发现折的正方形的大小是由原来长方形的宽决定的。在此基础上，学生发现正方形的边长就是原来长方形的宽。剪的过程就是把长变得和宽同样长了。通过生活经验、书本知识与发现问题、解决问题相结合，学生就能轻松地获取知识。
2.经验为“序”，提供方法。
在应用数学知识解决现实和富有挑战性的问题过程中。教师应注意了解学生现实生活中的实际经验，设计真实的问题，进而引导学生了解体会这些数学问题的生活原型，理解数学知识的内涵，并在此基础上，创建数学模型，引导学生舍繁求简，探讨问题解决的一般规律，感受其中的数学思想和方法。
例如四年级数学下册《乘法》中的练习：
9.回收1吨废纸可以造出850千克再生纸，同时还节省化工原料300千克，节约电600千瓦时，节约水100吨。
(1)某废品回收站上个月回收废纸36吨，用这些废纸能造出多少千克再生纸?
(2)你还能提出什么问题?
学生对于本题中出现的大量信息感觉无从下手，各种单位也让学生眼花缭乱，于是，我在出示这道题之前先和同学们聊了一个话题：一元钱能做什么?之后将各种信息用表格整理如下：
如果有2元钱。你发现可以做什么?学生有的说可以买8块橡皮，有的说可以买20张纸，等等。如果有68元钱呢?可以用算式表示你的想法。学生有的说可以买68x4块橡皮，有的说可以买68x2个包子，等等。我引导学生结合生活中解决问题的方法来解决这道题。学生也整理如下：
这样，学生很轻松地解决了这个问题，还提出了很多想法，有数学的，有关于环保的。因为这种表格式的信息让学生很容易理解和接受。而这种解决问题的方法就来源于1元钱的故事。
本内容如果教师只是用“数学问题＋生活情境”的“加法”思维方式来体现数学与现实生活的联系。这种处理方式就是简单化的、表面化的。教师应从本质上揭示数学问题的现实意义，从而深层次地体现数学与现实生活的联系。
3.图像为“序”，激发思维。
图像直观、简洁，利于思考，概括性强，有助于理解。因此，图像是帮助人类思考的极好工具。斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”
例如：三年级下学期《找规律——植树问题》中，把找到的规律运用到生活的各种问题中是学生感到很困难的环节，因为学生很难把锯木料、爬楼梯、发车等问题很好地转化为已掌握的规律。我在教学中利用课件将实际的情景图简化为示意图，引导学生通过画示意图的方法理解其中的规律。如：锯木料问题(见图1)，楼梯问题(见图2)，发车问题(见图3)。
学生根据生活经验和现实情境，画出简单的图像。这样。学生就理解每种实际问题与植树问题的内在联系，如段数在两端，比锯的次数多一；层数在两端，比楼梯数多一，等等。学生经历了从“外化”到“内化”的过程。通过画图，激起了学生对生活的联想，促进了学生思维能力的发展。体现了数学课程标准中提出的数学的呈现方式要丰富多样的新理念，促进了学科整合，提高了学生的综合素质。
二、“续”推动学生精准完整地掌握知识
续编，是在原有作品的基础上再次延伸创作的作品。教材是按照一节节课的内容来编排的，突出了每个知识点。因此教学中要思考如何处理每个知识点与整个知识结构的联系。给教材写“续”，使得学生感受到知识具有丰富的内在联系，突出数学知识整体之间的联系。在发现新规律的过程中不断重组自己的认知结构，从而形成精确、完整的知识结构。
1.知识比较为“续”，掌握精准知识。
如果教师教学中只突出本节课的例题与练习，学生的学习容易变成单一的解题性的学习，知识固化为简单的结论，失去了数学对学生发展的价值。经过一段时间的学习，累积了更多的知识以后，学生就会出现知识的 混淆。认知出现偏差，难以掌握数学知识之间的内在逻辑。
例如：三年级上册《长方形和正方形的认识》一课中，把学生搭好的长方形做了一下变化(如图1)，现在还是长方形吗?根据学生说的因为放斜了所以不是了，材料继续变化(如图2)。
学生针对这样的延伸材料展开了热烈的讨论和深入的思考，最终发现长方形不仅对边相等。四个角也要都是直角。
美国心理学家贾德通过实验证明：学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需要掌握原理。形成类比。才能迁移到类似的学习中。这样的对比教学对于学生理解知识具有重要的作用。在教学中提供丰富的感性材料进行直观教学。充分运用对比，引导学生对知识之间从形到质的联系与区别进行细致深入的探究，才能保证学生对所学的概念和规律有准确的理解。
2.知识变化为“续”，经历深度思考。
教师要保证学生自主展开探索活动，成为解决问题的主体。延伸的材料要针对学生学习中容易出现的盲点，引发学生的认知冲突，激起学生深入探究知识本质的欲望。
例如：四年级下册《三角形的分类》一课中：
2.下面的三角形都被一张纸遮住了一部分，只有露
着的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗?
学生解答完后，教师进行延伸提问：长方形的后面藏着一个三角形，如果只能让你看一个角，但这个角你可以选择，你选哪个角就可以准确地判断出来它是哪种三角形?学生有的说看钝角，有的说看直角，但都被同伴推翻。经过一段深度的思考后，学生发现应该是看那个最大的角。
学生从变式材料的各种属性中区分出本质属性和非本质属性，从而掌握事物的本质属性，又能消除对相似概念和类似的原理的混淆，从而加深对这些知识的理解。
3.知识整理为“续”，形成完整体系。
教师对教材进行加工和处理要有整体结构意识，要把握知识的内在的逻辑，引导学生主动地把握贯穿单元教学前后的知识结构。每节课中教师都要注意渗透，每个单元都要引导学生整理。
例如：四年级下学期《平行四边形和梯形》单元结束，师生一起整理的知识结构图如下：
在整理的过程中，学生结合平行四边形和梯形的特征用集合图表示出它们的区别，将以前学习的长方形和正方形也纳入现有的知识结构。这样的一幅图表简洁明了地概括出所学过的四边形的概念和关系。
4.知识运用为“续”，提升数学能力。
例如在知识应用环节，延伸了这样一个练习：
通过小明从家去超市怎么走，两条路为什么同样长两个问题，学生马上运用到长方形的对边相等的知识，还有的学生说都是走了一个长和一个宽。学生在解决问题的过程中巩固了本节课的知识。并为下节课学习长方形的周长做了自然的衔接。
把长方形和正方形的特征的运用延伸为一幅简单的地图，通过描述路线、计算路程这些生活中的问题，学生在运用的过程中实现了知识和生活经验的深层次沟通，提高了解决问题的能力。
综上所述。教师要在把握知识的前提下。结合学生的实际情况，根据学生的实际需要给教材写“序”和“续”，对教材进行合理有效的延伸，弥补教材上的缺憾，使得知识的呈现方式更加适合学生的学习情况，扩展知识面，更有效地促进学生的探究。让学生不仅感觉数学好学，而且能够学好数学。
[参考文献]
[1]朱志明，小学数学用教材教的几点策略，小学教学参考，2007(11)
[2]钟启泉，“优化教材”——教师专业发展的标尺，上海教育科研，2008(1)
什么是教材的延伸?就是延展教材，扩大教材的宽度、范围。一个方向是把教材推广到学生已有的知识、经验，激活大脑接通联系，实现从旧知到新知、从具体到抽象的转化。另一个方向是引领学生将单课的知识延伸至知识结构，延伸至生活，实现从局部到整体、从知识到能力的转化。
延伸有什么意义?数学的学习有两个过程，内化构建和外化构建。内化构建是学生的感知、表象、理解向内发展。在内化构建中，教师应根据学生的认知特点，把教材中的现成结论延伸为学生动手操作的情境，转变为学生探索的对象，促使静态的知识动态化。小学数学教材的延伸是为了让学生从具有的“数学现实”出发，在实践活动中、在现实生活中学习数学。这就是给教材写“序”，其目的是帮助学生更轻松地从数学现实和知识结构走入教材。外化构建是从理论到实践，实现教材实践化，揭示知识之间的内在联系。这是给教材写“续”，促进学生参与解决问题，主动地构建认知结构。综上所述，如下图所示。小学数学教材的延伸能帮助学生实现两种方向的思维过程。
我们该怎样发掘教材资源，延伸教材，拓宽课堂教学的空间呢?下面是我实践探索的体会。
一、“序”引导学生轻松高效地走入教材
序曲是歌舞剧的前奏，与剧情融合，起到表现剧情、引导听众进入戏剧的作用。我们给教材加上“序”，就是将“书本数学”延伸为“生活数学”，不是单纯地强调学科的学术性，也把它看作学生生活的组成部分。将数学学科的高度抽象性以具体形象的教学方式与学生沟通。引导学生走向社会，走进生活。具体地感知数学在现实生活中的意义，把“侧重教的教材转化成儿童学的学材”，引导学生轻松高效地走入教材。
1.生活为“序”，激活知识。
教师要沟通数学知识与学生的现实生活之间的联系，将枯燥的教学内容激活。实现知识与生活和儿童认知世界的交汇。
例如《长方形和正方形的认识》练习第三题，关于长方形转化成正方形，书上画了一幅图。
如果让学生照样子折，然后直接回答为什么，学生感觉比较困难。实际上，学生很小的时候都学会了折纸，而折纸中经常要像这样把长方形转化成正方形。于是我就设计了这样几个问题：谁会做风车?这是一张长方形的纸，可以直接做吗?怎样能变成正方形的纸?下面这两张纸分别做风车，哪张纸做的风车大?为什么?你还能折更大的吗?为什么?你有什么发现?
学生利用做风车的实际经验，很快地判断出右面的纸能折出更大的正方形，通过比较，发现折的正方形的大小是由原来长方形的宽决定的。在此基础上，学生发现正方形的边长就是原来长方形的宽。剪的过程就是把长变得和宽同样长了。通过生活经验、书本知识与发现问题、解决问题相结合，学生就能轻松地获取知识。
2.经验为“序”，提供方法。
在应用数学知识解决现实和富有挑战性的问题过程中。教师应注意了解学生现实生活中的实际经验，设计真实的问题，进而引导学生了解体会这些数学问题的生活原型，理解数学知识的内涵，并在此基础上，创建数学模型，引导学生舍繁求简，探讨问题解决的一般规律，感受其中的数学思想和方法。
例如四年级数学下册《乘法》中的练习：
9.回收1吨废纸可以造出850千克再生纸，同时还节省化工原料300千克，节约电600千瓦时，节约水100吨。
(1)某废品回收站上个月回收废纸36吨，用这些废纸能造出多少千克再生纸?
(2)你还能提出什么问题?
学生对于本题中出现的大量信息感觉无从下手，各种单位也让学生眼花缭乱，于是，我在出示这道题之前先和同学们聊了一个话题：一元钱能做什么?之后将各种信息用表格整理如下：
如果有2元钱。你发现可以做什么?学生有的说可以买8块橡皮，有的说可以买20张纸，等等。如果有68元钱呢?可以用算式表示你的想法。学生有的说可以买68x4块橡皮，有的说可以买68x2个包子，等等。我引导学生结合生活中解决问题的方法来解决这道题。学生也整理如下：
这样，学生很轻松地解决了这个问题，还提出了很多想法，有数学的，有关于环保的。因为这种表格式的信息让学生很容易理解和接受。而这种解决问题的方法就来源于1元钱的故事。
本内容如果教师只是用“数学问题＋生活情境”的“加法”思维方式来体现数学与现实生活的联系。这种处理方式就是简单化的、表面化的。教师应从本质上揭示数学问题的现实意义，从而深层次地体现数学与现实生活的联系。
3.图像为“序”，激发思维。
图像直观、简洁，利于思考，概括性强，有助于理解。因此，图像是帮助人类思考的极好工具。斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”
例如：三年级下学期《找规律——植树问题》中，把找到的规律运用到生活的各种问题中是学生感到很困难的环节，因为学生很难把锯木料、爬楼梯、发车等问题很好地转化为已掌握的规律。我在教学中利用课件将实际的情景图简化为示意图，引导学生通过画示意图的方法理解其中的规律。如：锯木料问题(见图1)，楼梯问题(见图2)，发车问题(见图3)。
学生根据生活经验和现实情境，画出简单的图像。这样。学生就理解每种实际问题与植树问题的内在联系，如段数在两端，比锯的次数多一；层数在两端，比楼梯数多一，等等。学生经历了从“外化”到“内化”的过程。通过画图，激起了学生对生活的联想，促进了学生思维能力的发展。体现了数学课程标准中提出的数学的呈现方式要丰富多样的新理念，促进了学科整合，提高了学生的综合素质。
二、“续”推动学生精准完整地掌握知识
续编，是在原有作品的基础上再次延伸创作的作品。教材是按照一节节课的内容来编排的，突出了每个知识点。因此教学中要思考如何处理每个知识点与整个知识结构的联系。给教材写“续”，使得学生感受到知识具有丰富的内在联系，突出数学知识整体之间的联系。在发现新规律的过程中不断重组自己的认知结构，从而形成精确、完整的知识结构。
1.知识比较为“续”，掌握精准知识。
如果教师教学中只突出本节课的例题与练习，学生的学习容易变成单一的解题性的学习，知识固化为简单的结论，失去了数学对学生发展的价值。经过一段时间的学习，累积了更多的知识以后，学生就会出现知识的 混淆。认知出现偏差，难以掌握数学知识之间的内在逻辑。
例如：三年级上册《长方形和正方形的认识》一课中，把学生搭好的长方形做了一下变化(如图1)，现在还是长方形吗?根据学生说的因为放斜了所以不是了，材料继续变化(如图2)。
学生针对这样的延伸材料展开了热烈的讨论和深入的思考，最终发现长方形不仅对边相等。四个角也要都是直角。
美国心理学家贾德通过实验证明：学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需要掌握原理。形成类比。才能迁移到类似的学习中。这样的对比教学对于学生理解知识具有重要的作用。在教学中提供丰富的感性材料进行直观教学。充分运用对比，引导学生对知识之间从形到质的联系与区别进行细致深入的探究，才能保证学生对所学的概念和规律有准确的理解。
2.知识变化为“续”，经历深度思考。
教师要保证学生自主展开探索活动，成为解决问题的主体。延伸的材料要针对学生学习中容易出现的盲点，引发学生的认知冲突，激起学生深入探究知识本质的欲望。
例如：四年级下册《三角形的分类》一课中：
2.下面的三角形都被一张纸遮住了一部分，只有露
着的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗?
学生解答完后，教师进行延伸提问：长方形的后面藏着一个三角形，如果只能让你看一个角，但这个角你可以选择，你选哪个角就可以准确地判断出来它是哪种三角形?学生有的说看钝角，有的说看直角，但都被同伴推翻。经过一段深度的思考后，学生发现应该是看那个最大的角。
学生从变式材料的各种属性中区分出本质属性和非本质属性，从而掌握事物的本质属性，又能消除对相似概念和类似的原理的混淆，从而加深对这些知识的理解。
3.知识整理为“续”，形成完整体系。
教师对教材进行加工和处理要有整体结构意识，要把握知识的内在的逻辑，引导学生主动地把握贯穿单元教学前后的知识结构。每节课中教师都要注意渗透，每个单元都要引导学生整理。
例如：四年级下学期《平行四边形和梯形》单元结束，师生一起整理的知识结构图如下：
在整理的过程中，学生结合平行四边形和梯形的特征用集合图表示出它们的区别，将以前学习的长方形和正方形也纳入现有的知识结构。这样的一幅图表简洁明了地概括出所学过的四边形的概念和关系。
4.知识运用为“续”，提升数学能力。
例如在知识应用环节，延伸了这样一个练习：
通过小明从家去超市怎么走，两条路为什么同样长两个问题，学生马上运用到长方形的对边相等的知识，还有的学生说都是走了一个长和一个宽。学生在解决问题的过程中巩固了本节课的知识。并为下节课学习长方形的周长做了自然的衔接。
把长方形和正方形的特征的运用延伸为一幅简单的地图，通过描述路线、计算路程这些生活中的问题，学生在运用的过程中实现了知识和生活经验的深层次沟通，提高了解决问题的能力。
综上所述。教师要在把握知识的前提下。结合学生的实际情况，根据学生的实际需要给教材写“序”和“续”，对教材进行合理有效的延伸，弥补教材上的缺憾，使得知识的呈现方式更加适合学生的学习情况，扩展知识面，更有效地促进学生的探究。让学生不仅感觉数学好学，而且能够学好数学。
[参考文献]
[1]朱志明，小学数学用教材教的几点策略，小学教学参考，2007(11)
[2]钟启泉，“优化教材”——教师专业发展的标尺，上海教育科研，2008(1)