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近几年，教师们越来越重视学生的错例，通过收集错题、成因分析及对策的探究，尝试读懂学生的错误，分析这些错误中的合理成分，认识到错误的价值。但错误的价值已不在于错误本身，而在于师生通过纠错所获得的新启迪。在学生学习新知前，教师是否能了解学生在课堂上可能会出现的错误，做到心中有数，从而采取一些措施加以干预，降低错误的发生率；或者教师是否能根据错误适时地调整教学思路，在课堂上“暴露”学生的错误，并让学生经历犯错—剖析—反思的重要历程，这也是学生不可或缺的学习成长。
一、课前错例分析
在学校的数学教师研修活动中，笔者执教人教版五年级上册“组合图形的面积”一课。上课之前，笔者一直在思考这节课教什么，组合图形的面积安排在学生学习了基本图形的面积之后，计算组合图形的面积对学生来说是一个难点，而教材中只安排了一节新授课和一节练习课。按照教材提供的主题图和例题，使学生在理解什么是组合图形的基础上，通过例4（墙面的面积）的教学，掌握如何将组合图形转化为基本图形进行计算，展示了两种计算方法，且都是分割法，而添补法则出现在练习巩固中计算中队旗的面积，来让学生体会算法的多样性与优化。如果仅仅是定位于让学生学会如何把一个组合图形分解或添补成已学过的平面图形并进行计算，就显得过于单薄了些，对此，笔者思考：求组合图形的面积可以有多种途径和方法，不要把学生的思维限制在一种固定的模式上，要为学生提供有意义的探索素材，展现多种分解的方法，展开有层次的思维训练，最大限度地激活每个学生寻求组合图形面积计算方法的思维动力。在活动之中逐步使学生体会到并非任意分解都是可行的，要根据条件（要会寻求隐含的条件）进行合理分解，而且要尽可能地选择简单的方法。
凭笔者对学生错误情况的了解，学生在求组合图形的面积时，对于像下面这道题，其常常会错解为（5 10）×（4.5 6）÷2 =78.75（cm2）的不在少数 。
【原因分析】学生把上下两个梯形的面积“综合”为一个梯形：变成上底为5，下底为10，4.5 6为梯形的高，且认为数据7是多余的条件。从学生方面看，主要是由学生的错觉引起的。而在教师方面，由于平时特别关注梯形的上、下底和高，认为这是梯形求面积的三要素，而梯形的斜边（四边形）特征却被忽视。
另外，对于下面这道题，学生在初学时容易将它看成为一个梯形，从而列式为（2 5）×7÷2=24.5 （cm 2）的不只一个学生，也不只是一届学生出现这样的错误，这就应该引起教师的重视与思考。看来教师还应注重培养学生观察组合图形的能力，学会分析组合图形是由一个图形分割出来的，还是由几个基本图形组合而成的。
二、教学前测与预设
在教学“组合图形的面积”一课前，笔者本着回归学生的想法，给全班43位学生做了前测，布置了如下预习提纲：
结果如下：对于“什么是组合图形”这一问题，由于生活中物体的表面大多是以组合图形的形式出现的，为学生理解这一概念提供了直观形象，这一常识性的问题较简单。通过对“你觉得计算组合图形面积时要注意什么”和“对这一部分内容大家遇到了什么问题”这两个问题的回答，发现47.6%的学生（20位）停留在要注意“不要算错”“不要把数看错”“要注意数字，不然就下面都错了”这样的认识上，25.6%的学生（11位）认为“要注意计算公式不要写错”“不要忘记除以2”“看清楚单位”，关注的仍非本质。16.6%（7位）的学生认为“要注意的是加上还是减去”“看清楚是什么图形”，只有两位学生（约5%）写了要注意“知道图形的数据，把不知道的求出来”，一位学生（2.3%）认为“要注意分成几个基本图形”。
经过个别访谈，笔者发现有些学生虽然会计算面积，但是其前提是对于已经分解或添补好的图形，或较简单的组合图形。一轮试教下来，发现学生对于同一图形有不同的计算方法，如何分解比较简单又可行，学生并没有这样的意识。
由于笔者原先并不重视这一个学生现状，所以就从他们五花八门的分法中选择出教学时所需要的分法展开教学，学生就按部就班地分“三步走”：先算什么，再算什么，最后相加（或减）。但课后细细揣摩这是笔者对教学对学生的认识不够，为什么会对这种学生普遍存在的错误分法视而不见？为什么不将这些错误的资源晒出来让学生讨论？为什么只习惯于将正确的答案亮出来，只习惯性地追求显性的终极目标——答案准确？教师不能只认为解决问题的价值是为了获得具体问题的解，而应更多地去关注学生在解决问题中获得的发展。
【教学预设的调整】
基于以上的前测和试教分析，笔者给自己在课堂上的角色作了这样的调整定位：利用错误资源，深入分析理解，并把它们充分地展示给学生去讨论，让他们对“错误”有深刻的认识，变“错误”为宝，深刻地体会认识。因此，笔者课前做足了功课，将学生的各种错误分解方法收集起来，逐一分析每一种分法中学生可能的想法，以及这种方法所占的比率，预设好这几种错误分法出现时教师应采取的干预措施，做到心中有数，有的放矢。
三、教学实施及策略
（一）正视错误，把“空白”留给学生
在创设情境、提出问题之后，学生尝试进行分解，在交流汇报阶段——
师：谁愿意来指着图说一下你们是怎么分的？分成了哪些基本图形？（学生分别介绍了横的分和竖的分两种分法，和）接下来，学生又介绍了一种方法：“还可以这样分，分成了三角形和梯形。尽管笔者做了充分的预设分析，但是对于这种错误分法还是有些意外。“老师将你的分法画下来，请大家讨论讨论。”课堂上一时间安静了一会儿，笔者没有发表意见。渐渐地，开始有小声地说：“这个好像不是梯形。”“对，这不是梯形，”有学生附和说。笔者笑着问：“谁来发表你的意见？”生：“我认为那个不是梯形。”“你同意吗？”笔者转向出错的学生。他点点头，弱弱地说：“同意。”笔者转问全体学生：“一开始，我们以为它是个梯形，确实很像，但仔细一观察发现并非如此。”笔者笑问这位学生：“听了同学们的意见，你有什么想法？”“嗯，是我看错了。”“看来这个图形不是一个基本图形，不能直接计算面积，所以这样的分法不合适。但我们还是要把掌声送给你，谢谢你。” 确实，对于这种分法笔者有些意外，但是当时分析了一下这个错误的合理成分，以及这位同学出错的可能原因，将右边部分看成梯形的常见性错误，觉得不应忽视，有必要“暴露”一下学生的思维。按以往的做法，笔者会马上追问：“看仔细，这是个梯形吗？”但是这次我选择了等待，给学生适当留些“空白”——思维的空间和平台，让学生主动地去思考和发现。在出现错误之后留“空白”，有了空白，就有了多种填充的可能，让学生静静想一想，以便他们对错误进行再次解读，这对于学生内化能力起着至关重要的作用。
（二）悦纳错误，让学生有机会看到不同的观点和方法
师：“还有不一样的分法吗？”一位学生说：“还可以这样分。”于是出现了笔者预设中的错误。
“老师也将它画出来，同学们，有和他分法一样的请举手。”居然有十来个，看来两个班级的学生情况差不多。“你们对这种分法有什么想法吗？”试图将问题抛给学生，果然，很快就有学生发现问题所在：“下面的图形面积不能算出来。”受他的启发，不少学生纷纷表示认同，“看来，这个图形也不是我们学过的基本图形，它的面积不能直接计算，这样的分法也不可取。这位同学你同意吗？”他思考了片刻说：“那我这里再加一条就好了呀。”“哦，他还想再坚持自己的想法，并作了改进。”笔者赶紧将他的意思呈现在黑板上：“大家看，这样分可以了吗？”“这样算是可以算的……”笔者赶紧追问：“这样分成了三个三角形，你们认为有没有不太妥当的地方？”“就是有点儿麻烦。”有学生小声嘀咕道。顿时，有学生频频点头，这位学生皱起了眉头。“如果分成两个基本图形就可以计算出面积，你还愿意分成三个基本图形来算吗？”我试图让他反思自己的策略。“那么大家觉得在分解的时候要注意什么问题？”适时地抛出了一个问题，不一会儿就有人说：“要能算出来的。”“不能分得太多，不然算起来麻烦。”“同学们说得很好，老师把它概括为要分得简单。”（板书）
学习中的困难和错误，能给学生带来有益的启示，对错误的分析使学生的认识更加深刻，教师既要尝试去悦纳学生的错误，又要引导学生去挖掘分析，在层层推进错误分析的过程中，让学生自己体会“要根据条件尽量选择简单的方法”的解题策略，这样，教师给予学生的不仅是数学事实，还有一种思维方式。同时，在相互讨论的过程中，学生将有机会看到不同的观点和方法，这实际上也是对自己解决问题方法的深入理解的过程，同他人的讨论使自己的策略和思想得到详细的检查和完善，也可以从其他同学的想法中学到东西。通过仔细地听取和思考他人的观点，学生成了有着批判眼光的思考者。
（三）剖析错误，发挥错误带来的积极效应
师：“还有别的分法吗？”
生：“或许这样也可以。”其实在巡视当中，笔者发现这种分法的有8个学生，也带有普遍性。“这样分，简单。”这是学生的第一直觉，“同学们，你们同意吗？”有一些学生不假思索地回答“同意”。因为这个错误有思辨的价值，所以笔者决定等待学生自己去反思。“老师想等等看，会不会有不同的声音出现。”果然一只小手举起来了：“这样不能算的。”“为什么？”“这样斜上去，三角形的底我们就不知道了。”“那三角形的面积能计算吗？”“不能。”笔者紧接着问：“梯形的面积能算吗？”“也不能，因为上底也不知道。”这时，其他学生纷纷表示赞同。“是的，凭我们的能力，还无法知道，所以这种分法虽然简单但不合适。可是我们还是要谢谢这位同学，给我们提供了一个讨论的话题。”笔者适时再抛出一个问题：“那么，在分解时还要注意什么问题？”学生有的说：“是要我们能算出来的。”“图形的底、高要知道。”……“大家说得很好，看来仅仅分得简单还不够，还要能算出来，老师把它概括为要可行。”
对于这个预料之中的错误，让学生自己去发现，效果会优于教师去修正。对于这种错误进行剖析，是促成学生思维深入的一个很好的机会，所以教师不应置之不理，也不要轻描淡写，而是要最大限度地发挥错误带来的积极效应。1.纠正错误——学生认为这种分法简单但是根据已有条件并不可行，这一点通过辨析得以澄清。2.学法指导——在分析错误的过程中，教师利用学生的点评使学生认识到不仅要发现错误，还要知道错误的原因所在，要有理有据，考虑问题要完整。3.培养学习习惯——在辨析的过程中，同伴相互学习，相互质疑。纠正了原有的错误，丰富了自己的学习体会，思维也渐渐接近数学的本质。
（四）澄清错误，让出错的学生体面地坐下
在计算组合图形的面积时，笔者原本打算选取两种典型算法板演在黑板上，在巡视中发现一个错误：10-4=6m，S=4×8=32（m2），S=（8 12）×10÷2=100（m2），32 100=132（m2）。因为这节课时间有些紧张，如果将这个错误板演呈现在学生面前，势必造成时间不够。是按原计划呈现正确答案顺利讲评，还是呈现错误共同纠正，笔者内心很纠结，但最终选择让错误的学生去板演。师：我们先请这位同学介绍一下她的算法，大家仔细听，可以补充或提问。生：10-4=6（m）求的是梯形的高，4×8=32（m2）先求出上面的长方形的面积，（8 12）×10÷2……此处，她停顿了一会儿，小声嘀咕了几遍“×10”，“噢，我写错了！”马上将10改为6。虽然是一个小细节，但是笔者相信她这个动作使全班学生都心领神会了，笔者也会心一笑：“同学们，虽然她一开始不小心写错了，但是我相信大家以后就不会犯这样的错误了，是吗？让我们把掌声送给她。” 笔者很庆幸自己没有漠视学生的错误，这一分钟丝毫不浪费，这位学生纠正了自己的错误，其他同伴也因此而受到启迪。
总之，错误是伴随着学生的成长出现的，面对学生的错误，教师要有宽容和智慧，努力让学生的问题、困惑不成为教学活动的“绊脚石”，而是探究活动的“生长点”，这些“生长点”足以让学生投入到新的探究活动中。因此，作为教师，面对学生的错误，要有一颗敬畏之心，敬它给我们带来丰富的教育资源和契机，畏它对学生的情感、态度、价值观潜在的影响。当我们努力去读懂错误，把错误视为一种课堂资源时，那我们对师生共同成长会有更深刻的体验与更生动的解读。
（浙江省诸暨市江东小学 311800）
一、课前错例分析
在学校的数学教师研修活动中，笔者执教人教版五年级上册“组合图形的面积”一课。上课之前，笔者一直在思考这节课教什么，组合图形的面积安排在学生学习了基本图形的面积之后，计算组合图形的面积对学生来说是一个难点，而教材中只安排了一节新授课和一节练习课。按照教材提供的主题图和例题，使学生在理解什么是组合图形的基础上，通过例4（墙面的面积）的教学，掌握如何将组合图形转化为基本图形进行计算，展示了两种计算方法，且都是分割法，而添补法则出现在练习巩固中计算中队旗的面积，来让学生体会算法的多样性与优化。如果仅仅是定位于让学生学会如何把一个组合图形分解或添补成已学过的平面图形并进行计算，就显得过于单薄了些，对此，笔者思考：求组合图形的面积可以有多种途径和方法，不要把学生的思维限制在一种固定的模式上，要为学生提供有意义的探索素材，展现多种分解的方法，展开有层次的思维训练，最大限度地激活每个学生寻求组合图形面积计算方法的思维动力。在活动之中逐步使学生体会到并非任意分解都是可行的，要根据条件（要会寻求隐含的条件）进行合理分解，而且要尽可能地选择简单的方法。
凭笔者对学生错误情况的了解，学生在求组合图形的面积时，对于像下面这道题，其常常会错解为（5 10）×（4.5 6）÷2 =78.75（cm2）的不在少数 。
【原因分析】学生把上下两个梯形的面积“综合”为一个梯形：变成上底为5，下底为10，4.5 6为梯形的高，且认为数据7是多余的条件。从学生方面看，主要是由学生的错觉引起的。而在教师方面，由于平时特别关注梯形的上、下底和高，认为这是梯形求面积的三要素，而梯形的斜边（四边形）特征却被忽视。
另外，对于下面这道题，学生在初学时容易将它看成为一个梯形，从而列式为（2 5）×7÷2=24.5 （cm 2）的不只一个学生，也不只是一届学生出现这样的错误，这就应该引起教师的重视与思考。看来教师还应注重培养学生观察组合图形的能力，学会分析组合图形是由一个图形分割出来的，还是由几个基本图形组合而成的。
二、教学前测与预设
在教学“组合图形的面积”一课前，笔者本着回归学生的想法，给全班43位学生做了前测，布置了如下预习提纲：
结果如下：对于“什么是组合图形”这一问题，由于生活中物体的表面大多是以组合图形的形式出现的，为学生理解这一概念提供了直观形象，这一常识性的问题较简单。通过对“你觉得计算组合图形面积时要注意什么”和“对这一部分内容大家遇到了什么问题”这两个问题的回答，发现47.6%的学生（20位）停留在要注意“不要算错”“不要把数看错”“要注意数字，不然就下面都错了”这样的认识上，25.6%的学生（11位）认为“要注意计算公式不要写错”“不要忘记除以2”“看清楚单位”，关注的仍非本质。16.6%（7位）的学生认为“要注意的是加上还是减去”“看清楚是什么图形”，只有两位学生（约5%）写了要注意“知道图形的数据，把不知道的求出来”，一位学生（2.3%）认为“要注意分成几个基本图形”。
经过个别访谈，笔者发现有些学生虽然会计算面积，但是其前提是对于已经分解或添补好的图形，或较简单的组合图形。一轮试教下来，发现学生对于同一图形有不同的计算方法，如何分解比较简单又可行，学生并没有这样的意识。
由于笔者原先并不重视这一个学生现状，所以就从他们五花八门的分法中选择出教学时所需要的分法展开教学，学生就按部就班地分“三步走”：先算什么，再算什么，最后相加（或减）。但课后细细揣摩这是笔者对教学对学生的认识不够，为什么会对这种学生普遍存在的错误分法视而不见？为什么不将这些错误的资源晒出来让学生讨论？为什么只习惯于将正确的答案亮出来，只习惯性地追求显性的终极目标——答案准确？教师不能只认为解决问题的价值是为了获得具体问题的解，而应更多地去关注学生在解决问题中获得的发展。
【教学预设的调整】
基于以上的前测和试教分析，笔者给自己在课堂上的角色作了这样的调整定位：利用错误资源，深入分析理解，并把它们充分地展示给学生去讨论，让他们对“错误”有深刻的认识，变“错误”为宝，深刻地体会认识。因此，笔者课前做足了功课，将学生的各种错误分解方法收集起来，逐一分析每一种分法中学生可能的想法，以及这种方法所占的比率，预设好这几种错误分法出现时教师应采取的干预措施，做到心中有数，有的放矢。
三、教学实施及策略
（一）正视错误，把“空白”留给学生
在创设情境、提出问题之后，学生尝试进行分解，在交流汇报阶段——
师：谁愿意来指着图说一下你们是怎么分的？分成了哪些基本图形？（学生分别介绍了横的分和竖的分两种分法，和）接下来，学生又介绍了一种方法：“还可以这样分，分成了三角形和梯形。尽管笔者做了充分的预设分析，但是对于这种错误分法还是有些意外。“老师将你的分法画下来，请大家讨论讨论。”课堂上一时间安静了一会儿，笔者没有发表意见。渐渐地，开始有小声地说：“这个好像不是梯形。”“对，这不是梯形，”有学生附和说。笔者笑着问：“谁来发表你的意见？”生：“我认为那个不是梯形。”“你同意吗？”笔者转向出错的学生。他点点头，弱弱地说：“同意。”笔者转问全体学生：“一开始，我们以为它是个梯形，确实很像，但仔细一观察发现并非如此。”笔者笑问这位学生：“听了同学们的意见，你有什么想法？”“嗯，是我看错了。”“看来这个图形不是一个基本图形，不能直接计算面积，所以这样的分法不合适。但我们还是要把掌声送给你，谢谢你。” 确实，对于这种分法笔者有些意外，但是当时分析了一下这个错误的合理成分，以及这位同学出错的可能原因，将右边部分看成梯形的常见性错误，觉得不应忽视，有必要“暴露”一下学生的思维。按以往的做法，笔者会马上追问：“看仔细，这是个梯形吗？”但是这次我选择了等待，给学生适当留些“空白”——思维的空间和平台，让学生主动地去思考和发现。在出现错误之后留“空白”，有了空白，就有了多种填充的可能，让学生静静想一想，以便他们对错误进行再次解读，这对于学生内化能力起着至关重要的作用。
（二）悦纳错误，让学生有机会看到不同的观点和方法
师：“还有不一样的分法吗？”一位学生说：“还可以这样分。”于是出现了笔者预设中的错误。
“老师也将它画出来，同学们，有和他分法一样的请举手。”居然有十来个，看来两个班级的学生情况差不多。“你们对这种分法有什么想法吗？”试图将问题抛给学生，果然，很快就有学生发现问题所在：“下面的图形面积不能算出来。”受他的启发，不少学生纷纷表示认同，“看来，这个图形也不是我们学过的基本图形，它的面积不能直接计算，这样的分法也不可取。这位同学你同意吗？”他思考了片刻说：“那我这里再加一条就好了呀。”“哦，他还想再坚持自己的想法，并作了改进。”笔者赶紧将他的意思呈现在黑板上：“大家看，这样分可以了吗？”“这样算是可以算的……”笔者赶紧追问：“这样分成了三个三角形，你们认为有没有不太妥当的地方？”“就是有点儿麻烦。”有学生小声嘀咕道。顿时，有学生频频点头，这位学生皱起了眉头。“如果分成两个基本图形就可以计算出面积，你还愿意分成三个基本图形来算吗？”我试图让他反思自己的策略。“那么大家觉得在分解的时候要注意什么问题？”适时地抛出了一个问题，不一会儿就有人说：“要能算出来的。”“不能分得太多，不然算起来麻烦。”“同学们说得很好，老师把它概括为要分得简单。”（板书）
学习中的困难和错误，能给学生带来有益的启示，对错误的分析使学生的认识更加深刻，教师既要尝试去悦纳学生的错误，又要引导学生去挖掘分析，在层层推进错误分析的过程中，让学生自己体会“要根据条件尽量选择简单的方法”的解题策略，这样，教师给予学生的不仅是数学事实，还有一种思维方式。同时，在相互讨论的过程中，学生将有机会看到不同的观点和方法，这实际上也是对自己解决问题方法的深入理解的过程，同他人的讨论使自己的策略和思想得到详细的检查和完善，也可以从其他同学的想法中学到东西。通过仔细地听取和思考他人的观点，学生成了有着批判眼光的思考者。
（三）剖析错误，发挥错误带来的积极效应
师：“还有别的分法吗？”
生：“或许这样也可以。”其实在巡视当中，笔者发现这种分法的有8个学生，也带有普遍性。“这样分，简单。”这是学生的第一直觉，“同学们，你们同意吗？”有一些学生不假思索地回答“同意”。因为这个错误有思辨的价值，所以笔者决定等待学生自己去反思。“老师想等等看，会不会有不同的声音出现。”果然一只小手举起来了：“这样不能算的。”“为什么？”“这样斜上去，三角形的底我们就不知道了。”“那三角形的面积能计算吗？”“不能。”笔者紧接着问：“梯形的面积能算吗？”“也不能，因为上底也不知道。”这时，其他学生纷纷表示赞同。“是的，凭我们的能力，还无法知道，所以这种分法虽然简单但不合适。可是我们还是要谢谢这位同学，给我们提供了一个讨论的话题。”笔者适时再抛出一个问题：“那么，在分解时还要注意什么问题？”学生有的说：“是要我们能算出来的。”“图形的底、高要知道。”……“大家说得很好，看来仅仅分得简单还不够，还要能算出来，老师把它概括为要可行。”
对于这个预料之中的错误，让学生自己去发现，效果会优于教师去修正。对于这种错误进行剖析，是促成学生思维深入的一个很好的机会，所以教师不应置之不理，也不要轻描淡写，而是要最大限度地发挥错误带来的积极效应。1.纠正错误——学生认为这种分法简单但是根据已有条件并不可行，这一点通过辨析得以澄清。2.学法指导——在分析错误的过程中，教师利用学生的点评使学生认识到不仅要发现错误，还要知道错误的原因所在，要有理有据，考虑问题要完整。3.培养学习习惯——在辨析的过程中，同伴相互学习，相互质疑。纠正了原有的错误，丰富了自己的学习体会，思维也渐渐接近数学的本质。
（四）澄清错误，让出错的学生体面地坐下
在计算组合图形的面积时，笔者原本打算选取两种典型算法板演在黑板上，在巡视中发现一个错误：10-4=6m，S=4×8=32（m2），S=（8 12）×10÷2=100（m2），32 100=132（m2）。因为这节课时间有些紧张，如果将这个错误板演呈现在学生面前，势必造成时间不够。是按原计划呈现正确答案顺利讲评，还是呈现错误共同纠正，笔者内心很纠结，但最终选择让错误的学生去板演。师：我们先请这位同学介绍一下她的算法，大家仔细听，可以补充或提问。生：10-4=6（m）求的是梯形的高，4×8=32（m2）先求出上面的长方形的面积，（8 12）×10÷2……此处，她停顿了一会儿，小声嘀咕了几遍“×10”，“噢，我写错了！”马上将10改为6。虽然是一个小细节，但是笔者相信她这个动作使全班学生都心领神会了，笔者也会心一笑：“同学们，虽然她一开始不小心写错了，但是我相信大家以后就不会犯这样的错误了，是吗？让我们把掌声送给她。” 笔者很庆幸自己没有漠视学生的错误，这一分钟丝毫不浪费，这位学生纠正了自己的错误，其他同伴也因此而受到启迪。
总之，错误是伴随着学生的成长出现的，面对学生的错误，教师要有宽容和智慧，努力让学生的问题、困惑不成为教学活动的“绊脚石”，而是探究活动的“生长点”，这些“生长点”足以让学生投入到新的探究活动中。因此，作为教师，面对学生的错误，要有一颗敬畏之心，敬它给我们带来丰富的教育资源和契机，畏它对学生的情感、态度、价值观潜在的影响。当我们努力去读懂错误，把错误视为一种课堂资源时，那我们对师生共同成长会有更深刻的体验与更生动的解读。
（浙江省诸暨市江东小学 311800）