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【摘 要】美式一篮子期权是一个关于多个标的资产的投资组合，其收益取决于执行时这些资产的平均价格或加权平均价格。该期权赋予投资者一个权利，同时这个权利是可以放弃的。然而，这个权利的获取需要付出一定的“代价”，即期权的价格。考虑到一篮子期权的价格通常要比关于单一标的资产的期权组合的价格要便宜，该期权很快收到了投资者的青睐。因此，文章主要探讨了在不确定的金融环境中美式算术一篮子看涨期权的定价。假设股票价格之间是相互独立的，并且服从相应的不确定微分方程，进而推导出美式算术一篮子看涨期权的定价公式，并且通过数值算例说明期权定价公式的可行性。
【关键词】期权定价;美式算术一篮子看涨期权;不确定微分方程;不确定环境
引言
随着经济全球化与市场经济地快速发展，金融衍生品为金融市场的发展开启了一个新的篇章。作为一种金融衍生品，期权可以更好地发挥出规避风险、提高收益以及套期保值的功能。期权是一份合约，持有人在规定的时间内以敲定价格购买或销售一定数量的原生资产的合同，但是期权的持有人却不需要承担必须购买或销售的义务[1]。由此可以看出，期权是一个权利，并不是必须要去履行的义务。然而，期权的获取并不是白白得到的，需要付出一定的价格，也就是期权的价格。期权的价格与买卖双方的收益息息相关的，那么为期权进行合理的定价就显得至关重要。
在B-S模型下，Hanbali和Linders[2]通过求解偏微分方程来研究美式一篮子期权的定价问题，同时也使用了有限差分法讨论分析了欧式一篮子期权的定价。马琴[3]在该模型下探讨了欧式一篮子期权的定价问题，同时也在跳扩散模型和分数B-S模型下分析了该期权的定价。淡静怡[4]是在双分数布朗运动环境下分析了一篮子期权的定价问题。Liang和Xu[5]则是假定标的资产服从不同的随机波动过程进而探讨了欧式一篮子期权的定价问题。此外，在Heston模型下，李方琦[6]则是使用深度学习的方法来讨论分析欧式一篮子期权的定价问题，以此来规避一篮子期权的多维度问题。在同一模型下面，张敏等[7]则是探讨了关于两个标的资产的欧式一篮子看涨期权的定价问题。上述模型均是使用概率论的方法，这就要求我們应该获取到大量的样本数据。然而，在现实当中考虑到技术等众多实际方面的因素，也许无法收集到样本数据或收集到的样本数据是不可使用的。比如，市场上刚推出一款新型产品，然而该产品对于大众的受欢迎程度则是不确定的，没有历史数据可供参考。再者，2019年新型冠状病毒肺炎的迅速传播，口罩成为一种必不可缺的防护产品，甚至成为疫情期间的必需品。2020年口罩的需求量明显要远远高于往年的需求量。这对于研究2020年口罩的需求量是不具有任何参考价值的。在此情况下，我们需要找到相关的专家估计出事件发生的可能性，即专家信度[8]，以此来预测股票价格的发展走向。然而，由于人类预测的结果通常较为保守，给出的预测结果总是要比真实结果的范围要大一些[9]。如果我们继续使用概率论的方法来处理专家信度，甚至可能会出现违反人类直觉的结果[10]。因此，Liu[11]于2007年开创了不确定理论并于2009年进一步完善，Liu的不确定理论为解决期权定价这一问题开辟了一条全新的思路。
另外，Liu[12]在2009年首次将不确定理论运用到金融领域当中，假设股票的价格服从一个微分方程，进而构造出不确定股票模型，并推导出欧式期权的定价公式。在此模型下，Gao等[13]假设股票的价格服从不确定微分方程讨论了4种美式障碍期权的定价问题。在不确定均值回归股票模型下，Tian等[14]探讨了四种欧式障碍期权的定价问题，同时也设计出算法来计算期权的价格。Gao等[15]则是假设股票的价格是一个带跳跃的不确定过程，继而探讨了欧式多资产期权的定价问题。在不确定多因素股票的模型下，徐建强和彭锦[16]将彩虹期权的定价问题分为4种，并推导出相应的期权定价公式。此外，Huang和Wang[17]在不确定均值—机会模型下对期权组合投资进行了分析。
1 基础理论
定义1.[11]假设是非空集合Γ上的σ-代数，每一个事件。若集函数M满足：
3 结语
文章主要讨论分析了在不确定金融环境中美式算术一篮子看涨期权的定价的问题。假设股票价格之间是相互独立的，并且服从对应的不确定微分方程，进而推导出美式算术一篮子看涨期权的定价公式。在以后的研究内容中，可以探讨在不确定金融环境中其他的美式多资产期权以及新型期权的定价问题。
参考文献：
[1]姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M]. 高等教育出版社，2003.
[2]Hanbali H，Linders D. American-type basket option pricing：a simple two-dimensional partial differential equation [J]. Quantitative Finance，2019，19（10）：1689-1704.
[3]马琴. 欧式篮子期权定价研究综述和数值分析[D]. 清华大学，2014.
[4]淡静怡. 双分数布朗运动环境下篮子期权定价[D]. 西安工程大学，2017.
[5]Liang Y，Xu X. Variance and dimension reduction Monte Carlo method for pricing European multi-asset options with stochastic volatilities[J]. Sustainability，2019，11（3）：1-21.
[6]李方琦. 基于深度学习的篮子期权定价数值算法[J]. 山东理工大学学报（自然科学版），2021，35（02）：38-42. [7]张敏，朱晖，蔡秋娥. Heston模型下的欧式一篮子期权定价[J]. 南华大学学报（自然科学版），2015，29（02）：81-83.
[8]Liu B. Fuzzy process，hybrid process and uncertain process[J]. Journal of Uncertain Systems，2008，2（1）：3-16.
[9]Kahneman D，Tversky A. Prospect theory：an analysis of decision under risk[J]. Econometrica，1979，47（2）：263?291.
[10]Liu B. Why is there a need for uncertainty theory？[J]. Journal of Uncertain Systems，2012，6（1）：3-10.
[11]Liu B. Uncertainty theory[M]. 2nd ed. Berlin：Springer-Verlag，2007.
[12]Liu B. Some research problems in uncertainty theory[J]. Journal of Uncertain Systems，2009，3（1）：3-10.
[13]Gao R，Liu K，Li Z，et al. American barrier option pricing formulas for stock model in uncertain environment[J]. IEEE Access，2019，7：97846-97856.
[14]Tian M，Yang X，Zhang Y. Barrier option pricing of mean-reverting stock model in uncertain environment[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2019，166：126-143.
[15]Gao Z，Wang X，Ha M，Multi-asset option pricing in an uncertain financial market with jump risk，Journal of Uncertainty Analysis and Applications，2016，4（1）：1-11.
[16]徐建強，彭锦. 不确定环境下彩虹期权定价[J]. 黄冈师范学院学报，2010，30（3）：18-22.
[17]Huang X，Wang X. Portfolio investment with options based on uncertainty theory[J]. International Journal of Information Technology and Decision Making，2019，18（3）：929-952.
[18]Liu B. Uncertain risk analysis and uncertain reliability analysis[J]. Journal of Uncertain Systems，2010，4（3）：163-170.
[19]Liu B. Uncertainty theory：a branch of mathematics for modeling human uncertainty[M]. Berlin：Springer-Verlag，2010.
[20]Yao K，Chen X. A numerical method for solving uncertain differential equations[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2013，25（3）：825-832.
作者简介：
尹晓芳，1995年出生，女，汉族，河北石家庄人，在读硕士，研究方向：期权定价;
封韶波，1995年出生，女，汉族，河北邯郸人，在读硕士;
刘昕鑫，1993年出生，女，汉族，河北唐山人，在读硕士。
【关键词】期权定价;美式算术一篮子看涨期权;不确定微分方程;不确定环境
引言
随着经济全球化与市场经济地快速发展，金融衍生品为金融市场的发展开启了一个新的篇章。作为一种金融衍生品，期权可以更好地发挥出规避风险、提高收益以及套期保值的功能。期权是一份合约，持有人在规定的时间内以敲定价格购买或销售一定数量的原生资产的合同，但是期权的持有人却不需要承担必须购买或销售的义务[1]。由此可以看出，期权是一个权利，并不是必须要去履行的义务。然而，期权的获取并不是白白得到的，需要付出一定的价格，也就是期权的价格。期权的价格与买卖双方的收益息息相关的，那么为期权进行合理的定价就显得至关重要。
在B-S模型下，Hanbali和Linders[2]通过求解偏微分方程来研究美式一篮子期权的定价问题，同时也使用了有限差分法讨论分析了欧式一篮子期权的定价。马琴[3]在该模型下探讨了欧式一篮子期权的定价问题，同时也在跳扩散模型和分数B-S模型下分析了该期权的定价。淡静怡[4]是在双分数布朗运动环境下分析了一篮子期权的定价问题。Liang和Xu[5]则是假定标的资产服从不同的随机波动过程进而探讨了欧式一篮子期权的定价问题。此外，在Heston模型下，李方琦[6]则是使用深度学习的方法来讨论分析欧式一篮子期权的定价问题，以此来规避一篮子期权的多维度问题。在同一模型下面，张敏等[7]则是探讨了关于两个标的资产的欧式一篮子看涨期权的定价问题。上述模型均是使用概率论的方法，这就要求我們应该获取到大量的样本数据。然而，在现实当中考虑到技术等众多实际方面的因素，也许无法收集到样本数据或收集到的样本数据是不可使用的。比如，市场上刚推出一款新型产品，然而该产品对于大众的受欢迎程度则是不确定的，没有历史数据可供参考。再者，2019年新型冠状病毒肺炎的迅速传播，口罩成为一种必不可缺的防护产品，甚至成为疫情期间的必需品。2020年口罩的需求量明显要远远高于往年的需求量。这对于研究2020年口罩的需求量是不具有任何参考价值的。在此情况下，我们需要找到相关的专家估计出事件发生的可能性，即专家信度[8]，以此来预测股票价格的发展走向。然而，由于人类预测的结果通常较为保守，给出的预测结果总是要比真实结果的范围要大一些[9]。如果我们继续使用概率论的方法来处理专家信度，甚至可能会出现违反人类直觉的结果[10]。因此，Liu[11]于2007年开创了不确定理论并于2009年进一步完善，Liu的不确定理论为解决期权定价这一问题开辟了一条全新的思路。
另外，Liu[12]在2009年首次将不确定理论运用到金融领域当中，假设股票的价格服从一个微分方程，进而构造出不确定股票模型，并推导出欧式期权的定价公式。在此模型下，Gao等[13]假设股票的价格服从不确定微分方程讨论了4种美式障碍期权的定价问题。在不确定均值回归股票模型下，Tian等[14]探讨了四种欧式障碍期权的定价问题，同时也设计出算法来计算期权的价格。Gao等[15]则是假设股票的价格是一个带跳跃的不确定过程，继而探讨了欧式多资产期权的定价问题。在不确定多因素股票的模型下，徐建强和彭锦[16]将彩虹期权的定价问题分为4种，并推导出相应的期权定价公式。此外，Huang和Wang[17]在不确定均值—机会模型下对期权组合投资进行了分析。
1 基础理论
定义1.[11]假设是非空集合Γ上的σ-代数，每一个事件。若集函数M满足：
3 结语
文章主要讨论分析了在不确定金融环境中美式算术一篮子看涨期权的定价的问题。假设股票价格之间是相互独立的，并且服从对应的不确定微分方程，进而推导出美式算术一篮子看涨期权的定价公式。在以后的研究内容中，可以探讨在不确定金融环境中其他的美式多资产期权以及新型期权的定价问题。
参考文献：
[1]姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M]. 高等教育出版社，2003.
[2]Hanbali H，Linders D. American-type basket option pricing：a simple two-dimensional partial differential equation [J]. Quantitative Finance，2019，19（10）：1689-1704.
[3]马琴. 欧式篮子期权定价研究综述和数值分析[D]. 清华大学，2014.
[4]淡静怡. 双分数布朗运动环境下篮子期权定价[D]. 西安工程大学，2017.
[5]Liang Y，Xu X. Variance and dimension reduction Monte Carlo method for pricing European multi-asset options with stochastic volatilities[J]. Sustainability，2019，11（3）：1-21.
[6]李方琦. 基于深度学习的篮子期权定价数值算法[J]. 山东理工大学学报（自然科学版），2021，35（02）：38-42. [7]张敏，朱晖，蔡秋娥. Heston模型下的欧式一篮子期权定价[J]. 南华大学学报（自然科学版），2015，29（02）：81-83.
[8]Liu B. Fuzzy process，hybrid process and uncertain process[J]. Journal of Uncertain Systems，2008，2（1）：3-16.
[9]Kahneman D，Tversky A. Prospect theory：an analysis of decision under risk[J]. Econometrica，1979，47（2）：263?291.
[10]Liu B. Why is there a need for uncertainty theory？[J]. Journal of Uncertain Systems，2012，6（1）：3-10.
[11]Liu B. Uncertainty theory[M]. 2nd ed. Berlin：Springer-Verlag，2007.
[12]Liu B. Some research problems in uncertainty theory[J]. Journal of Uncertain Systems，2009，3（1）：3-10.
[13]Gao R，Liu K，Li Z，et al. American barrier option pricing formulas for stock model in uncertain environment[J]. IEEE Access，2019，7：97846-97856.
[14]Tian M，Yang X，Zhang Y. Barrier option pricing of mean-reverting stock model in uncertain environment[J]. Mathematics and Computers in Simulation，2019，166：126-143.
[15]Gao Z，Wang X，Ha M，Multi-asset option pricing in an uncertain financial market with jump risk，Journal of Uncertainty Analysis and Applications，2016，4（1）：1-11.
[16]徐建強，彭锦. 不确定环境下彩虹期权定价[J]. 黄冈师范学院学报，2010，30（3）：18-22.
[17]Huang X，Wang X. Portfolio investment with options based on uncertainty theory[J]. International Journal of Information Technology and Decision Making，2019，18（3）：929-952.
[18]Liu B. Uncertain risk analysis and uncertain reliability analysis[J]. Journal of Uncertain Systems，2010，4（3）：163-170.
[19]Liu B. Uncertainty theory：a branch of mathematics for modeling human uncertainty[M]. Berlin：Springer-Verlag，2010.
[20]Yao K，Chen X. A numerical method for solving uncertain differential equations[J]. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2013，25（3）：825-832.
作者简介：
尹晓芳，1995年出生，女，汉族，河北石家庄人，在读硕士，研究方向：期权定价;
封韶波，1995年出生，女，汉族，河北邯郸人，在读硕士;
刘昕鑫，1993年出生，女，汉族，河北唐山人，在读硕士。