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摘要：数学具有严密性，数学知识之间有着深刻的内在关联。学生学数学的过程其实质是构建数学知识系统及相应认知结构的完整过程。因此，传授新知识时教师应重点抓住新旧知识的联系点，通过设置“原型题”搭桥铺路，启发学生积极思维，培养学生良好的认知结构。
关键词：数学；原型启发；认知结构；优化
什么是认知结构？简单点讲就是学生的知识。在数学教学领域，它是学生数学知识观念的全部内容及其组织。良好认知结构是学数学的关键，一旦建立起来必将成为学生学好数学的重要能量释放。笔者认为，如能在教学中以“过渡题”“比较题”“缩减题”为原型进行启发教学，对于优化学生认知结构无疑很有帮助。
一、 “过渡题”——由此及彼，知识迁移
建构主义理论认为，学习就是学生认知结构的形成和改组，而良好的认知结构则来自于教材结构的有效转化，这需要教师对教学内容的高效组织。笔者认为，一切有意义的学习都是建立在学生已有认知结构基础上，为了促进知识正迁移，可以尝试在准备题与例题之间设计一道“过渡题”，从而由此及彼引导学生进入学习。如教学“凑十法”时，教学准备题如下：
（1）9 =109 1 5=
（2）10 3=10 4=
上述两道算式题显然是为了下面的“凑十法”教学做铺垫的。因此，讲解完该练习题后，很多教师就直接导入新课：例1，皮球盒里有10个空格，现已装了9个皮球，后来老师再拿来2个花皮球，问现在一共有多少个皮球？为了能更快引入“凑十法”，教师启发学生可以从盒子外拿几个皮球放入盒内。这时问题就来了，有学生说不用麻烦，直接口算就有11个，有的学生虽说出放进盒里1个，但追问为什么时，竟反问：盒子不是只剩下一个空格子了吗？
针对上述情形，在学生做完“准备题”后，教师设计了一道承上启下的“过渡题”以此消除学生认识差距：在磁板左侧贴9只小猴子，右侧贴3只小猴子，让学生从左往右数出共有13只小猴子。演示完后告诉学生这种方法虽然可行但很麻烦，让学生都想想其他算法，随后展开“过渡题”教学。
师：左侧有多少只小猴子？（9只）
师：从右侧移动几只到左侧，左侧的小猴子就能凑够10只呢？（1只，师演示）
师：右侧还剩多少只？（2只）
师：现在左侧有10只，右侧有2只，这样共有几只小猴子？
“一共13只”，学生一下子就答出来。这样的“过渡题”设计既联系了“准备题”旧知识，又为下面“凑十法”这个新知识点讲授做出铺垫。以“过渡题”为原型启发，让学生对“凑十”内容与方法初具感知，同时又把新旧知识从理性上连成一体，使学生的认知结构更具深度、广度。
二、 “比较题”——同中辨异，异中求同
在小学数学教材内容安排中，许多题目貌似相同相近，造成学生理解题意时极易混淆出现错误。以百分数应用题教学为例，如下列两道题。
（1）果园里有桃树125课，比李树多25%，李树有多少棵？
（2）果园里有李树100课，桃树比李树多25%，桃树有多少棵？
像这类分数应用题结构与形式非常相似，如果学生缺乏深刻理解，不善于辨析异同就会思维混乱、做题时无从下手。笔者认为，教师应把教学重点放在结构分析上，在教学中运用“比较”的题目作为原型有助于提高学生辨析能力。例如，有一台空调原价是1600元，现价降价了12%，现价每台空调是多少元？教学重点是让学生搞清楚已知条件，关键句以及“单位1”。教师要引导学生学会用线段图表示（略），并说出现价与原价间的数量关系：
原价（问题）（1-12%）=现价（已知）
借助线段图的直观性，这时再次引导学生根据线段图的已知条件和数量关系，编成另外一道百分数应用题：有一台空调现价是1408元，比原价降低了12%，原价每台空调售价是多少？并把比较题和改编题作为一个题组出现，要求学生同时解答，最后教师小结，对比板书（略）。由于学生是在分析比较题的基础上，并以比较题为原型，通过改编以题组形式进行对照解答，这样有利于学生深刻理解两类应用题间的联系和区别，从而让学生体验和经历知识形成过程。
三、 “缩减题”——化繁为简，抽丝剥茧
数学是把含有各种数量关系的数学问题以文字信息呈现。小学数学中有些应用题内容虽然不尽相同，但其结构形式却十分相似，这就是我们常常提到的“同构异素”问题。如（1）（2）这两道题：
（1）据科学测算，每只猫头鹰全年能消灭1200只田鼠左右，而一只田鼠一年至少能糟蹋掉20千克稻谷，照这样计算，某区域有15只猫头鹰专吃田鼠，这样折算下来一年能减损多少千克稻谷？
（2）某钢铁厂，原先炼8吨钢需耗费120吨水。经过改进设备后，每吨钢材可以节约用水2吨水。照这样计算，钢铁厂一天炼钢75吨，这样可以节约多少吨水？
（1）（2）看起来比较繁杂，解题时学生往往是思维无序，其主因是学生无法清晰准确理解题中结构。此时通过设计“缩减题”，让学生在做题中逐步厘清题目结构形式。例如，一吨的纸张能做5000本笔记簿，2.8吨纸张可以做多少本笔记簿？学生解答后，把“2.8吨”转化成间接条件，原题扩编成：一吨的纸张可以做5000本笔记簿，一吨废纸可以生产 0.7 吨的新纸，4吨的废纸能做成多少本笔记簿？通过改编，就把一道一步的应用题扩编成了两步连乘题目。通过题中“2.8 吨”这个条件的转化，学生很快就弄清了扩编后题目的结构形式并迅速解答。随后教师再引导學生展开联想，通过原型题的启发，以类推方式做上述两道题，并结合原题把它们的算式再次比较，在“抽丝剥茧”教学中找出结构形式的共同点，学生掌握了解题方法，同时又优化了认知。
总的来说，运用原型启发是优化学生认知结构有效教学法。不过教无定法，构建学生良好的认知结构绝不是一时一刻及生搬硬套可以完成的任务，数学教师应基于教学需要灵活运用各种教学策略，并在长期的教学实践中总结经验与方法，让自己熟谙教学规律，这才是关键。
参考文献：
[1]杨永良.如何优化学生的认知结构[J].北京教育（普教版），2017（4）：58.
[2]刘孝华.优化学生认知结构的教学策略[J].教学与管理（理论版），2007（1）：127-128.
[3]冯开艾.构建认知结构培养解题能力[J].教育，2017（30）：79.
作者简介：
黄俊杰，福建省漳州市，漳浦县盘陀中心学校。
关键词：数学；原型启发；认知结构；优化
什么是认知结构？简单点讲就是学生的知识。在数学教学领域，它是学生数学知识观念的全部内容及其组织。良好认知结构是学数学的关键，一旦建立起来必将成为学生学好数学的重要能量释放。笔者认为，如能在教学中以“过渡题”“比较题”“缩减题”为原型进行启发教学，对于优化学生认知结构无疑很有帮助。
一、 “过渡题”——由此及彼，知识迁移
建构主义理论认为，学习就是学生认知结构的形成和改组，而良好的认知结构则来自于教材结构的有效转化，这需要教师对教学内容的高效组织。笔者认为，一切有意义的学习都是建立在学生已有认知结构基础上，为了促进知识正迁移，可以尝试在准备题与例题之间设计一道“过渡题”，从而由此及彼引导学生进入学习。如教学“凑十法”时，教学准备题如下：
（1）9 =109 1 5=
（2）10 3=10 4=
上述两道算式题显然是为了下面的“凑十法”教学做铺垫的。因此，讲解完该练习题后，很多教师就直接导入新课：例1，皮球盒里有10个空格，现已装了9个皮球，后来老师再拿来2个花皮球，问现在一共有多少个皮球？为了能更快引入“凑十法”，教师启发学生可以从盒子外拿几个皮球放入盒内。这时问题就来了，有学生说不用麻烦，直接口算就有11个，有的学生虽说出放进盒里1个，但追问为什么时，竟反问：盒子不是只剩下一个空格子了吗？
针对上述情形，在学生做完“准备题”后，教师设计了一道承上启下的“过渡题”以此消除学生认识差距：在磁板左侧贴9只小猴子，右侧贴3只小猴子，让学生从左往右数出共有13只小猴子。演示完后告诉学生这种方法虽然可行但很麻烦，让学生都想想其他算法，随后展开“过渡题”教学。
师：左侧有多少只小猴子？（9只）
师：从右侧移动几只到左侧，左侧的小猴子就能凑够10只呢？（1只，师演示）
师：右侧还剩多少只？（2只）
师：现在左侧有10只，右侧有2只，这样共有几只小猴子？
“一共13只”，学生一下子就答出来。这样的“过渡题”设计既联系了“准备题”旧知识，又为下面“凑十法”这个新知识点讲授做出铺垫。以“过渡题”为原型启发，让学生对“凑十”内容与方法初具感知，同时又把新旧知识从理性上连成一体，使学生的认知结构更具深度、广度。
二、 “比较题”——同中辨异，异中求同
在小学数学教材内容安排中，许多题目貌似相同相近，造成学生理解题意时极易混淆出现错误。以百分数应用题教学为例，如下列两道题。
（1）果园里有桃树125课，比李树多25%，李树有多少棵？
（2）果园里有李树100课，桃树比李树多25%，桃树有多少棵？
像这类分数应用题结构与形式非常相似，如果学生缺乏深刻理解，不善于辨析异同就会思维混乱、做题时无从下手。笔者认为，教师应把教学重点放在结构分析上，在教学中运用“比较”的题目作为原型有助于提高学生辨析能力。例如，有一台空调原价是1600元，现价降价了12%，现价每台空调是多少元？教学重点是让学生搞清楚已知条件，关键句以及“单位1”。教师要引导学生学会用线段图表示（略），并说出现价与原价间的数量关系：
原价（问题）（1-12%）=现价（已知）
借助线段图的直观性，这时再次引导学生根据线段图的已知条件和数量关系，编成另外一道百分数应用题：有一台空调现价是1408元，比原价降低了12%，原价每台空调售价是多少？并把比较题和改编题作为一个题组出现，要求学生同时解答，最后教师小结，对比板书（略）。由于学生是在分析比较题的基础上，并以比较题为原型，通过改编以题组形式进行对照解答，这样有利于学生深刻理解两类应用题间的联系和区别，从而让学生体验和经历知识形成过程。
三、 “缩减题”——化繁为简，抽丝剥茧
数学是把含有各种数量关系的数学问题以文字信息呈现。小学数学中有些应用题内容虽然不尽相同，但其结构形式却十分相似，这就是我们常常提到的“同构异素”问题。如（1）（2）这两道题：
（1）据科学测算，每只猫头鹰全年能消灭1200只田鼠左右，而一只田鼠一年至少能糟蹋掉20千克稻谷，照这样计算，某区域有15只猫头鹰专吃田鼠，这样折算下来一年能减损多少千克稻谷？
（2）某钢铁厂，原先炼8吨钢需耗费120吨水。经过改进设备后，每吨钢材可以节约用水2吨水。照这样计算，钢铁厂一天炼钢75吨，这样可以节约多少吨水？
（1）（2）看起来比较繁杂，解题时学生往往是思维无序，其主因是学生无法清晰准确理解题中结构。此时通过设计“缩减题”，让学生在做题中逐步厘清题目结构形式。例如，一吨的纸张能做5000本笔记簿，2.8吨纸张可以做多少本笔记簿？学生解答后，把“2.8吨”转化成间接条件，原题扩编成：一吨的纸张可以做5000本笔记簿，一吨废纸可以生产 0.7 吨的新纸，4吨的废纸能做成多少本笔记簿？通过改编，就把一道一步的应用题扩编成了两步连乘题目。通过题中“2.8 吨”这个条件的转化，学生很快就弄清了扩编后题目的结构形式并迅速解答。随后教师再引导學生展开联想，通过原型题的启发，以类推方式做上述两道题，并结合原题把它们的算式再次比较，在“抽丝剥茧”教学中找出结构形式的共同点，学生掌握了解题方法，同时又优化了认知。
总的来说，运用原型启发是优化学生认知结构有效教学法。不过教无定法，构建学生良好的认知结构绝不是一时一刻及生搬硬套可以完成的任务，数学教师应基于教学需要灵活运用各种教学策略，并在长期的教学实践中总结经验与方法，让自己熟谙教学规律，这才是关键。
参考文献：
[1]杨永良.如何优化学生的认知结构[J].北京教育（普教版），2017（4）：58.
[2]刘孝华.优化学生认知结构的教学策略[J].教学与管理（理论版），2007（1）：127-128.
[3]冯开艾.构建认知结构培养解题能力[J].教育，2017（30）：79.
作者简介：
黄俊杰，福建省漳州市，漳浦县盘陀中心学校。