论文部分内容阅读
[摘要] 发散思维是数学思维的重要组成部分，培养学生的发散思维能力是数学教育目标所决定的，探索发散思维能力的培养途径，是当今时代的要求，发展的需要。本文介绍了发散思维的含义及特性，重点阐述了发散思维的培养与训练，并指出了教学中应该注意的有关问题。
[关键词] 数学教学 发散思维 培养
一、发散思维的概念及特点
发散思维又称求异思维、扩散思维、辐射思维等，它是由某一中心向不同方向、不同角度、不同层次辐射，从而引出许多新的信息的思维方式。发散思维是创造性思维的主要结构成分。从某种角度来说，发散思维品质的高低决定着创新思维能力的高低。它的实质就是：创新——找出事物之间的新关系，探索研究问题的新方法；求异——对未知的东西敢于大胆地设想，对已知的东西敢于大胆提出异议，对陈规敢于突破。
一般来说，发散性思维具有流畅性、变通性、独特性。其中，流畅性指心智活动畅通无阻（或少阻）。灵敏迅速，能在短时间内“接通”为数众多的概念和知识点，形成丰富的联想。变通性指思考随机应变，不受消极定势桎梏，能产生新的观点，变通性一方面表达了发散性思维的质，另一方面也表达思维的发散量。独特性指在发散性思维中，要用前所未有的新角度、新观点，观察、分析、认识事物而产生独特见解。
二、发散思维的培养与训练
1、培养学生的多向思维
多向思维是发散思维的典型形式，它是从尽可能多的方面考察同一问题，思维不局限于一种模式或一个方面，而获得多种解答或多种结果的思维方式。培养学生的多向思维，可以通过一题多设、一题多解等形式，让学生进行多方练习， 使其记忆系统中的知识尽可能多地与所探求的问题发生联系， 突破知识点的前后和学科界限， 使思维多向发散，有利于培养和发展学生创造思维品质， 提高思维能力， 发展智力。
例如对高中代数(下册)题目：已知: a、b、m∈R + 并且a < b， 求证: 。除可在证明方法上进行发散，分别用分析法、比较法、综合法、反证法、辅助函数法等等方法证明，还可从功能上进行发散；再如高中平面解析几何中的一道复习参考题:“用两种方法证明: 三点A (- 2，13)，B (1，3)，C (4， -6)在一直线上。”此题可从直线斜率；点到直线的距离；三角形面积；余弦定理； 定比分点公式；等价命题；两点间的距离；复数；向量共线等知识点作为发散点来进行论证。这样一个普通的习题通过七、八个知识点发散，得到十多种证题方法，无疑对培养学生数学思维品质是十分有益的。
2、培养学生的逆向思维
逆向思维是发散思维的重要形式，它从习惯思维的反方向去思考和分析问题，它是摆脱思维定势，突破旧框架，产生新思想，发现新知识的思维方式。它要求正面思路一旦受阻时能够迅速地转移到相反的思路上，从而解决问题，在教学中要引导学生如果顺证有困难就考虑逆证；用综合法有困难就用分析法；证明可能性有困难就探求不可能性。
例如：已知函数(-2)2-4+2-6的图像与轴有两个交点，其中至少有一个在轴负半轴上，求实数的取值范围。此题若采用分类思想来讨论各种情况来解决，显然较为麻烦。若从所求问题的反面思考，先求出图像与轴两交点都不在轴负半轴上的取值范围，再求题意中的取值范围，使问题不难解决。
3、培养学生的侧向思维
侧向思维，又称横向思维，是发散思维的一种形式。它是从知识之间的横向联系出发，即从数学的不同分支，或从不同学科知识方法交叉起来。这种学科交叉已是20世纪以来科学发展的一大特征。微积分在牛顿那里主要以力学为背景，在莱布尼兹那里主要以几何为背景。这种发现决非沿着某种特定的逻辑线路能思索出来的。
“数形结合”思想就是在研究数学问题时，由数思形，以形思数，是典型的横向思维联系。如在介绍初等函数时，即可借助于函数图形，能很好地理解和掌握其性质，求函数的定义域问题，除可应用方程，不等式等知识予以解答外，还可用数形结合的方法分析解答，提高解题速度和准确性。学习极限、连续、定积分等概念时，充分利用几何图形，启发直觉思维，进而上升为理性认识，从而深刻理解，灵活运用。运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数、三角与几何的联系，加深对概念性质的理解，提高解题效率具有高度的指导意义。
三、在数学教学中培养发散思维应该注意的问题
1、注意集中思维与发散思维的配合运用
集中思维的训练是培养发散思维的前提，没有集中就没有发散，发散是在集中的基础上进行的。只有通过“发散—集中—再发散—再集中”思维形式的循环反复，才能使发散思维能力形成并向更高水平发展，因而要注意数学教学中集中思维和发散思维的相辅相成，不能忽视集中思维的训练。
2、充分重视学生的主体意识
现代心理学家研究表明:创造能力＝知识量×发散思维能力。数学发散思维培养可以使学生养成良好思维习惯，学生反映能力，提高学生创造能力。因而在教学中，教师在课堂中要努力发掘学生潜在的天赋，激活其主体意识和探索欲望，促使学生独立思考，做学习的主人，努力使学生的主体意识得到充分的发挥。
参考文献：
[1]张绪绪等，应用数学基础[M].西安电子科技大学出版社，2000.
[2]黄秀花，面向21世纪谈数学的思维教育[J]；许昌师专学报，2001(2).
[3]朱月珍，关于数学教学中创造性思维的引导[J]；数学教学研究，2009(2).
[4]王华，初中数学思维与综合训练[M].北京：中国文联出版社，2000.
作者简介：
包殿伟:（1969—），吉林省松原人，东北师范大学数学系毕业，现任吉林省松原市第二高级中学教师，主要从事数学教学研究。
[关键词] 数学教学 发散思维 培养
一、发散思维的概念及特点
发散思维又称求异思维、扩散思维、辐射思维等，它是由某一中心向不同方向、不同角度、不同层次辐射，从而引出许多新的信息的思维方式。发散思维是创造性思维的主要结构成分。从某种角度来说，发散思维品质的高低决定着创新思维能力的高低。它的实质就是：创新——找出事物之间的新关系，探索研究问题的新方法；求异——对未知的东西敢于大胆地设想，对已知的东西敢于大胆提出异议，对陈规敢于突破。
一般来说，发散性思维具有流畅性、变通性、独特性。其中，流畅性指心智活动畅通无阻（或少阻）。灵敏迅速，能在短时间内“接通”为数众多的概念和知识点，形成丰富的联想。变通性指思考随机应变，不受消极定势桎梏，能产生新的观点，变通性一方面表达了发散性思维的质，另一方面也表达思维的发散量。独特性指在发散性思维中，要用前所未有的新角度、新观点，观察、分析、认识事物而产生独特见解。
二、发散思维的培养与训练
1、培养学生的多向思维
多向思维是发散思维的典型形式，它是从尽可能多的方面考察同一问题，思维不局限于一种模式或一个方面，而获得多种解答或多种结果的思维方式。培养学生的多向思维，可以通过一题多设、一题多解等形式，让学生进行多方练习， 使其记忆系统中的知识尽可能多地与所探求的问题发生联系， 突破知识点的前后和学科界限， 使思维多向发散，有利于培养和发展学生创造思维品质， 提高思维能力， 发展智力。
例如对高中代数(下册)题目：已知: a、b、m∈R + 并且a < b， 求证: 。除可在证明方法上进行发散，分别用分析法、比较法、综合法、反证法、辅助函数法等等方法证明，还可从功能上进行发散；再如高中平面解析几何中的一道复习参考题:“用两种方法证明: 三点A (- 2，13)，B (1，3)，C (4， -6)在一直线上。”此题可从直线斜率；点到直线的距离；三角形面积；余弦定理； 定比分点公式；等价命题；两点间的距离；复数；向量共线等知识点作为发散点来进行论证。这样一个普通的习题通过七、八个知识点发散，得到十多种证题方法，无疑对培养学生数学思维品质是十分有益的。
2、培养学生的逆向思维
逆向思维是发散思维的重要形式，它从习惯思维的反方向去思考和分析问题，它是摆脱思维定势，突破旧框架，产生新思想，发现新知识的思维方式。它要求正面思路一旦受阻时能够迅速地转移到相反的思路上，从而解决问题，在教学中要引导学生如果顺证有困难就考虑逆证；用综合法有困难就用分析法；证明可能性有困难就探求不可能性。
例如：已知函数(-2)2-4+2-6的图像与轴有两个交点，其中至少有一个在轴负半轴上，求实数的取值范围。此题若采用分类思想来讨论各种情况来解决，显然较为麻烦。若从所求问题的反面思考，先求出图像与轴两交点都不在轴负半轴上的取值范围，再求题意中的取值范围，使问题不难解决。
3、培养学生的侧向思维
侧向思维，又称横向思维，是发散思维的一种形式。它是从知识之间的横向联系出发，即从数学的不同分支，或从不同学科知识方法交叉起来。这种学科交叉已是20世纪以来科学发展的一大特征。微积分在牛顿那里主要以力学为背景，在莱布尼兹那里主要以几何为背景。这种发现决非沿着某种特定的逻辑线路能思索出来的。
“数形结合”思想就是在研究数学问题时，由数思形，以形思数，是典型的横向思维联系。如在介绍初等函数时，即可借助于函数图形，能很好地理解和掌握其性质，求函数的定义域问题，除可应用方程，不等式等知识予以解答外，还可用数形结合的方法分析解答，提高解题速度和准确性。学习极限、连续、定积分等概念时，充分利用几何图形，启发直觉思维，进而上升为理性认识，从而深刻理解，灵活运用。运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数、三角与几何的联系，加深对概念性质的理解，提高解题效率具有高度的指导意义。
三、在数学教学中培养发散思维应该注意的问题
1、注意集中思维与发散思维的配合运用
集中思维的训练是培养发散思维的前提，没有集中就没有发散，发散是在集中的基础上进行的。只有通过“发散—集中—再发散—再集中”思维形式的循环反复，才能使发散思维能力形成并向更高水平发展，因而要注意数学教学中集中思维和发散思维的相辅相成，不能忽视集中思维的训练。
2、充分重视学生的主体意识
现代心理学家研究表明:创造能力＝知识量×发散思维能力。数学发散思维培养可以使学生养成良好思维习惯，学生反映能力，提高学生创造能力。因而在教学中，教师在课堂中要努力发掘学生潜在的天赋，激活其主体意识和探索欲望，促使学生独立思考，做学习的主人，努力使学生的主体意识得到充分的发挥。
参考文献：
[1]张绪绪等，应用数学基础[M].西安电子科技大学出版社，2000.
[2]黄秀花，面向21世纪谈数学的思维教育[J]；许昌师专学报，2001(2).
[3]朱月珍，关于数学教学中创造性思维的引导[J]；数学教学研究，2009(2).
[4]王华，初中数学思维与综合训练[M].北京：中国文联出版社，2000.
作者简介：
包殿伟:（1969—），吉林省松原人，东北师范大学数学系毕业，现任吉林省松原市第二高级中学教师，主要从事数学教学研究。