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【摘 要】在计算教学中，教师要充分认识例题图的教育价值，潜心揣摩例题图的教学意蕴，切实遵循学生的认识规律和知识发展的规律，反复研读例题图，深挖其教学内涵，做到合理地、灵活地、充分地和创造性地运用，让例题图的教学内涵不断凸显，教育价值充分彰显。为此，要设法让例题图变得有现实背景，有内部结构，有生长活力，有前后联系。
【关键词】例题图；算理；现实背景；内部结构
本文所说的例题图是指教材中例题的配图。一般来说，教材中的例题图是经过编者反复推敲、精心设计而成的，它体现着编者的编写意图，承载着独特的教学价值。在计算教学中，教师如何有效地运用例题图帮助学生探明算理呢？笔者认为，教师应反复研读例题图，深挖其教学内涵，做到合理地、灵活地、充分地和创造性地运用，从而让例题图的教学内涵不断凸显，教育价值充分彰显。现结合苏教版教材的几个教学实例，谈谈笔者运用例题图的策略。
一、让例题图变得有现实背景
对于小学数学来说，几乎每个知识点都有其现实背景，都能在现实生活中找到原型。现实背景往往处于自然状态，而例题图则是现实背景的加工版，有着明显的人为加工痕迹，可以说是“会说话”的图。有些例题图因有明显的暗示在里面，学生一看便知，无须多少思考就知其意。这时，如果教师过早地、直接地出示例题图，虽然有利于学生快速地知晓算理，但剥夺了学生独立思考的机会，不利于其自主探索和发现新知，也不利于其深刻感悟新知，更不利于其自觉运用新知。为此，笔者认为，应该在学生迫切需要时自然地出现例题图，从而让例题图的价值凸显出来。可以先出示有现实背景的实际问题，在学生独立思考、自主探索和合作交流的基础上再出示例题图，并把两图进行对比。这样，学生就会高度关注例题图的内涵，深刻领悟它的意图，仔细体会它的价值，从而让例题图中的“理”彰显出来。
例如，在教学一年级上册“9加几”时，许多教师在复习10加几的口算后，就直接出示例题图（见图1）。学生往往不假思索，按图索骥。他们看到左边盒里有一个空格，就习惯性地从右边拿一个桃放进盒里，从而很轻松地得到9 4=10 3=13。当然，也有学生是数出结果的。表面上看，这样教学似乎非常顺畅、高效，但深究一下就会发现，例题图的暗示太明显，学生只是操作工，在填空。他们不明白为什么要凑十，凑十后有什么好处，如何凑十。他们对计算中蕴含的转化思想体会不深、不强。为此，笔者改进如下：先出示下列现实问题，让学生独立解答。
1.左边有9朵黄花，右边有7朵黄花，一共有多少朵黄花？（见图2）
2.左边有9个草莓，右边有5个草莓，一共有多少个草莓？（图略）
学生解答后，笔者进行了统计，发现有的学生做对了两题，有的做对了一题，还有的连第1题都没有做对。在交流第1题的算法时，笔者发现有的学生是数出来的，即从1开始数，一直数到16；有的是从9开始数，一直数到16；有的是从右边圈1朵到左边，先凑成10，再用10 6=16；还有的先把左边看成10，用10 7=17，再用17-1=16，理由是先借过来1朵凑成十，再还出去1朵。笔者引导学生比较这四种算法：你认为哪种算法快？学生一致认为是后两种。笔者引导学生继续深思：为什么后两种算法快呢？学生发现后两种算法都是先凑成十，再算十加几，而前两种不是算出来的，是数出来的。许多学生恍然大悟，他们在对比中切实感悟到凑十的好处，从而在心理上亲近凑十，喜欢凑十。他们多么希望面前有一个能盛10个东西的筐子，以帮助自己凑十。这时，笔者再出示书中的例题图，让学生独立计算。学生看到盒里有9个桃，要算一共有多少个桃，自然地想到要从盒外拿1个桃放进盒里，先凑成十，再算10 3=13，从而把9 4自觉地转化为10 3，算出9 4=13。在此基础上，笔者引导学生继续深究：图中的盒里空一格，是想要我们干什么？这样做有什么好处？学生终于领悟到例题图的意图，体会到凑十的价值。当笔者要求学生再做上述第2题时，几乎每个学生都选择了凑十法。
二、让例题图变得有内部结构
系统论认为，整体的功能大于各部分功能之和。的确，有内在结构的图比零散的图更便于学生整体地感悟所学知识，有联系地把握所学知识，更便于学生直观地探索和理解新知。所以，我们在运用例题图时要设法使其结构化、条理化。
例如，在教学二年级上册“7的乘法口诀”时，教材提供了例题图（见图3）。笔者在运用时，就先有序地、一一地呈现小船图，就像砌墙一样从底往上依次砌上去。接着，笔者充分利用此图，让学生发现相互之间的关系，感悟其内在的结构，直观地理解算理。如理解诸如7×3 7=7×4，7×3-7=7×2等；理解诸如6个7比5个7多1个7，6个7比7个7少1个7，5个7比3个7多2个7，5个7比7个7少2个7，3个7 2个7=5个7，7个7-3个7=4个7等。在此基础上，让学生想象结构图，体会几个7的图与上、下图之间的联系，逐步从眼中图过渡到脑中图，为编写和理解口诀奠基。这样组合就把数形结合、想象与推理结合，就把知识有机地贯穿起来，形成一个整体，既便于学生整体地感悟7的乘法口诀，形象地发现口诀之间的内在联系，又便于学生今后用类似组合图探索其他乘法口诀。即使遗忘了哪句口诀，也能凭借脑中结构图自主探索出来，还便于其灵活运用口诀解决实际问题。这样做还为学生今后学习“乘法分配律”和“倍数和因数”打好基础。
三、让例题图变得有生长活力
在听课时，笔者发现，许多教师在教学中往往把例题图只当成一个“引子”，或一座“桥梁”，一旦用完就丢在一边，置之不理了，致使例题图的教学价值未充分发挥。其实，例题图虽说是为了教学某一特定内容而编制的，但编者往往是瞻前顾后，精心设计的，是想让例题图有著丰富的教学内涵和更多的教育价值，是想为后续知识的学习提供帮助。若教师能细细品读例题图，就能发掘其蕴含着更多的教学意蕴，如果再能合理地、充分地加以利用，就能让例题图“生长”出新知识。 例如，在教学四年级下册“乘法分配律”时，教材提供的例题图如图所示。在学生初步理解和掌握乘法分配律后，笔者还借助例题图进行适度的拓展和延伸。先在“相加”上拓展，如在原题上增加“三年级有5个班”，求三、四、五年级一共要领多少根跳绳。依据图和事理可知，既可以“分”开来算，列式是5×24 6×24 4×24=360（根），又可以“配”起来算，列式是（5 6 4）×24=360（根）。学生容易得到等式（5 6 4）×24=5×24 6×24 4×24。由此引导学生产生新的猜想：3个（4个、5个……）数的和与一个数相乘，等于先把这3个（4个、5个……）数分别与这个数相乘，再相加。再在“相减”上拓展，如把原题的问题改为“五年级比四年级少领多少根跳绳”。依据图和事理可知，既可以“分”开来算，列式是6×24-4×24=48（根），又可以“配”起来算，列式是（6-4）×24=48（根）。学生容易得到等式（6-4）×24=6×24-4×24。由此引导学生产生新的猜想：2个（3个、4个……）数的差与一个数相乘，可以先把这2个（3个、4个……）数分别与这个数相乘，再相减。
这样借助例题图相机进行拓展和延伸，既丰富了学生对乘法分配律的认识，加深了学生对这一规律的理解，又便于学生依据例题图探究和发现新知，从而让例题图展现出生长活力。
四、让例题图变得有前后联系
在教学中，如果教材提供的例题图前后有内在联系，这将有助于学生类比探究新知，贯通新旧知识之间的内在联系，建立统一的算法模型。反之，如果教材提供的例题图前后之间缺乏相互联系，不利于学生顺利探究，则教师应设法改造或更换例题图，从而让例题图为我所用。
例如，在教学五年级上册“小数乘小数”时，教材提供的例题图如图5所示，即已知两个长方形的长和宽，分别求其面积。在教学“小数除以小数”时，教材提供的例题图是已知鸡蛋的总价和单价，求数量（图略）。这样编排虽有现实性，能体现计算的需要和价值，但这两幅例题图之间相互割裂，缺乏内在联系，不利于学生整体感知数学思想方法，有效地迁移和运用已有的知识经验。笔者认为，除法是乘法的逆运算，后面的例题图完全可以与前面的例题图统一起来，这样既便于学生类比迁移数学思想方法，建立统一的算法模型，又便于其积累数学活动经验。笔者的处理如下。
在教学“小数乘小数”时，当学生根据例题图列出3.8×3.2，并估算出结果后，笔者引导学生思考：如何把小数乘法转化为整数乘法？在学生说出把3.8和3.2分别乘10后，笔者把房间图依次渐变，即先把房间长乘10变成38米，再把房间宽乘10变成32米，从而得到图6。学生借助图明显地看到，当把房间的长和宽分别乘10后，长和宽就都变成了整数，房间的面积也就变成了原来的100倍，变成了一个“大房间”。要想得到房间原来的面积，需要把“大房间”的面积除以100。学生直观地感到，可以把3.8×3.2转化为（3.8×10） ×（3.2×10）÷（10×10）=12.16（平方米）。学生即使没有学过或遗忘了积的变化规律，也能借助此图形象地领悟算理，建构算法。
在教学“小数除以小数”时，笔者仍用“小数乘小数”的例题图，只是把条件和问题调换，即已知房间的面积是12.16平方米，长是3.8米，求宽是多少米？如图7阴影部分，列式是12.16÷3.8。学生根据前面已有的经验，容易类比联想到：现在房间的面积和长都是小数，小数除以小数可能也要像小数乘小数那样变成整数除以整数。要把12.16÷3.8转化为两个整数相除，面积和长需要分别乘100，变成1216÷380。12.16÷3.8与1216÷380相等吗？学生产生疑惑。这时，笔者把两个这样的房间沿着长拼在一起，成为一个大长方形（如图7）。学生从中明显地看到，当长方形的面积乘2，长也跟着乘2时，宽不变。同样，用这样的3个、4个……长方形沿着长拼在一起，成為一个个大长方形，当长方形的面积分别乘3、4……100，长也跟着乘3、4……100时，宽不变。由此容易推想到：当长方形的面积和长同时乘一个相同的数（0除外）时，宽始终不变。因此，12.16÷3.8=1216÷380。同理可以类推到，12.16÷3.8=121.6÷38。这样，学生借助图形象地感到“商不变的规律”在小数除法中也同样适用，小数乘除法的计算方法在本质上也是一样的，即都是转化为整数乘除法，前后图的思考方法是一致的。笔者认为，把数与形结合，想象与推理结合，学生就容易直观地探明算理，形象地建构算法，就能整体感悟数学思想方法的一致性，就不会把“小数乘除法”算法混淆了。
总之，在计算教学中，只要我们充分认识例题图的教育价值，潜心揣摩例题图的教学意蕴，切实遵循学生的认识规律和知识发展规律，活用例题图，就能让例题图在探明算理和建构算法中大放光彩。
（江苏省高邮实验小学 225600）
【关键词】例题图；算理；现实背景；内部结构
本文所说的例题图是指教材中例题的配图。一般来说，教材中的例题图是经过编者反复推敲、精心设计而成的，它体现着编者的编写意图，承载着独特的教学价值。在计算教学中，教师如何有效地运用例题图帮助学生探明算理呢？笔者认为，教师应反复研读例题图，深挖其教学内涵，做到合理地、灵活地、充分地和创造性地运用，从而让例题图的教学内涵不断凸显，教育价值充分彰显。现结合苏教版教材的几个教学实例，谈谈笔者运用例题图的策略。
一、让例题图变得有现实背景
对于小学数学来说，几乎每个知识点都有其现实背景，都能在现实生活中找到原型。现实背景往往处于自然状态，而例题图则是现实背景的加工版，有着明显的人为加工痕迹，可以说是“会说话”的图。有些例题图因有明显的暗示在里面，学生一看便知，无须多少思考就知其意。这时，如果教师过早地、直接地出示例题图，虽然有利于学生快速地知晓算理，但剥夺了学生独立思考的机会，不利于其自主探索和发现新知，也不利于其深刻感悟新知，更不利于其自觉运用新知。为此，笔者认为，应该在学生迫切需要时自然地出现例题图，从而让例题图的价值凸显出来。可以先出示有现实背景的实际问题，在学生独立思考、自主探索和合作交流的基础上再出示例题图，并把两图进行对比。这样，学生就会高度关注例题图的内涵，深刻领悟它的意图，仔细体会它的价值，从而让例题图中的“理”彰显出来。
例如，在教学一年级上册“9加几”时，许多教师在复习10加几的口算后，就直接出示例题图（见图1）。学生往往不假思索，按图索骥。他们看到左边盒里有一个空格，就习惯性地从右边拿一个桃放进盒里，从而很轻松地得到9 4=10 3=13。当然，也有学生是数出结果的。表面上看，这样教学似乎非常顺畅、高效，但深究一下就会发现，例题图的暗示太明显，学生只是操作工，在填空。他们不明白为什么要凑十，凑十后有什么好处，如何凑十。他们对计算中蕴含的转化思想体会不深、不强。为此，笔者改进如下：先出示下列现实问题，让学生独立解答。
1.左边有9朵黄花，右边有7朵黄花，一共有多少朵黄花？（见图2）
2.左边有9个草莓，右边有5个草莓，一共有多少个草莓？（图略）
学生解答后，笔者进行了统计，发现有的学生做对了两题，有的做对了一题，还有的连第1题都没有做对。在交流第1题的算法时，笔者发现有的学生是数出来的，即从1开始数，一直数到16；有的是从9开始数，一直数到16；有的是从右边圈1朵到左边，先凑成10，再用10 6=16；还有的先把左边看成10，用10 7=17，再用17-1=16，理由是先借过来1朵凑成十，再还出去1朵。笔者引导学生比较这四种算法：你认为哪种算法快？学生一致认为是后两种。笔者引导学生继续深思：为什么后两种算法快呢？学生发现后两种算法都是先凑成十，再算十加几，而前两种不是算出来的，是数出来的。许多学生恍然大悟，他们在对比中切实感悟到凑十的好处，从而在心理上亲近凑十，喜欢凑十。他们多么希望面前有一个能盛10个东西的筐子，以帮助自己凑十。这时，笔者再出示书中的例题图，让学生独立计算。学生看到盒里有9个桃，要算一共有多少个桃，自然地想到要从盒外拿1个桃放进盒里，先凑成十，再算10 3=13，从而把9 4自觉地转化为10 3，算出9 4=13。在此基础上，笔者引导学生继续深究：图中的盒里空一格，是想要我们干什么？这样做有什么好处？学生终于领悟到例题图的意图，体会到凑十的价值。当笔者要求学生再做上述第2题时，几乎每个学生都选择了凑十法。
二、让例题图变得有内部结构
系统论认为，整体的功能大于各部分功能之和。的确，有内在结构的图比零散的图更便于学生整体地感悟所学知识，有联系地把握所学知识，更便于学生直观地探索和理解新知。所以，我们在运用例题图时要设法使其结构化、条理化。
例如，在教学二年级上册“7的乘法口诀”时，教材提供了例题图（见图3）。笔者在运用时，就先有序地、一一地呈现小船图，就像砌墙一样从底往上依次砌上去。接着，笔者充分利用此图，让学生发现相互之间的关系，感悟其内在的结构，直观地理解算理。如理解诸如7×3 7=7×4，7×3-7=7×2等；理解诸如6个7比5个7多1个7，6个7比7个7少1个7，5个7比3个7多2个7，5个7比7个7少2个7，3个7 2个7=5个7，7个7-3个7=4个7等。在此基础上，让学生想象结构图，体会几个7的图与上、下图之间的联系，逐步从眼中图过渡到脑中图，为编写和理解口诀奠基。这样组合就把数形结合、想象与推理结合，就把知识有机地贯穿起来，形成一个整体，既便于学生整体地感悟7的乘法口诀，形象地发现口诀之间的内在联系，又便于学生今后用类似组合图探索其他乘法口诀。即使遗忘了哪句口诀，也能凭借脑中结构图自主探索出来，还便于其灵活运用口诀解决实际问题。这样做还为学生今后学习“乘法分配律”和“倍数和因数”打好基础。
三、让例题图变得有生长活力
在听课时，笔者发现，许多教师在教学中往往把例题图只当成一个“引子”，或一座“桥梁”，一旦用完就丢在一边，置之不理了，致使例题图的教学价值未充分发挥。其实，例题图虽说是为了教学某一特定内容而编制的，但编者往往是瞻前顾后，精心设计的，是想让例题图有著丰富的教学内涵和更多的教育价值，是想为后续知识的学习提供帮助。若教师能细细品读例题图，就能发掘其蕴含着更多的教学意蕴，如果再能合理地、充分地加以利用，就能让例题图“生长”出新知识。 例如，在教学四年级下册“乘法分配律”时，教材提供的例题图如图所示。在学生初步理解和掌握乘法分配律后，笔者还借助例题图进行适度的拓展和延伸。先在“相加”上拓展，如在原题上增加“三年级有5个班”，求三、四、五年级一共要领多少根跳绳。依据图和事理可知，既可以“分”开来算，列式是5×24 6×24 4×24=360（根），又可以“配”起来算，列式是（5 6 4）×24=360（根）。学生容易得到等式（5 6 4）×24=5×24 6×24 4×24。由此引导学生产生新的猜想：3个（4个、5个……）数的和与一个数相乘，等于先把这3个（4个、5个……）数分别与这个数相乘，再相加。再在“相减”上拓展，如把原题的问题改为“五年级比四年级少领多少根跳绳”。依据图和事理可知，既可以“分”开来算，列式是6×24-4×24=48（根），又可以“配”起来算，列式是（6-4）×24=48（根）。学生容易得到等式（6-4）×24=6×24-4×24。由此引导学生产生新的猜想：2个（3个、4个……）数的差与一个数相乘，可以先把这2个（3个、4个……）数分别与这个数相乘，再相减。
这样借助例题图相机进行拓展和延伸，既丰富了学生对乘法分配律的认识，加深了学生对这一规律的理解，又便于学生依据例题图探究和发现新知，从而让例题图展现出生长活力。
四、让例题图变得有前后联系
在教学中，如果教材提供的例题图前后有内在联系，这将有助于学生类比探究新知，贯通新旧知识之间的内在联系，建立统一的算法模型。反之，如果教材提供的例题图前后之间缺乏相互联系，不利于学生顺利探究，则教师应设法改造或更换例题图，从而让例题图为我所用。
例如，在教学五年级上册“小数乘小数”时，教材提供的例题图如图5所示，即已知两个长方形的长和宽，分别求其面积。在教学“小数除以小数”时，教材提供的例题图是已知鸡蛋的总价和单价，求数量（图略）。这样编排虽有现实性，能体现计算的需要和价值，但这两幅例题图之间相互割裂，缺乏内在联系，不利于学生整体感知数学思想方法，有效地迁移和运用已有的知识经验。笔者认为，除法是乘法的逆运算，后面的例题图完全可以与前面的例题图统一起来，这样既便于学生类比迁移数学思想方法，建立统一的算法模型，又便于其积累数学活动经验。笔者的处理如下。
在教学“小数乘小数”时，当学生根据例题图列出3.8×3.2，并估算出结果后，笔者引导学生思考：如何把小数乘法转化为整数乘法？在学生说出把3.8和3.2分别乘10后，笔者把房间图依次渐变，即先把房间长乘10变成38米，再把房间宽乘10变成32米，从而得到图6。学生借助图明显地看到，当把房间的长和宽分别乘10后，长和宽就都变成了整数，房间的面积也就变成了原来的100倍，变成了一个“大房间”。要想得到房间原来的面积，需要把“大房间”的面积除以100。学生直观地感到，可以把3.8×3.2转化为（3.8×10） ×（3.2×10）÷（10×10）=12.16（平方米）。学生即使没有学过或遗忘了积的变化规律，也能借助此图形象地领悟算理，建构算法。
在教学“小数除以小数”时，笔者仍用“小数乘小数”的例题图，只是把条件和问题调换，即已知房间的面积是12.16平方米，长是3.8米，求宽是多少米？如图7阴影部分，列式是12.16÷3.8。学生根据前面已有的经验，容易类比联想到：现在房间的面积和长都是小数，小数除以小数可能也要像小数乘小数那样变成整数除以整数。要把12.16÷3.8转化为两个整数相除，面积和长需要分别乘100，变成1216÷380。12.16÷3.8与1216÷380相等吗？学生产生疑惑。这时，笔者把两个这样的房间沿着长拼在一起，成为一个大长方形（如图7）。学生从中明显地看到，当长方形的面积乘2，长也跟着乘2时，宽不变。同样，用这样的3个、4个……长方形沿着长拼在一起，成為一个个大长方形，当长方形的面积分别乘3、4……100，长也跟着乘3、4……100时，宽不变。由此容易推想到：当长方形的面积和长同时乘一个相同的数（0除外）时，宽始终不变。因此，12.16÷3.8=1216÷380。同理可以类推到，12.16÷3.8=121.6÷38。这样，学生借助图形象地感到“商不变的规律”在小数除法中也同样适用，小数乘除法的计算方法在本质上也是一样的，即都是转化为整数乘除法，前后图的思考方法是一致的。笔者认为，把数与形结合，想象与推理结合，学生就容易直观地探明算理，形象地建构算法，就能整体感悟数学思想方法的一致性，就不会把“小数乘除法”算法混淆了。
总之，在计算教学中，只要我们充分认识例题图的教育价值，潜心揣摩例题图的教学意蕴，切实遵循学生的认识规律和知识发展规律，活用例题图，就能让例题图在探明算理和建构算法中大放光彩。
（江苏省高邮实验小学 225600）