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转化与化归是一种数学思维方式，是数学解题中的一种重要思想方法，是我们处理数学问题的必要手段.转化与化归即通过转化将未知的、要解决的问题归结为已知的、已解决的问题的一种思维过程，即A（C）B.
在平时的数学解题过程中，要不断的通过转化与化归进行总结，一是为什么要做这样的转化？答：转化之所以必要，是由于两者有所不同，B比A更适合我们的需要；二是为什么能做这样的转化？答：转化之所以可能，是由于它们有同一性.B与A有共同的因素，通过转化特性更为明显；三是怎样转化？即转化的方法手段是什么？
下面结合典型例题加以说明如何合理巧妙转化达到化繁为简，化难为易，化暗为明，化生为熟，最终成功解决问题.
点评：通过换元将题目整体等价转化成已经解决过的题目，相信同学们通过这样的转化可以长长舒口气，发出原来就是这个题目的感叹.等价转化的思想在解题中尤为重要，通过换元可将无理化为有理、将分式化为整式、将高次化为低次、将多元化为一元、将复合函数化为基本函数等等.二、通过坐标法化几何为代数，即形（坐标）数
点评：上述三种做法通过角这一共同特征由平面几何图形中的角联想到向量的夹角及直角三角形中的角，将几何问题转化为向量夹角公式、余弦公式及和差角公式的简单运用，通过坐标系及构造三角形使得几何元素转化为数量运算.只有对数学的每个概念每条分支都了如指掌，才会对各知识块的互相转化做到游刃有余.
三、通过轨迹法化数为形，即数（轨迹）形
例3若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值.
分析：以AB中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设点C的坐标为（x，y），y≠0，从而（x 1）2 y2=2[（x-1）2 y2]，化简得（x-3）2 y2=8，y≠0.发现点C的轨迹是圆（不包含x轴上点），故△ABC面积的最大值为12×2×22=22.
点评：在平时解题过程中尝试用几何图形来证明代数式，观察和总结代数式背后隐藏的几何意义，研究数量关系与空间形式的关系.如斜率公式，两点间距离公式，三角函数线，圆锥曲线的方程等等.做到化抽象为直观，以形解数，数为形用.
四、通过图象互化函数与方程，即函数（图象）方程
例4已知函数f（x）=-x2 2ex m-1，g（x）=x e2x（x>0）.
（1）若y=g（x）-m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根.
分析：（1）作出g（x）=x e2x（x>0）的大致图象如图，y=g（x）-m有零点转化为y=g（x）与y=m两个函数图象有交点，则m≥2e.
（2）g（x）-f（x）=0有两个相异实根转化为y=g（x）与y=f（x）的图象有两个不同的交点，通过图象得e2 m-1>2e，即m∈（-e2 2e 1， ∞）.
点评：例4将方程的根转化为函数图象交点，利用函数图象使得问题直观化.判断函数零点的范围及个数以及已知函数零点求参数范围，求曲线交点，求函数值域等问题都可以转化为方程问题来求解.数形结合成功的实现了方程与函数的互相转化.
五、通过参变分离化恒成立为最值，即恒成立（参变分离）最值
点评一：根据外心的特征化归到垂直和中点，使得位置特殊化.利用基底思想通过线性表示化归到已知模和夹角的向量上，利用数量积使得向量问题化归到数的问题.
分析二：观察到三角形的边长与勾股数3，4，5有关，联想到直角三角形，故令∠B为直角，AC为斜边，外心O为斜边AC的中点，故AO·BC=|AO||BC|cosC=52×4×45=8.
点评二：分析条件转化到特殊图形解决问题.在无需严密论证、无需详细解答过程的填空题中非常适用.常用的特例有特殊数值，特殊数列，特殊函数，特殊图形，特殊角，特殊位置等等.
八、通过反证法化正为反，即正面（反证法）反面
例8求证：2不是有理数.
分析：否定难以入手，则转化到肯定.假设2是有理数（即可写成两整数之比的数），设2=nm（m，n∈N*，m与n互素），两边平方得2=n2m2，即n2=2m2.这说明，n2是偶数，故n是偶数，设n=2p（p∈N*），于是（2p）2=2m2，即2p2=m2，可见m亦为偶数，又n为偶数，于是m，n有公约数2，与前面假设m，n互素矛盾.因此2不是有理数.
点评：数学思维有一项高明的策略，叫做“正难则反”，就是说如果正面突破较为困难的话，则可从反面考虑.数学中相当多的转化都是正反互化.如反面理解，举反例，反面解决，运用反证法等.
九、通过展开化空间问题为平面问题，即空间（展开）平面
例9如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点.现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.
分析：蚂蚁从外壁A处到内壁P处，可将圆柱的一半及内壁部分展开，如图，蚂蚁经过上底圆周M处再沿内壁到P处，由对称性知MP=MF，故蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为AM MP=AM MF=AF=π2 9.
点评：解决空间几何体表面上的问题的根本思路是“展开”，将三维空间转化为二维平面.立体几何中常见转化有侧面展开将空间转化为平面，分割与补形将不规则转化为规则，等体积转化等.
十、转换切入点化直接为间接，即直接（切入点）间接
例10已知集合A={x|x2-5x 4≤0}，B={x|x2-2ax a 2≤0，a∈R}，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
分析：转换切入点，间接入手，因为AB，故转化为x2-2ax a 2≤0在区间[1，4]上恒成立.令f（x）=x2-2ax a 2，由二次函数图象的性质得f（1）≤0f（4）≤0，解得a≥3.
点评：直接按部就班地就题解题，将自己带入一个繁琐的过程.而转换思路重新寻找切入点，从另一个角度重新审视题目的条件，“歪曲其意”，必有柳暗花明又一村的感觉.平时在审题上多给自己一点思考时间，养成勤思考的习惯，从多个角度切入题目，寻找最佳转化，避繁就简，化难为易.
通过以上例题不难发现转化的方法和路径并不是唯一的，不同的转化路径可以带来不同的解答过程，这就要求在解题中摸索最佳转化方法与途径，使其化归到最易解决的问题.
数学解题是一个问题不断转化的过程，在考虑一个问题时，向一个方向解题总是解不出，通过转化向另一个方向考虑；在一个分支内部解来解去总是解不出时，考虑向外部转化，开拓新的思路.我们要不断训练自觉的转化意识，强化解题应变能力，培养良好的思维习惯.借用一句修改过的古诗以此来确定本文宗旨，“鸳鸯绣出凭君看，急把金针度与人”.
在平时的数学解题过程中，要不断的通过转化与化归进行总结，一是为什么要做这样的转化？答：转化之所以必要，是由于两者有所不同，B比A更适合我们的需要；二是为什么能做这样的转化？答：转化之所以可能，是由于它们有同一性.B与A有共同的因素，通过转化特性更为明显；三是怎样转化？即转化的方法手段是什么？
下面结合典型例题加以说明如何合理巧妙转化达到化繁为简，化难为易，化暗为明，化生为熟，最终成功解决问题.
点评：通过换元将题目整体等价转化成已经解决过的题目，相信同学们通过这样的转化可以长长舒口气，发出原来就是这个题目的感叹.等价转化的思想在解题中尤为重要，通过换元可将无理化为有理、将分式化为整式、将高次化为低次、将多元化为一元、将复合函数化为基本函数等等.二、通过坐标法化几何为代数，即形（坐标）数
点评：上述三种做法通过角这一共同特征由平面几何图形中的角联想到向量的夹角及直角三角形中的角，将几何问题转化为向量夹角公式、余弦公式及和差角公式的简单运用，通过坐标系及构造三角形使得几何元素转化为数量运算.只有对数学的每个概念每条分支都了如指掌，才会对各知识块的互相转化做到游刃有余.
三、通过轨迹法化数为形，即数（轨迹）形
例3若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值.
分析：以AB中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设点C的坐标为（x，y），y≠0，从而（x 1）2 y2=2[（x-1）2 y2]，化简得（x-3）2 y2=8，y≠0.发现点C的轨迹是圆（不包含x轴上点），故△ABC面积的最大值为12×2×22=22.
点评：在平时解题过程中尝试用几何图形来证明代数式，观察和总结代数式背后隐藏的几何意义，研究数量关系与空间形式的关系.如斜率公式，两点间距离公式，三角函数线，圆锥曲线的方程等等.做到化抽象为直观，以形解数，数为形用.
四、通过图象互化函数与方程，即函数（图象）方程
例4已知函数f（x）=-x2 2ex m-1，g（x）=x e2x（x>0）.
（1）若y=g（x）-m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根.
分析：（1）作出g（x）=x e2x（x>0）的大致图象如图，y=g（x）-m有零点转化为y=g（x）与y=m两个函数图象有交点，则m≥2e.
（2）g（x）-f（x）=0有两个相异实根转化为y=g（x）与y=f（x）的图象有两个不同的交点，通过图象得e2 m-1>2e，即m∈（-e2 2e 1， ∞）.
点评：例4将方程的根转化为函数图象交点，利用函数图象使得问题直观化.判断函数零点的范围及个数以及已知函数零点求参数范围，求曲线交点，求函数值域等问题都可以转化为方程问题来求解.数形结合成功的实现了方程与函数的互相转化.
五、通过参变分离化恒成立为最值，即恒成立（参变分离）最值
点评一：根据外心的特征化归到垂直和中点，使得位置特殊化.利用基底思想通过线性表示化归到已知模和夹角的向量上，利用数量积使得向量问题化归到数的问题.
分析二：观察到三角形的边长与勾股数3，4，5有关，联想到直角三角形，故令∠B为直角，AC为斜边，外心O为斜边AC的中点，故AO·BC=|AO||BC|cosC=52×4×45=8.
点评二：分析条件转化到特殊图形解决问题.在无需严密论证、无需详细解答过程的填空题中非常适用.常用的特例有特殊数值，特殊数列，特殊函数，特殊图形，特殊角，特殊位置等等.
八、通过反证法化正为反，即正面（反证法）反面
例8求证：2不是有理数.
分析：否定难以入手，则转化到肯定.假设2是有理数（即可写成两整数之比的数），设2=nm（m，n∈N*，m与n互素），两边平方得2=n2m2，即n2=2m2.这说明，n2是偶数，故n是偶数，设n=2p（p∈N*），于是（2p）2=2m2，即2p2=m2，可见m亦为偶数，又n为偶数，于是m，n有公约数2，与前面假设m，n互素矛盾.因此2不是有理数.
点评：数学思维有一项高明的策略，叫做“正难则反”，就是说如果正面突破较为困难的话，则可从反面考虑.数学中相当多的转化都是正反互化.如反面理解，举反例，反面解决，运用反证法等.
九、通过展开化空间问题为平面问题，即空间（展开）平面
例9如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点.现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.
分析：蚂蚁从外壁A处到内壁P处，可将圆柱的一半及内壁部分展开，如图，蚂蚁经过上底圆周M处再沿内壁到P处，由对称性知MP=MF，故蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为AM MP=AM MF=AF=π2 9.
点评：解决空间几何体表面上的问题的根本思路是“展开”，将三维空间转化为二维平面.立体几何中常见转化有侧面展开将空间转化为平面，分割与补形将不规则转化为规则，等体积转化等.
十、转换切入点化直接为间接，即直接（切入点）间接
例10已知集合A={x|x2-5x 4≤0}，B={x|x2-2ax a 2≤0，a∈R}，若A∩B=A，求实数a的取值范围.
分析：转换切入点，间接入手，因为AB，故转化为x2-2ax a 2≤0在区间[1，4]上恒成立.令f（x）=x2-2ax a 2，由二次函数图象的性质得f（1）≤0f（4）≤0，解得a≥3.
点评：直接按部就班地就题解题，将自己带入一个繁琐的过程.而转换思路重新寻找切入点，从另一个角度重新审视题目的条件，“歪曲其意”，必有柳暗花明又一村的感觉.平时在审题上多给自己一点思考时间，养成勤思考的习惯，从多个角度切入题目，寻找最佳转化，避繁就简，化难为易.
通过以上例题不难发现转化的方法和路径并不是唯一的，不同的转化路径可以带来不同的解答过程，这就要求在解题中摸索最佳转化方法与途径，使其化归到最易解决的问题.
数学解题是一个问题不断转化的过程，在考虑一个问题时，向一个方向解题总是解不出，通过转化向另一个方向考虑；在一个分支内部解来解去总是解不出时，考虑向外部转化，开拓新的思路.我们要不断训练自觉的转化意识，强化解题应变能力，培养良好的思维习惯.借用一句修改过的古诗以此来确定本文宗旨，“鸳鸯绣出凭君看，急把金针度与人”.