除正常扩散过程外,反常扩散过程在自然界各个领域中也是普遍存在的.因其普遍性,越来越多的学者致力于研究反常扩散过程的动态行为.本文主要基于随机游走理论研究复杂环境下的非遍历反常动力模型.在复杂环境下,一方面,我们引入埃尔米特正交多项式逼近的方法处理时间变量和空间变量耦合的问题.另一方面,在一维均匀非静态介质这一复杂环境下,介质的均匀扩张或均匀收缩使得扩散粒子产生一定的位移.由于该位移的分布未知,因此在该介质下（物理坐标）直接分析扩散粒子的运输性质是十分困难的.为了解决这一难题,我们引入了共动坐标.最后,我们以广义扩散方程为出发点,推导出在不同类型记忆核下相应搜索方案的搜索可靠性以及搜索效率,从而有助于人们针对不同的复杂环境制定出最佳的搜索策略.本文所得到的理论结果均通过蒙特卡洛数值模拟方法进行验证.本文总共分为七章.第一章简要介绍了反常扩散过程的研究背景以及意义,随后简述了连续时间随机游走模型和莱维游走模型并附上相应的蒙特卡洛模拟算法代码以及轨迹模拟图.最后简要介绍一下本文主要的的研究内容,并逐一说明了每个章节的研究方法以及创新点等.在第二章中,我们主要讨论外部势场中的莱维游走模型.首先我们研究线性势场中的莱维游走模型并基于随机游走理论建立莱维游走粒子位置分布所满足的主方程.通过埃尔米特正交多项式逼近的方法来处理该复杂环境下时空耦合问题,进一步得到长时间下莱维游走粒子的动力学行为特征,从而判断出线性势对莱维游走过程的影响.其次,我们研究在线性势场和调和势场中运动的莱维游走模型,当时间充分长时我们观测到一些有趣的特征,比如强反常扩散,非高斯分布,稳态分布等.最后,我们讨论了在线性势和调和势共同作用下莱维游走粒子的弛豫动力学.在第三章中,我们主要考虑具有三种不同运动状态的扩散过程.这三种不同的运动状态分别对应扩散粒子的移动阶段,返回阶段以及间歇阶段.在移动阶段,粒子以布朗运动或者弹道莱维游走的方式进行移动.在返回阶段,粒子从移动阶段的终点出发,分别以常值速度,常值加速度或在调和势作用下这三种不同的返回方式朝着原点的方向返回.当返回至原点后来到间歇阶段.在间歇阶段,粒子按照间歇时间概率密度函数在原点歇息一段随机时间.我们推导出时间充分长时在不同的移动方式,返回方式以及间歇时间分布下该扩散过程位置二阶矩的渐近形式.当二阶矩呈现局限化的特征时,我们进一步考虑了该扩散过程的稳态分布.最后,在移动阶段当扩散粒子以布朗运动的方式进行移动时,我们进一步讨论了有关平均首次通过时间的问题.在第四章中,我们主要研究一维均匀非静态介质下莱维游走模型的动力学行为特征.由于在一维均匀非静态介质中,物理坐标与共动坐标之间可以通过尺度因子建立联系,因此我们在共动坐标下建立莱维游走粒子位置分布满足的主方程.通过埃尔米特正交多项式逼近的方法处理该主方程,进一步推导出长时间下一维均匀非静态介质中莱维游走模型比较重要的一些统计量,比如在各个坐标下莱维游走粒子位置二阶矩的渐近表达式,稳态分布对应的峰度等.最后,我们通过蒙特卡洛数值模拟方法讨论了非静态介质下莱维游走过程在一些特定情形下的平均首次通过时间问题.在第五章中,我们主要考虑一维均匀非静态介质下线性势场中的莱维游走模型,分析非静态介质和线性势的共同作用对莱维游走过程的影响.以一些具有代表性的尺度因子以及游走时间分布为例,通过埃尔米特正交多项式逼近的方法处理共动坐标下莱维游走粒子位置分布满足的主方程,我们观测到一些有趣的且引人注目的结果,这些结果起源于因非静态介质的扩张或收缩而引起的莱维游走粒子确定性运动,线性势驱使造成的运动以及莱维游走粒子本质运动之间的相互作用.在第六章中,我们主要讨论一维带诱捕的布朗搜索以及莱维搜索.基于连续时间随机游走模型的Montroll-Weiss方程,通过引入记忆核函数来表示等待时间分布人们推导出广义扩散方程.从该广义扩散方程出发,以一些具有代表性的记忆核为例我们计算出不同搜索方案所对应的首次到达时间分布,搜索可靠性以及搜索效率,这些统计量的结果有助于人们针对不同的复杂环境制定出最佳的搜索方案.最后我们将上述方法推广到搜索多个目标的情形以及联合搜索方案.在第七章中,我们对全文进行了总结,并说明一下未来的研究工作.