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【摘要】初中数学课本里的习题是专家们经过反复推敲和琢磨选定的，这些题目充分体现了基础教育课程标准的精神和数学学科的核心素养，蕴含着数学思想的典型性、示范性，题目本身具有很强的迁移性。本文对2018年广州市中考题里的其中一道题进行深入研究，结合课本中的习题，进行一题多解、多题归一的分析。
【关键词】课本习题；初中数学；一题多解
课本中的一些典型习题是命题专家们青睐的对象，通过对题目的条件、图形、提问方式等改编，可以衍变出丰富多样的题目。但在信息技术推动的多媒体教学环境下，教师经常直接用课件和课堂学案代替课本内容，导致学生也忽略了课本的重要性。这样舍本逐末的教法和学法，对中考备考的系统复习是很不利的。笔者认为，教师在教学中应引导学生重视课本的例题和习题，对习题进行不同角度的改编、拓展和延伸，充分发挥这些题目的示范作用。下面结合2018年广州市中考第23题中的第二问和课本上与之相关的习题，探讨一题多解与多解归一、一题多变与多题归一的问题。
一、链接中考，一题多解与多解归一
题目：在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB CD（见图1）。
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件证明：AE⊥DE。
第一问省略，第二问解题思路如下：
方法一：利用平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰三角形三线合一等知识。
证明：延长DE、AB交于点F（见图2）
∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵∠B=∠C=90°
∴CD∥AB
∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F
∴AD=AF
∵AF=AB BF，AD=AB CD
∴CD=BF
∵在△CDE与△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB
△CDE≌△BFE（AAS）
DE=FE，又△ADF为等腰三角形
AE⊥DE
运用方法一解题时，有些学生审题不清，没有系统理解知识的内在联系，导致出错。例如：延长AB，在AB上截取BF=DC，连接EF，默认点D、点E、点F三点共线，直接证△CDE≌△BFE；默认CE=BE；错误利用等腰三角形的三线合一等。
方法二：利用截长补短、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、平角为180°等知识。
证明：在AD上截取点F，使DF=DC（见图3）（注：在AD上截取点F，使AF=AB亦可）
∵DE平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS）
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°，∠DEF=∠DEC
∵AD=AB DC=AF DF，且DF=DC
∴AF=AB
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF
∴∠AED= ∠AEF ∠DEF=∠CEF ∠BEF
∴AE⊥DE
这里截長补短有两种方式，选择在AD上截取DF=DC的方法可以直接得到△FED与△CDE全等的条件，不容易走入误区；选择在AD上截取AF=AB，不能直接证△AFE与Rt△ABE全等，要先由AD=AB DC这个条件，得到DF=DC，证明△FED与△CDE全等，得到EC=EF，再证△AFE与Rt△ABE全等，这样证明比较复杂，也容易出错。
方法三：利用直角三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、平行线的性质与判定等知识。
证明：作EF⊥AD交AD于点F（见图4）
∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵在△FED和△CDE中，DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF
∴△FED≌△CDE（AAS）
∴DC=DF
∵AD=AB DC=AF DF
∴AF=AB
∵在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，AF=AB
∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）
∴∠FAE=∠BAE
∵∠B=∠C=90°
∴∠B ∠C=180°
∴AB//CD
∴∠CDA ∠DAB=180°
∴∠ADE ∠EAD= ∠CDA ∠DAB=90°
∴∠AED=180-（∠ADE ∠EAD）=90°
∴AE⊥DE
运用方法三解题时，部分学生误用了角平分线的性质定理，没有抓住“一分两垂得线等”的关键是确定谁是角平分线上的点，错误地认为可以直接得到DC=DF；有些学生把EF=EB=EC当做已知条件用，但却并没有证明。
以上三种解法中发现，辅助线做法不同，过程难易程度也不尽相同，但本题的核心考点仍然是全等三角形的性质与判定，关键的思路是构造全等三角形。
下面来看一下课本上通过改变已知条件、图形、设问方式等延伸出来的与上题相似的题目。
二、重视课本，一题多变与多题归一
题目一（人教版8年级上册P52第7题）：已知∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线。
证明：作EF⊥AD交AD于点F（见图5） ∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵在△FED和△CDE中，
DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF
∴△FED≌△CDE（AAS）
∴EC=EF
∵点E是BC的中点
∴EC=EB
∴EF=EB
∵∠B=∠AFE=90°，在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，EF=EB
∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）
∴∠FAE=∠BAE
∴AE是∠DAB的平分线
本题的图形跟上题一样，都是直角梯形模型，本题将上题中的已知条件AD=AB CD变成了E是BC的中点，这样线段之间的相等关系更容易找到，实际上降低了題目的难度，解决本题的关键也是构造全等三角形。另外本题还可以改编成求证：AD=AB CD，方法和思路同上。
题目二 （人教版9年级上册102第11题）：如图6，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长。
证明：连接OE，OF，OG（见图6）
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD
∵OE=OF，OE⊥AB，OF⊥BC
∴BO是∠ABC的平分线
∴∠OBE=∠OBF
同理可证∠OCG=∠OCF
∵AB∥CD
∴∠ABC ∠DCB=180°
∴∠OBF ∠OCF=90°
∴OB⊥OC
∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm
∴ cm
本题将直角梯形和圆结合在一起，图形看上去相对复杂，但只是将上题中的直角条件以圆的切线的形式呈现，实质上，解题思路跟上题类似，关键还是证明OB⊥OC。
三、研究课本习题对教学的启示
第一，关注教材，充分发挥教材中题目的示范作用。课本是体现数学学科核心素养的直接载体，在教学实践中，教师要创造性地运用课本，重视课本中具有代表性的习题或例题——它们是中考命题的参考，既有知识的坚守又有考点的创新，所提供的解题策略是求解同类问题的重要模型。在教学中，教师应深入研究课本，充分发挥教材中题目的示范作用。
第二，关注学生，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。对课本中典型例题和习题的研究是中考复习的一个重要环节，教师可以通过引导学生改变题目中的条件、结论、图形等进行变式教学，让学生的思维活跃起来，不断强化学生对知识和方法的理解，引领学生进行多角度、多层次的思考，提高学生分析问题和解决问题的能力。与此同时，教师也要不断地学习，提高自身的综合业务能力，为学生的数学学习保驾护航。
第三，关注方法，培养学生一题多解和多题归一的数学思维。一道好题的解题方法和出题方式往往千变万化，但归根结底是万变不离其宗。求“变”可培养学生思维的灵活性和敏捷性，追“宗”可培养学生思维的深刻性和严谨性。通过对核心知识的归纳和整理，学生将所学的知识与技能“由厚到薄”，使知识结构更系统化。因此，教师要引导学生在学习中不断总结做题的方法和技巧，学生只有认清题目本质、理解题目内涵，才能真正地学会数学、学好数学。
参考文献：
[1]池旭.一题多解寻求多种解题方法[J].中学数学，2016（3）：70-72.
[2]张宁.一道课本习题在中考中的坚守与创新[J].数理化学习（初中版），2017（7）：15-18.
【关键词】课本习题；初中数学；一题多解
课本中的一些典型习题是命题专家们青睐的对象，通过对题目的条件、图形、提问方式等改编，可以衍变出丰富多样的题目。但在信息技术推动的多媒体教学环境下，教师经常直接用课件和课堂学案代替课本内容，导致学生也忽略了课本的重要性。这样舍本逐末的教法和学法，对中考备考的系统复习是很不利的。笔者认为，教师在教学中应引导学生重视课本的例题和习题，对习题进行不同角度的改编、拓展和延伸，充分发挥这些题目的示范作用。下面结合2018年广州市中考第23题中的第二问和课本上与之相关的习题，探讨一题多解与多解归一、一题多变与多题归一的问题。
一、链接中考，一题多解与多解归一
题目：在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB CD（见图1）。
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件证明：AE⊥DE。
第一问省略，第二问解题思路如下：
方法一：利用平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰三角形三线合一等知识。
证明：延长DE、AB交于点F（见图2）
∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵∠B=∠C=90°
∴CD∥AB
∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F
∴AD=AF
∵AF=AB BF，AD=AB CD
∴CD=BF
∵在△CDE与△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB
△CDE≌△BFE（AAS）
DE=FE，又△ADF为等腰三角形
AE⊥DE
运用方法一解题时，有些学生审题不清，没有系统理解知识的内在联系，导致出错。例如：延长AB，在AB上截取BF=DC，连接EF，默认点D、点E、点F三点共线，直接证△CDE≌△BFE；默认CE=BE；错误利用等腰三角形的三线合一等。
方法二：利用截长补短、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、平角为180°等知识。
证明：在AD上截取点F，使DF=DC（见图3）（注：在AD上截取点F，使AF=AB亦可）
∵DE平分∠ADC，∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS）
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°，∠DEF=∠DEC
∵AD=AB DC=AF DF，且DF=DC
∴AF=AB
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF
∴∠AED= ∠AEF ∠DEF=∠CEF ∠BEF
∴AE⊥DE
这里截長补短有两种方式，选择在AD上截取DF=DC的方法可以直接得到△FED与△CDE全等的条件，不容易走入误区；选择在AD上截取AF=AB，不能直接证△AFE与Rt△ABE全等，要先由AD=AB DC这个条件，得到DF=DC，证明△FED与△CDE全等，得到EC=EF，再证△AFE与Rt△ABE全等，这样证明比较复杂，也容易出错。
方法三：利用直角三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、平行线的性质与判定等知识。
证明：作EF⊥AD交AD于点F（见图4）
∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵在△FED和△CDE中，DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF
∴△FED≌△CDE（AAS）
∴DC=DF
∵AD=AB DC=AF DF
∴AF=AB
∵在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，AF=AB
∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）
∴∠FAE=∠BAE
∵∠B=∠C=90°
∴∠B ∠C=180°
∴AB//CD
∴∠CDA ∠DAB=180°
∴∠ADE ∠EAD= ∠CDA ∠DAB=90°
∴∠AED=180-（∠ADE ∠EAD）=90°
∴AE⊥DE
运用方法三解题时，部分学生误用了角平分线的性质定理，没有抓住“一分两垂得线等”的关键是确定谁是角平分线上的点，错误地认为可以直接得到DC=DF；有些学生把EF=EB=EC当做已知条件用，但却并没有证明。
以上三种解法中发现，辅助线做法不同，过程难易程度也不尽相同，但本题的核心考点仍然是全等三角形的性质与判定，关键的思路是构造全等三角形。
下面来看一下课本上通过改变已知条件、图形、设问方式等延伸出来的与上题相似的题目。
二、重视课本，一题多变与多题归一
题目一（人教版8年级上册P52第7题）：已知∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE是∠DAB的平分线。
证明：作EF⊥AD交AD于点F（见图5） ∵DE平分∠ADC
∴∠CDF=∠ADF
∵在△FED和△CDE中，
DE=DE，∠DFE=∠DCE=90°，∠CDF=∠EDF
∴△FED≌△CDE（AAS）
∴EC=EF
∵点E是BC的中点
∴EC=EB
∴EF=EB
∵∠B=∠AFE=90°，在Rt△FEA和Rt△EBA中， AE=AE，EF=EB
∴Rt△FEA≌Rt△EBA（HL）
∴∠FAE=∠BAE
∴AE是∠DAB的平分线
本题的图形跟上题一样，都是直角梯形模型，本题将上题中的已知条件AD=AB CD变成了E是BC的中点，这样线段之间的相等关系更容易找到，实际上降低了題目的难度，解决本题的关键也是构造全等三角形。另外本题还可以改编成求证：AD=AB CD，方法和思路同上。
题目二 （人教版9年级上册102第11题）：如图6，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长。
证明：连接OE，OF，OG（见图6）
∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD
∵OE=OF，OE⊥AB，OF⊥BC
∴BO是∠ABC的平分线
∴∠OBE=∠OBF
同理可证∠OCG=∠OCF
∵AB∥CD
∴∠ABC ∠DCB=180°
∴∠OBF ∠OCF=90°
∴OB⊥OC
∵在Rt△BOC中，BO=6cm，CO=8cm
∴ cm
本题将直角梯形和圆结合在一起，图形看上去相对复杂，但只是将上题中的直角条件以圆的切线的形式呈现，实质上，解题思路跟上题类似，关键还是证明OB⊥OC。
三、研究课本习题对教学的启示
第一，关注教材，充分发挥教材中题目的示范作用。课本是体现数学学科核心素养的直接载体，在教学实践中，教师要创造性地运用课本，重视课本中具有代表性的习题或例题——它们是中考命题的参考，既有知识的坚守又有考点的创新，所提供的解题策略是求解同类问题的重要模型。在教学中，教师应深入研究课本，充分发挥教材中题目的示范作用。
第二，关注学生，注重培养学生分析问题和解决问题的能力。对课本中典型例题和习题的研究是中考复习的一个重要环节，教师可以通过引导学生改变题目中的条件、结论、图形等进行变式教学，让学生的思维活跃起来，不断强化学生对知识和方法的理解，引领学生进行多角度、多层次的思考，提高学生分析问题和解决问题的能力。与此同时，教师也要不断地学习，提高自身的综合业务能力，为学生的数学学习保驾护航。
第三，关注方法，培养学生一题多解和多题归一的数学思维。一道好题的解题方法和出题方式往往千变万化，但归根结底是万变不离其宗。求“变”可培养学生思维的灵活性和敏捷性，追“宗”可培养学生思维的深刻性和严谨性。通过对核心知识的归纳和整理，学生将所学的知识与技能“由厚到薄”，使知识结构更系统化。因此，教师要引导学生在学习中不断总结做题的方法和技巧，学生只有认清题目本质、理解题目内涵，才能真正地学会数学、学好数学。
参考文献：
[1]池旭.一题多解寻求多种解题方法[J].中学数学，2016（3）：70-72.
[2]张宁.一道课本习题在中考中的坚守与创新[J].数理化学习（初中版），2017（7）：15-18.