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本文用变分方法和一些分析技巧,研究了两类分数阶椭圆方程的解的存在性和多重性.在第1章中,主要介绍了分数阶微分方程具有的物理背景和研究进展,给出了一些记号、定义和预备知识.在第2章中,考虑下面的分数阶Schrodinger方程:其中α ∈(0,1),N>2α(-△)αρ-是范围被正函数ρ∈C(RN,R+)所决定的一类非局部区域分数阶Laplace算子,定义如下∫RN(-△αρu(x)dx=∫RN∫B(0,ρ(x))[u(x+z)-u(x)][v(x+z)-v(x)]/|z|N-2αdzdx,u,v ∈ Hα(RN).我们对V和f提出下面的假设:(P)ρ ∈ C(RN,R+),存在 ρ0>0,使得 ρ(r)≥ ρ0;(V)V ∈C(RN,R),infx∈RNV(r)≥ C>0,存在 r0>0,使得对任意 M>0 lim |y|→∞meas({x ∈ RN:|x-y| ≤r0,V(x)≤ M})= 0;(f1)f ∈ C(RN × R,R)且 limt→0f(x,t)/t=0,关于x∈RN一致成立;(f2)limt→+∞f(x,t)/t2α-1*=0,关于x ∈ 一致成立,其中2α*=2N/N-2α麓为分数阶临界指数;(f3)limt→∞F(x,t)/t2=+∞,关于x ∈ RN 一致成立,其中F(x,t)=∫0tf(x,τ)dτ;(f4)令f(x,t)= tf(x,t)-2F(x,t),存在 θ ≥ 1,使得对任意(,t)∈ ×R,s ∈[0,1],都有 θF(x,t≥ F(x,st).结合这些条件,用山路引理和一些变分技巧得到了方程(1)的非平凡基态解.在第3章中,研究了带有一般凹凸项的分数阶椭圆方程:其中Ω∈R 光滑有界,α ∈(0,1),N>2α,λ>0是一个常数.h和g满足下列条件:(h1)H(x,t)∈ × R),且 H(x,0)= 0.其中 H(x,t)= ∫0t h(x,τ)dτ;(h2)存在x ∈ Ω,r0 ∈(1,2),60>0,使得对任意 t ∈ R,H(x,t)>b0 |t|r0;(h3)对任意(x,t)∈ × R,存在 r1,r2 ∈(1,2),使得|h(x,t)|≤b1(x)|t|r-1 +b2(x)|t|r2-1.其中bi(x)∈Lβi(Ω,R+),βi∈(22α*/2α*(2-ri)+2α*-2,2/2-ri],i= 1,2;(h4)G(x,t)= a(x)|t|s,其中 20,且meas(?)>0.在本节,我们用山路引理和(Ce)c条件得到了方程(2)解的多重性.