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新的教育形势下多方面培养学生的思维能力，日益受到教育工作者的重视。事实上，教育的根本问题是培养学生的能力，而数学能力的核心是数学的思维能力。如何采用各种教学方法，激发学生的学习兴趣，发挥学生的主体作用，培养学生的多种思维能力，是教育的关键所在。下面是笔者培养，发展学生思维能力的一些做法和体会。
一、通过多途径解决问题，培养思维的发散性和广阔性
在教学过程中，不论是概念教学还是解题教学，都要坚持开放式教学，多途径探索。以学生独立活动为主，让学生成为教学过程的主体，使学生在教师的组织下能够逐步地学会独立获得知识，独立发现问题和独立解决问题的能力。
例如：在学习等比数列前n项和公式的推导时，一改由教师推导，学生听讲的传统做法，放手让学生自己去推导。
首先由等比数列的通项公式得出前n项和Sn＝al +al q + alq2＋……alqn-1，然后放手让学生自己去推导。于是，课堂上出现“八仙过海，各显其能”的情境，出入意料的发现下列多种推法。
法一：∵Sn＝al +alq + alq2＋……+alqn-1 ①
∴qSn＝al q + alq2＋……alqn-1+alqn ②
①－②得（l-q ) Sn = al ( 1-qn )
即Sn＝al ( q ≠ l )
法二：∵ Sn＝al +al q + alq2＋……＋alqn-1
＝al + q（al + al q +alq2＋……＋alqn-2）
＝al+ q Sn-1
＝al + q（Sn－an）
∴Sn＝( q ≠ l )
法三： Sn+1＝Sn+ alqn
＝al +（al q +alq2＋……alqn）
＝al+ q Sn
∴Sn＝( q ≠ l )
这样，在多角度的思考中，培养了思维的发散性和广阔性。
在解题教学中，通过对学生适时的启发、点拨，让学生自己思考，寻找解题途径。
例如：已知直线L过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程，经同学们各自的思考和相互的讨论，最后找到了下列五种做法。
设直线L的方程为(a>0, b>0)则
由直线L过点P(1，4)得 ①
法一：由①得从而a>1故a+b＝（a-1）+
+5≥+5=9，当且仅当a-1= ,即a=3(由于a>1)，
时，ａ+ｂ取得最小值９，故直线Ｌ的方程为
。
法二：由由①得
从而a+b＝（a－1）（b－4）+5≥2 +5＝9，下同法一。
法三：设m＝a+b由m＝a+ 整理得a2+（3－m）a+m＝0，因为a>1是实数，所以上述方程的判别式△＝(3－m)2－4m≥0 解之得m≤1或m≥9,又∵m >a>1∴m≥9当ｍ＝９时得ａ＝３故ｂ＝６，下同法一。
这样，抓住典型例题，结合所学知识寻求到多种途径的解法，学生不但在发散思维中寻找到解题的思路，而且开阔了学生的知识视野，拓广了思路，培养了思维的广阔性。
二、巧设“陷阱”，辨析错误，培养思维的深刻性和批判性
例1：已知，求
的取值范围。
这道题目不少学生这样做：
由已知得：
由于学生审题马虎，没有发现此题的隐含条件，事实下，由
从而
学生思维不深刻，主要反映在不能透过纷繁复杂的现象，把握问题本质。因此，在教学中，要培养对命题隐含条件的发掘能力，而且要知其所以然；要经常在辨析错误的过程中，克服思维的片面与绝对化，以培养思维的深刻性。
在教学中，可针对学生易错之处，巧设“陷阱”，引导他们讨论、辨析，以增强他们独立思考，注重推理和对解题的监控能力，从而培养学生的批判性。
三、通过“变式教学”，培养思维的灵活性和创造性
例1：已知函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f (x)在（－∞，0）上是增函数还是减函数？
完成此题解答后，可将题目进行变形：
1.已知函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，f (x)在（－∞，0）上是增函数还是减函数？
2.已知函数f（x）是奇函数，且在（a，b）上是减函数则f（x）在（－b，－a）上是：
A.增函数 B.减函数
C.既是增函数又是减函数 D.既不是增函数又不是减函数
3.若奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数，且最小值为5，则f（x）在区间［－7，－3］上是：
A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－5
这样的系列变式题训练使学生的思维总处于积极状态，通过探索、分析、归纳总结出一般规律：
对于非常函数f（x），若f（x）是奇函数，则在其关于原点对称的区间上f（x）的单调性相同；若f（x）是偶函数，则在其关于原点对称的区间上f（x）的单调性相异。
以上三个方面谈了如何培养学生的思维能力。在教学过程中，要根据教学内容、目标要求和学生水平，恰当地使用各种教学方法，最大限度地培养学生的思维能力，这正是广大教师在教学中一个长期而艰巨的任务。
（作者单位：河南省叶县第三高级中学）
一、通过多途径解决问题，培养思维的发散性和广阔性
在教学过程中，不论是概念教学还是解题教学，都要坚持开放式教学，多途径探索。以学生独立活动为主，让学生成为教学过程的主体，使学生在教师的组织下能够逐步地学会独立获得知识，独立发现问题和独立解决问题的能力。
例如：在学习等比数列前n项和公式的推导时，一改由教师推导，学生听讲的传统做法，放手让学生自己去推导。
首先由等比数列的通项公式得出前n项和Sn＝al +al q + alq2＋……alqn-1，然后放手让学生自己去推导。于是，课堂上出现“八仙过海，各显其能”的情境，出入意料的发现下列多种推法。
法一：∵Sn＝al +alq + alq2＋……+alqn-1 ①
∴qSn＝al q + alq2＋……alqn-1+alqn ②
①－②得（l-q ) Sn = al ( 1-qn )
即Sn＝al ( q ≠ l )
法二：∵ Sn＝al +al q + alq2＋……＋alqn-1
＝al + q（al + al q +alq2＋……＋alqn-2）
＝al+ q Sn-1
＝al + q（Sn－an）
∴Sn＝( q ≠ l )
法三： Sn+1＝Sn+ alqn
＝al +（al q +alq2＋……alqn）
＝al+ q Sn
∴Sn＝( q ≠ l )
这样，在多角度的思考中，培养了思维的发散性和广阔性。
在解题教学中，通过对学生适时的启发、点拨，让学生自己思考，寻找解题途径。
例如：已知直线L过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程，经同学们各自的思考和相互的讨论，最后找到了下列五种做法。
设直线L的方程为(a>0, b>0)则
由直线L过点P(1，4)得 ①
法一：由①得从而a>1故a+b＝（a-1）+
+5≥+5=9，当且仅当a-1= ,即a=3(由于a>1)，
时，ａ+ｂ取得最小值９，故直线Ｌ的方程为
。
法二：由由①得
从而a+b＝（a－1）（b－4）+5≥2 +5＝9，下同法一。
法三：设m＝a+b由m＝a+ 整理得a2+（3－m）a+m＝0，因为a>1是实数，所以上述方程的判别式△＝(3－m)2－4m≥0 解之得m≤1或m≥9,又∵m >a>1∴m≥9当ｍ＝９时得ａ＝３故ｂ＝６，下同法一。
这样，抓住典型例题，结合所学知识寻求到多种途径的解法，学生不但在发散思维中寻找到解题的思路，而且开阔了学生的知识视野，拓广了思路，培养了思维的广阔性。
二、巧设“陷阱”，辨析错误，培养思维的深刻性和批判性
例1：已知，求
的取值范围。
这道题目不少学生这样做：
由已知得：
由于学生审题马虎，没有发现此题的隐含条件，事实下，由
从而
学生思维不深刻，主要反映在不能透过纷繁复杂的现象，把握问题本质。因此，在教学中，要培养对命题隐含条件的发掘能力，而且要知其所以然；要经常在辨析错误的过程中，克服思维的片面与绝对化，以培养思维的深刻性。
在教学中，可针对学生易错之处，巧设“陷阱”，引导他们讨论、辨析，以增强他们独立思考，注重推理和对解题的监控能力，从而培养学生的批判性。
三、通过“变式教学”，培养思维的灵活性和创造性
例1：已知函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f (x)在（－∞，0）上是增函数还是减函数？
完成此题解答后，可将题目进行变形：
1.已知函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，f (x)在（－∞，0）上是增函数还是减函数？
2.已知函数f（x）是奇函数，且在（a，b）上是减函数则f（x）在（－b，－a）上是：
A.增函数 B.减函数
C.既是增函数又是减函数 D.既不是增函数又不是减函数
3.若奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数，且最小值为5，则f（x）在区间［－7，－3］上是：
A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－5
这样的系列变式题训练使学生的思维总处于积极状态，通过探索、分析、归纳总结出一般规律：
对于非常函数f（x），若f（x）是奇函数，则在其关于原点对称的区间上f（x）的单调性相同；若f（x）是偶函数，则在其关于原点对称的区间上f（x）的单调性相异。
以上三个方面谈了如何培养学生的思维能力。在教学过程中，要根据教学内容、目标要求和学生水平，恰当地使用各种教学方法，最大限度地培养学生的思维能力，这正是广大教师在教学中一个长期而艰巨的任务。
（作者单位：河南省叶县第三高级中学）