【摘 要】
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本文主要分为三个部分.首先研究了 Fermat型函数方程F8（z）+G8（z）+H8（z）=1,以及F6（z）+G6（z）+H6（z）=1,非平凡亚纯函数解、整函数解的存在性问题,得到了如下的结果:·函数方程F8（z）+G8（z）+H8（z）=1无极点列收敛指数小于1的非平凡亚纯函数解.·函数方程F6（z）+G6（z）+H6（z）=1无零点列收敛指数小于1的非平凡整函数解.其次,探讨了亚纯函数与完
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本文主要分为三个部分.首先研究了 Fermat型函数方程F8（z）+G8（z）+H8（z）=1,以及F6（z）+G6（z）+H6（z）=1,非平凡亚纯函数解、整函数解的存在性问题,得到了如下的结果:·函数方程F8（z）+G8（z）+H8（z）=1无极点列收敛指数小于1的非平凡亚纯函数解.·函数方程F6（z）+G6（z）+H6（z）=1无零点列收敛指数小于1的非平凡整函数解.其次,探讨了亚纯函数与完备极小曲面的Gauss映射之间的对应关系.对F.Xavier和X.L.Chao提出的关于极小曲面的几个问题（尤其是寻找开平面内的亚纯函数为完备极小曲面Gauss映射的充分条件）展开研究,寻找到了几类定义在开平面内的亚纯函数,证明了它们一定是完备极小曲面的Gauss映射,得到了如下的结果:·若开平面内的亚纯函数的零点列或极点列的收敛指数小于1/2,则一定是某完备极小曲面的Gauss映射.·设g1（z）和g2（z）≠0为无公共零点的整函数,如果在g12（z）和g22（z）中至少有一者的原函数可表示为有限个级小于1/2的整函数的复合函数,则亚纯函数g1（z）/g2（z）一定是某完备极小曲面的Gauss映射.·设g1（z）和g2（z）≠0为无公共零点的整函数,如果g1（z）和g2（z）中至少有一者在原点的Taylor展式具有2-阶Fejer间隙,则亚纯函数g1（z）/g2（z）一定是某完备极小曲面的Gauss映射.最后,讨论了指数多项式的唯一性问题.针对指数函数这类特殊的整函数,将Nevanlinna 5IM与Nevanlinna 4CM分担值定理推广至角形区域上,得到了如下的结果:·设f（z）,g（z）是非常数的指数多项式,ak（k=1,2,3,4）为判别的有穷复数,如果存在K ≥ 0以及复平面中张角大于π的角形区域Ωk（k=1,2,3,4）,使得对（?）k ∈ {1,2},f（z）与g（z）在区域Dk=Ωk∩{z∈C||z|>K}内以ak为CM分担值,而对Vj ∈ {3,4},f（z）与g（z）在区域Dj=Ωj∩{z∈C | |z|>K}内以aj为IM分担值,则f（z）≡g（z）.·设f（z）,g（z）是非常数的指数多项式,且f（z）≠g（z）,ak（k=1,2,3）为判别的有穷复数,如果存在K≥0以及复平面中张角大于π的角形区域Ωk（k=1,2,3）,使得对（?）k ∈{1,2},f（z）与g（z）在区域Dk=Ωk∩{z∈ C |z|>K}内以ak为CM分担值,而a3为f（z）与g（z）在区域D3=Ω3 ∩{z∈C ||z|>K}内的IM分担值,则存在一次多项式h（z）,使得h（f（z））·h（g（z））=1.
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