摘要：该文运用分析学中的Hlder不等式探究了凸体理论中的混合体积，得到混合体积的一个界值估计。
　　关键词：凸体；Hlder不等式；混合体积
　　一、 引言与预备知识
　　分析学、几何学与代数学是数学的三大方向，他们相互映衬，相互渗透。分析学中的Hlder不等式是分析不等式中的基本不等式（参见[1]），它在代数学、几何学中占有重要作用。该文将运Hlder不等式去探索凸体理论中几何量之间的关系。凸体理论是研究凸体及星体的理论，其中最重要之一为Brunn Minkowski理论，该理论由经典Brunn Minkowski理论经LpBrunn Minkowski理论到现今的Orlicz Brunn Minkowski理论，已取得丰硕的成果。
　　如Minkowski不等式，Brunn Minkowski不等式，Log Brunn Minkowski不等式等吸引了无数中外数学研究者，如Brunn、Minkowski、Alexandrov、Lutwak、张高勇等（参见[2-3]）。
　　设K为欧氏空间Rn中的点集，若对λ∈[0，1]与x，y∈K，都有λx （1-λ）y∈K，则称K为凸集。若K为具有非空内点的紧凸集，则称K为凸体。用Kn表示Rn中凸体之集，Kn0表示Rn中以原点为其内点的凸体之集合，B表示Rn中的单位球。
　　若K∈Kn，其支持函数hK（·）为hK（u）=max{x·u：x∈K}，u∈Sn-1，其中Sn-1为Rn中的n-1维单位球面。若K，L∈Kn，存在x∈Rn，λ∈R ，有K=x λL，称K与L位似。
　　若K∈Kn，则K的体积V（K）为V（K）=1n∫Sn-1hK（u）dS（K，u），其中dS（K，u）为K在u方向上的面积微元。
　　对K，L∈Kn，λ，μ≥0（不同时为0），K与L的Minkowski线性组合λK μL由hλK μL（u）=λhK（u） μhL（u）确定。
　　若K，L∈Kn，则K与L的一阶混合体积V1（K，L）定义为
　　V1（K，L）=1nlimσ→0 V（K σ·L）-V（K）σ
　　=1n∫Sn-1hL（u）dS（K，u）
　　著名的Minkowski不等式为V1（K，L）≥V（K）n-1nV（L）1n。
　　若K∈Kn，则K的i（0≤i≤n-1）阶均质积分Wi（K）=1n∫Sn-1hK（u）dSi（K，u），当i=0时，W0（K）=V（K），当i=n-1时，Wn-1（K）=B（K）为宽度积分。
　　若K，L∈Kn，则K与L的i阶混合均质积分Wi（K，L）=1n∫Sn-1hL（u）dSi（K，u），当i=0时，W0（K，L）=V1（K，L），当i=n-1时，Wn-1（K，L）=B（L）。
　　文中研究的log Brunn Minkowski不等式内容之一为：
　　命题若K，L∈K20，且关于原点对称，则∫S1hKloghLhKdS（K，u）≥V（K）logV（L）V（K）。
　　文中不仅给出命题的新证明方法，还做出如下猜测：若K，L∈Kn0且关于原点对称，则∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nV（K）V1（K，L）V（L）。该文探究积分∫Sn-1h2KhLdSi（K，u），并给出了一个界值估计，即得
　　定理若K，L∈Kn，c（K，L）为关于K与L的几何量，则
　　nWi（K）2Wi（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）≤nc（K，L）Wi（K）2Wi（K，L）
　　定理证明及推论
　　为得到定理，还需要Hlder不等式与逆的Hlder不等式作为辅助工具。现先对几个数作简记
　　C（p1，p2）（x，y）=xp1 yp2x
　　1p1y1p2，1p1 1p2=1，（p1>1），
　　Xi=‖fi（x）‖pipi=∫Xfi（x）pidx1pi（i=1，2）。
　　引理1设fi（x）（i=1，2）为可测闭集X上非负连续函数。若fi（x）pi可积，且1p1 1p2=1（p1>1），则‖∏2i=1fi（x）‖1≤∏2i=1‖fi（x）‖pi。
　　引理2设fi（x）（i=1，2）为可测闭集X上满足01），则∏2i=1‖fi（x）‖pi≤T（p1，p2）（mi，Mi，Xi）‖∏2i=1fi（x）‖1。
　　现运用引理1与引理2来给出定理的证明。
　　证明由hK=h2KhL12·h12L及引理1得
　　W2i（K）=1n∫Sn-1hKdSi（K，u）2
　　=1n∫Sn-1h2KhL12·hL12dSi（K，u）2
　　≤1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·1n∫Sn-1hLdSi（K，u）
　　=1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）
　　即得nWi（K）2Wi（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）。
　　由1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）=1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·1n∫Sn-1hLdSi（K，u）及引理2得
　　1n∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）·Wi（K，L）≤c（K，L）1n∫Sn-1h2KhL12h12LdSi（K，u）2=c（K，L）W2i（K）即得∫Sn-1h2KhLdSi（K，u）≤nc（K，L）Wi（K）2Wi（K，L），从而定理得证。
　　特别地，当定理中i=0时，结合W0（K）=V（K），W0（K，L）=V1（K，L），即得
　　推论1若K，L∈Kn，c（K，L）同上，则nV（K）2V1（K，L）≤∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nc（K，L）V（K）2V1（K，L）。
　　由推论1及Minkowski不等式可得
　　推论2若K，L∈Kn，c（K，L）同上，则
　　∫Sn-1h2KhLdS（K，u）≤nc（K，L）V（K）1 nnV（L）1n。
　　参考文献：
　　[1]HARDY G，LITTLEWOOD J，POLYA G. Inequalities[M].New York： Cambridge Univ. Press，1952.
　　[2]BOROCZKY K，LUTWAK E，YANG D，ZHANG G. The log Brunn Minkowski inequality[J].Adv. Math.： 2012，231： 1974-1997.
　　[3]SCHNEIDER R. Convex Bodies： The Brunn Minkowski Theory（second expanded edition）[M].New York： Cambridge Univ. Press，2014.
　　作者簡介：吴笑雪，杨林，贵州省铜仁市，铜仁职业技术学院信息工程学院。