本文主要考虑有界光滑区域Ω(∈)RN上的一类具有Dirichlet边值条件的半线性椭圆型方程:-△u=λu+|u|p-2u其中N≥3，2＜p≤2*，λ∈R，2*:=2N/N-2是临界Sobolev嵌入指数.　　本文采用变分方法来研究上述方程.我们将在引言中介绍此类问题的相关背景知识,综述本文的主要结果.第二章涉及到本文所必要的准备知识，以及此类问题的变分框架和解的正则性结果.我们强调，当非线性项以临界指数增长时，问题将变得更加复杂，其表现为相应泛函不满足全局（PS）c条件.在第三章，我们将研究该问题的（PS）c条件，得到两种情形下紧性条件的不同结果.　　第四章，我们分别运用经典的山路定理和环绕定理来证明此类问题正解和变号解的存在性.在第五章，我们考虑此类问题解的多重性，此类问题在两种情形下的差别在解的多重性结果中表现地特别明显:当增长指数达到临界时，解决次临界问题的经典方法不再有效，尤其是低维情形时，更是如此.第六章，我们将考虑此类问题的基态解，并通过解的先验估计给出其存在性证明.第七章是临界问题相关结果的一些补充，并汇总了该类问题的部分未解决问题.