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【摘 要】在小学数学课堂中实现深度学习，能够有效地避免知识浅层化、表面化，促使学生真正理解知识的本质和内涵。教师必须精心设计各个教学环节，才能引导学生在掌握数学基本知识、形成基本技能的基础上，进一步感受数学思想，学习有“根”的数学。这样，学生的数学学习才能不断向纵深发展，数学素养才能获得提升。
【关键词】深度学习 数学本质 模型思想
数学的深度学习，是指运用分析与综合、抽象与概括等方法，深度参与课堂，深刻经历知识的形成过程，深层理解学习内容，从而提高数学思维品质的学习行为。数学的深度学习不仅关注显性数学知识的学习，更注重隐性数学思想的渗透。
本文以北师大版数学教材三年级下册“分一
分（一）”的教学为例，谈谈如何引导学生进行深度学习，逼近数学本质。
一、深度解读教材，规划深度学习的路径
本课是小学生认识分数的第一阶段，也是后续学习分数、百分数及运用相关知识解决问题的基础。教材结合具体的问题情境——“分苹果”“分图形”等唤醒学生蕴含分数知识的生活经验，并充分利用实物操作、合作探究等手段，帮助学生理解分数的意义、建立初步的分数概念。
分数和整数有很大区别，它不仅能够表示“量”，更能够反映整体与部分之间的包含关系。北师大版的教材过于强调“平均分”，忽视了“包含除”，即整体与部分的包含关系。想要学生真正建立“分数”的概念，教师在教学“一个物体的几分之一”时，必须从“几分之一个”抽象到“它的几分之一”，帮助学生淡化“物体个数”这一非本质属性，强化“几份中的一份”这一本质属性。
本课的核心任务是让学生经历由分数的感性认识到理性认识的建构过程，通过多层次的数学化建构过程，让学生对分数概念的内涵、分数概念的本质有充分的认识。在教学过程中，教师可以让学生经历多次不同的操作活动，引导学生自主探究、合作交流，主动归纳、提升，在“做数学”中感悟数学知识，从而建构出分数的数学模型。
在设计本课时，笔者摒弃了传统对“分数”的定义：把一个整体平均分成若干份，其中的1份或几份就是这个整体的几分之几，而是采用这样的语句来描述分数：如1/2，表示把一个整体平均分成2份，2份中的1份就是这个整体的1/2。力求让学生深刻体会分数表示“包含”关系的内涵。笔者围绕“分数”概念的形成，致力于分数模型的建立，规划学生的学习路径如下（见图1）。
二、创设有趣的问题情境，激发学生深度参与的兴趣
分物活动在日常生活中很常见，因此教学设计可首先以“分苹果”的情境导入，拉近数学知识与学生实际生活的联系。为进一步激发学生的学习热情，笔者设计了用击掌游戏表示分得的结果。
师：把4个苹果平均分给2人，每人得几个？
生：击掌2下。
师：把2个苹果平均分给2人，每人得几个？
生：击掌1下。
师：把1个苹果平均分给2人，每人得几个？
（生一片哗然，不知如何击掌）
师：半个苹果怎么表示呢？
小学生的思维正处于从形象思维向抽象思维的过渡阶段。抽象思维的发展，很大程度上借助于生动形象的事例。生活中生动丰富的教学资源，是课程与教学内容的重要补充。教师可以将一个个知识点转化为一个个与现实生活密切相连的、生动活泼的事例。本课引入环节创设了真实、有趣的问题情境，有效地激發了学生对数学问题的探究欲望，增强了学生的学习兴趣。学习内容由易到难，由浅入深，最后的问题“半个苹果怎么表示呢”，成为教学新知的出发点和认知冲突的生长点，有利于吸引学生深度参与。
三、组织生动的实践活动，助推学生深度探究
1.认识“1/2”
一个苹果平均分给2人，每人得到半个，这是学生具备的生活经验。但是这“半个”用以前学过的整数已经无法表示了，该怎么办呢？由此引发学生认知冲突，推动学生思考：怎样表示？如果这时教师直接告知“半个可以用分数1/2表示”，学生则只能知其然，却不知其所以然，有悖于深度学习的初衷。基于这种考虑，笔者设计了以下环节。
师：原来的苹果是1个，这里的半个苹果可以称为1块（见图2），“1个”和“1块”都有1，这2个“1”表示的意思一样吗？
生：不一样。
师：那这2个“1”有什么联系吗？
生：“1个”里面有2个“1块”。
师：哦……原来可以把这1个苹果看成2个一块，半个苹果就是2块中的1块了。
师：2块中的1块可以说是2份中的1份，2份中的1份用分数1/2表示。
在这个环节中，笔者没有直接告诉学生一半可以用1/2表示，而是以2个“1”的问题建立一半与1/2之间的联系，让学生追溯到1/2的产生，初步意识到1/2中“2”和“1”的由来，为接下来深入研究1/2做了有效的铺垫。
对苹果的1/2有了初步感知后，笔者马上出示非平均分的情况（见图3）。
师：淘气用深色部分表示的是这个苹果的1/2吗？
生（很快回答）：淘气画的不是苹果的1/2，因为他没有把苹果平均分成2份。
学生初步意识到，1/2中的2份必须是平均分成的2份。
认识了苹果的1/2后，笔者放手让学生自主探究，分别涂出正方形、房子和花瓶三种图形的1/2（见图4、图5、图6）。
在学生汇报的过程中，笔者引导他们发现：同样的正方形，不同的涂法，可以出现不同的图形;不同的图形，不同的涂法，但是只要涂出2等份中的1份，就可以用分数1/2表示。直逼“分数”概念的本质——整体与部分的关系。笔者这样逐步引导学生在对比中找到共性，在操作中感受1/2，体会分数的意义。
2.认识“几分之一”
知识进入个体内心世界，主要靠体验与反思。在接下来的练习中，笔者呈现了下面4个图形。 师：深色部分都是图形的1/2吗？为什么？
这里学生在肯定图7和图9时，不仅巩固了对1/2的理解，更重要的是把抽象的“数”与具体的“形”之间建立起一种对应关系，感受到“数形结合”的数学思想;在否定图8和图10的同时，又再一次反思了1/2这个分数的本质。学生体会到表示1/2的方法多种多样，但是最关键、最核心的是二等分，1/2可以理解为“二分之一”，它能够表示整体与部分的包含关系。此环节的设计让学生能够从不同的角度认识1/2，在头脑中丰富1/2的表象，从而建构1/2的意义，再次为认识分数奠定基础。
1/2的认识是理解其他分数的一个基础，1/2这个突破口打开后，笔者呈现了下面两个图形。
师：你能用分数表示上面两幅图的深色部分吗？
在学生汇报时，笔者反复强调“几份中的一份”：1/4是把正方形平均分成4份后，4份中的1份;1/8是把正方形平均分成8份后，8份中的1份。学生体会到“几份”是整体，“一份”是部分，这些分数表示的是整体与部分之间的一种包含关系。
3.认识“几分之几”
三年级的学生仍然以具体思维为主，教师在教学中要尽量为学生提供大量的感性材料，让学生进行动手操作活动。动手实践操作能够帮助学生形成真实的、丰富的数学知识体验。视学习为“做”的过程，“经历”的过程。学生在学习数学知识时，不能仅仅被动接受，更要去主动建构。在这节课中，动手操作对学生建构分数模型有着非常积极的促进作用，它可以直接促使学生对所学知识进行深度探究。
在接下来的环节，笔者组织学生进行“折一折，涂一涂”的活动，让他们根据自己的喜好创造出更多的分数。“把正方形平均分成4份，涂色部分有3份，4份中的3份可以用3/4来表示……”学生在实践操作、分析思考、全班交流等一系列活动中，体会到“折”就是把整体平均分，“涂”就是在确定部分有几份。这样的设计让学生在玩中学，在做中学，在合作交流中学，亲身经历分数的形成过程，找到分数形成的本源，对分数的意义进行深度探究。
四、揭示内在的知识本质，加强学生深度理解
在学生知道1/2、1/4、3/4这样的数就是分数，已经建立了分数的表象，初步理解了分数的意义后，笔者进一步引导学生再比较，再思考，再概括。
师：你们能把所有的分数都说完吗？试一试吧。
生：没办法全部说完，分数太多了。
师：分数的个数是无穷无尽的，任何一个分数都可以用这个模型来表示。其中分数线表示平均分，分母是几就表示分几份，分子是几就表示有这样的几份（见图13）。
這里，笔者使用更抽象和更有普遍意义的“几分之几”的模型，通过模型将抽象知识变为了形象的数学语言，促进了学生对分数意义的深度理解。
五、设计层递性的实践练习，促进学生深度运用
教学中要使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题。因此接下来的练习，笔者选取了学生常见的生活场景。
（1）把1个蛋糕平均分给4个小朋友，每个小朋友分到这个蛋糕的几分之几？
（2）又来了4个小朋友，要重新分，每个小朋友分到这个蛋糕的几分之几？
（3）班上同学过生日，大家平均分一个大蛋糕，你吃到这个蛋糕的几分之几？
（4）爸爸买了一个大西瓜回家，你们全家人平均分，你吃到这个西瓜的几分之几？
（5）生活中你还在哪里见过分数？能试着说说这个分数的意思吗？
在这个环节中，学生用建立起来的分数模型再次解决了生活中的问题，体会到了数学模型的实际价值，意识到了所学知识的作用，真正做到了学以致用。
本课把握分数概念的支撑点——平均分，初步建立分数表象;紧扣分数概念的着力点——整体与部分，进一步抽象和概括;挖掘分数概念的生长点——平均分的对象，深入理解分数意义;构建出分数模型——直逼分数本质。
学生的深度学习源于教师有深度的课堂教学设计。思想决定高度，理念决定深度。教师只有对课标、教材进行深入挖掘后，精心设计教学的各个环节，从情境创设、操作探究、实践运用等方面为学生设计有深度的学习活动，在教授学生数学知识的同时，注重数学方法、数学思想的融入，学生才能真正实现深度学习，发展数学核心素养。
（作者单位：四川省成都市武侯实验中学附属小学）
责任编辑：赵继莹
zhaojy@zgjszz.cn
【关键词】深度学习 数学本质 模型思想
数学的深度学习，是指运用分析与综合、抽象与概括等方法，深度参与课堂，深刻经历知识的形成过程，深层理解学习内容，从而提高数学思维品质的学习行为。数学的深度学习不仅关注显性数学知识的学习，更注重隐性数学思想的渗透。
本文以北师大版数学教材三年级下册“分一
分（一）”的教学为例，谈谈如何引导学生进行深度学习，逼近数学本质。
一、深度解读教材，规划深度学习的路径
本课是小学生认识分数的第一阶段，也是后续学习分数、百分数及运用相关知识解决问题的基础。教材结合具体的问题情境——“分苹果”“分图形”等唤醒学生蕴含分数知识的生活经验，并充分利用实物操作、合作探究等手段，帮助学生理解分数的意义、建立初步的分数概念。
分数和整数有很大区别，它不仅能够表示“量”，更能够反映整体与部分之间的包含关系。北师大版的教材过于强调“平均分”，忽视了“包含除”，即整体与部分的包含关系。想要学生真正建立“分数”的概念，教师在教学“一个物体的几分之一”时，必须从“几分之一个”抽象到“它的几分之一”，帮助学生淡化“物体个数”这一非本质属性，强化“几份中的一份”这一本质属性。
本课的核心任务是让学生经历由分数的感性认识到理性认识的建构过程，通过多层次的数学化建构过程，让学生对分数概念的内涵、分数概念的本质有充分的认识。在教学过程中，教师可以让学生经历多次不同的操作活动，引导学生自主探究、合作交流，主动归纳、提升，在“做数学”中感悟数学知识，从而建构出分数的数学模型。
在设计本课时，笔者摒弃了传统对“分数”的定义：把一个整体平均分成若干份，其中的1份或几份就是这个整体的几分之几，而是采用这样的语句来描述分数：如1/2，表示把一个整体平均分成2份，2份中的1份就是这个整体的1/2。力求让学生深刻体会分数表示“包含”关系的内涵。笔者围绕“分数”概念的形成，致力于分数模型的建立，规划学生的学习路径如下（见图1）。
二、创设有趣的问题情境，激发学生深度参与的兴趣
分物活动在日常生活中很常见，因此教学设计可首先以“分苹果”的情境导入，拉近数学知识与学生实际生活的联系。为进一步激发学生的学习热情，笔者设计了用击掌游戏表示分得的结果。
师：把4个苹果平均分给2人，每人得几个？
生：击掌2下。
师：把2个苹果平均分给2人，每人得几个？
生：击掌1下。
师：把1个苹果平均分给2人，每人得几个？
（生一片哗然，不知如何击掌）
师：半个苹果怎么表示呢？
小学生的思维正处于从形象思维向抽象思维的过渡阶段。抽象思维的发展，很大程度上借助于生动形象的事例。生活中生动丰富的教学资源，是课程与教学内容的重要补充。教师可以将一个个知识点转化为一个个与现实生活密切相连的、生动活泼的事例。本课引入环节创设了真实、有趣的问题情境，有效地激發了学生对数学问题的探究欲望，增强了学生的学习兴趣。学习内容由易到难，由浅入深，最后的问题“半个苹果怎么表示呢”，成为教学新知的出发点和认知冲突的生长点，有利于吸引学生深度参与。
三、组织生动的实践活动，助推学生深度探究
1.认识“1/2”
一个苹果平均分给2人，每人得到半个，这是学生具备的生活经验。但是这“半个”用以前学过的整数已经无法表示了，该怎么办呢？由此引发学生认知冲突，推动学生思考：怎样表示？如果这时教师直接告知“半个可以用分数1/2表示”，学生则只能知其然，却不知其所以然，有悖于深度学习的初衷。基于这种考虑，笔者设计了以下环节。
师：原来的苹果是1个，这里的半个苹果可以称为1块（见图2），“1个”和“1块”都有1，这2个“1”表示的意思一样吗？
生：不一样。
师：那这2个“1”有什么联系吗？
生：“1个”里面有2个“1块”。
师：哦……原来可以把这1个苹果看成2个一块，半个苹果就是2块中的1块了。
师：2块中的1块可以说是2份中的1份，2份中的1份用分数1/2表示。
在这个环节中，笔者没有直接告诉学生一半可以用1/2表示，而是以2个“1”的问题建立一半与1/2之间的联系，让学生追溯到1/2的产生，初步意识到1/2中“2”和“1”的由来，为接下来深入研究1/2做了有效的铺垫。
对苹果的1/2有了初步感知后，笔者马上出示非平均分的情况（见图3）。
师：淘气用深色部分表示的是这个苹果的1/2吗？
生（很快回答）：淘气画的不是苹果的1/2，因为他没有把苹果平均分成2份。
学生初步意识到，1/2中的2份必须是平均分成的2份。
认识了苹果的1/2后，笔者放手让学生自主探究，分别涂出正方形、房子和花瓶三种图形的1/2（见图4、图5、图6）。
在学生汇报的过程中，笔者引导他们发现：同样的正方形，不同的涂法，可以出现不同的图形;不同的图形，不同的涂法，但是只要涂出2等份中的1份，就可以用分数1/2表示。直逼“分数”概念的本质——整体与部分的关系。笔者这样逐步引导学生在对比中找到共性，在操作中感受1/2，体会分数的意义。
2.认识“几分之一”
知识进入个体内心世界，主要靠体验与反思。在接下来的练习中，笔者呈现了下面4个图形。 师：深色部分都是图形的1/2吗？为什么？
这里学生在肯定图7和图9时，不仅巩固了对1/2的理解，更重要的是把抽象的“数”与具体的“形”之间建立起一种对应关系，感受到“数形结合”的数学思想;在否定图8和图10的同时，又再一次反思了1/2这个分数的本质。学生体会到表示1/2的方法多种多样，但是最关键、最核心的是二等分，1/2可以理解为“二分之一”，它能够表示整体与部分的包含关系。此环节的设计让学生能够从不同的角度认识1/2，在头脑中丰富1/2的表象，从而建构1/2的意义，再次为认识分数奠定基础。
1/2的认识是理解其他分数的一个基础，1/2这个突破口打开后，笔者呈现了下面两个图形。
师：你能用分数表示上面两幅图的深色部分吗？
在学生汇报时，笔者反复强调“几份中的一份”：1/4是把正方形平均分成4份后，4份中的1份;1/8是把正方形平均分成8份后，8份中的1份。学生体会到“几份”是整体，“一份”是部分，这些分数表示的是整体与部分之间的一种包含关系。
3.认识“几分之几”
三年级的学生仍然以具体思维为主，教师在教学中要尽量为学生提供大量的感性材料，让学生进行动手操作活动。动手实践操作能够帮助学生形成真实的、丰富的数学知识体验。视学习为“做”的过程，“经历”的过程。学生在学习数学知识时，不能仅仅被动接受，更要去主动建构。在这节课中，动手操作对学生建构分数模型有着非常积极的促进作用，它可以直接促使学生对所学知识进行深度探究。
在接下来的环节，笔者组织学生进行“折一折，涂一涂”的活动，让他们根据自己的喜好创造出更多的分数。“把正方形平均分成4份，涂色部分有3份，4份中的3份可以用3/4来表示……”学生在实践操作、分析思考、全班交流等一系列活动中，体会到“折”就是把整体平均分，“涂”就是在确定部分有几份。这样的设计让学生在玩中学，在做中学，在合作交流中学，亲身经历分数的形成过程，找到分数形成的本源，对分数的意义进行深度探究。
四、揭示内在的知识本质，加强学生深度理解
在学生知道1/2、1/4、3/4这样的数就是分数，已经建立了分数的表象，初步理解了分数的意义后，笔者进一步引导学生再比较，再思考，再概括。
师：你们能把所有的分数都说完吗？试一试吧。
生：没办法全部说完，分数太多了。
师：分数的个数是无穷无尽的，任何一个分数都可以用这个模型来表示。其中分数线表示平均分，分母是几就表示分几份，分子是几就表示有这样的几份（见图13）。
這里，笔者使用更抽象和更有普遍意义的“几分之几”的模型，通过模型将抽象知识变为了形象的数学语言，促进了学生对分数意义的深度理解。
五、设计层递性的实践练习，促进学生深度运用
教学中要使学生感受数学与现实生活的联系，初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题。因此接下来的练习，笔者选取了学生常见的生活场景。
（1）把1个蛋糕平均分给4个小朋友，每个小朋友分到这个蛋糕的几分之几？
（2）又来了4个小朋友，要重新分，每个小朋友分到这个蛋糕的几分之几？
（3）班上同学过生日，大家平均分一个大蛋糕，你吃到这个蛋糕的几分之几？
（4）爸爸买了一个大西瓜回家，你们全家人平均分，你吃到这个西瓜的几分之几？
（5）生活中你还在哪里见过分数？能试着说说这个分数的意思吗？
在这个环节中，学生用建立起来的分数模型再次解决了生活中的问题，体会到了数学模型的实际价值，意识到了所学知识的作用，真正做到了学以致用。
本课把握分数概念的支撑点——平均分，初步建立分数表象;紧扣分数概念的着力点——整体与部分，进一步抽象和概括;挖掘分数概念的生长点——平均分的对象，深入理解分数意义;构建出分数模型——直逼分数本质。
学生的深度学习源于教师有深度的课堂教学设计。思想决定高度，理念决定深度。教师只有对课标、教材进行深入挖掘后，精心设计教学的各个环节，从情境创设、操作探究、实践运用等方面为学生设计有深度的学习活动，在教授学生数学知识的同时，注重数学方法、数学思想的融入，学生才能真正实现深度学习，发展数学核心素养。
（作者单位：四川省成都市武侯实验中学附属小学）
责任编辑：赵继莹
zhaojy@zgjszz.cn