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【摘要】概率论与数理统计是数学类相关专业的一门基础学科，在数学建模中有着广泛的运用.在概率论与数理统计的学习过程中我们需要加入实际的例子来进行研究分析，以数学模型的方式进行学习.可见，概率论与数理统计及数学建模的学习应用是相辅相成的.基于此，本文将浅谈概率论与数理统计在数学建模中的应用和在概率论与数理统计学习中应用数学建模思想及其具体实践.
【关键词】概率论与数理统计;数学学习;建模思想;数学建模
引 言
概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门学科.随着信息技术的进步，很多学科都建立起了自己的数据库，这样概率论与统计学科在其中所发挥的作用就显得更为重要了.经过不断尝试与探索，我们发现数学建模思想如果能够灵活地运用到概率论与数理统计的学习中，将会有意想不到的效果，并且在数学建模过程中概率论与数理统计也能很好地被运用.针对这两个问题，本文将浅谈概率论与数理统计在数学建模中的应用和在概率论与数理统计学习中应用数学建模思想及其具体实践.
一、概率论与数学建模的定义及其作用
概率统计是指通过收集生活中的大量实际现象，用结果分析、猜测，对我们的生活起着十分重要的作用.比如对未来天气的预测就是基于大量的数据统计得出的，另外，在金融经济中，对股票升降的预测也是通过大量的数据来进行猜测的，其在我们的生活中应用得十分广泛.而建模思想是我们数学学习中一种重要的学习方法，主要是通过对问题的分析还原，找到问题的本质，然后再模拟出一个相同的模型，通过对模型的分析研究，类比到实际问题中，解决实际问题.它具有将复杂的问题简单化，降低我们在学习过程中的难度的作用.但是，无论是概率论与数理统计的学习，还是建模思想的运用都具有许多困难，我们想要真正地把二者结合起来是十分困难的，还需要进行很长时间的探索，不断地改进建模方式，完善学习方式.
二、概率论与数理统计在数学建模中的运用
对于生活中的实际问题的解决，我们往往要对该问题进行数学建模，而概率论与数理统计在数学建模中有着广泛的运用，如分析处理数据，对模型做预测和解决决策问题等.
（一）概率论在数学建模中的运用
概率论的知识在数学建模中有着广泛的运用，如非常经典的报童卖报问题，报童早上以a元/份购进报纸，白天以b元/份零售给顾客，晚上将没有卖出的报纸以c元/份退回.若报童不知这一天的顾客数量，购进太多报纸，卖不完會赔钱，购进太少，不够卖会少挣钱.报童要怎么对购进的报纸数量做出决策呢？这时我们就可以运用概率论的知识建立数学模型，即概率模型，对销售额做出预测，找到使得销售额最大的报纸数量，从而做出购进报纸数量的决策.可见，概率模型可以有效地解决这一类决策问题，同时，概率模型体现了概率论在数学建模中的运用，并能很好地解决实际问题.
（二）数理统计在数学建模中的运用
数理统计是一门以概率论为基础的应用学科，当面对数以万计的数据时，人们往往希望通过少数的样本包含的相关信息来反映样本总体的规律.当面对大量数据时，我们往往可以通过概率论与数理统计的知识来建立数学模型，从而解决实际问题.在常用的数学模型中，有许多都体现了数理统计在数学建模中的应用，如参数估计、假设检验和运用回归分析对数据做预测等.
三、数学建模思想在概率论与数理统计中的运用
（一）引导学生建立建模思维
针对如何改进“学习难”的问题，我们从学生的角度去看，又会有不同的看法.学生认为概率论与统计的老师在教学中最主要的任务就是引导他们建立出有关概率的最基本的知识点——不确定、随机性，然后再向他们介绍数学建模的操作方式及具体作用，让他们对这两个概念有一定的认识，这样他们才能更好地运用它们.从我们自身的教学感受上来看，我们认为有必要重新考虑当前高校“概率论与数理统计”课程的学习内容，应导入目前较为热门的、与之相关的科学技术、方法和概率统计学的实际应用问题，使传统的学习方式与现代的先进技术相结合，促使学习方式具有突破性的改变.同时，我们还可以在常规的教学任务中加入一些反映当前社会热点的各种实际问题，如社会中的股票升降问题，估计一种新产品在上市后的销售情况，工程上的质量评估报告分析，社会学中人民群众对艾滋病的了解程度的社会调查报告，某服装厂上个季度与这个季度销售额的对比分析及存在的问题等，使学生从本质上对用建模思想解决实际问题有更为直观的认识，对数学建模产生极其浓厚的兴趣，从而改变原先被动地接受灌输知识的学习状态，主动地去学习新知识，温习旧知识.
（二）加强建模思想的运用
如何让学生在课堂的学习中达到最大效率？我们认为应该让学生抛弃“完全听讲”的学习方法，而是采取联想、启发等方式，真正体会建模思想在概率论与统计学中的作用，提高学生的学习兴趣，从根本上解决学生不爱学，不想学的问题.我们想要真正地提升学生的学习效率，就要深入学生当中，了解学生的真实想法，再根据学生的想法进行备课，具有针对性地解决问题.另外，在如今教育改革的要求下，我们需要对学习课堂进行创新.将建模思想应用到概率论与统计学的学习中，就十分鲜明地体现出了这个特点.当然，如何运用好建模思想，是我们应该好好考虑的问题，学生也应该自己主动配合老师的工作，共同建立起良好的课堂氛围，把建模思想真正运用起来.这时，我们需要把教材中所呈现的例子还原、分解，用最原始的思路去考虑问题，把困难的问题简单化，用虚拟的方式建立一个简单的数学模型，通过模型分析，找出我们所需要的内容，再还原到例子中，看是否符合我们的具体需要.
例如在讲解《二项分布》这一章节时，我们可以先通过电脑互联网找到一个实际生活中的具体问题，再模拟出一个类似的模型，接着运用归纳类比的方法，得出这样一个结论：小球被投出5000次后的落点分布的集散程度与二项分布在理想条件下的图形是有点类似的，这既让学生从中明白了二项分布是如何产生的，又让学生明白了如何用已知的、明确的实际问题去检验处于猜想中的、理论的模型，同时使学生加深了对“频率近似于概率”这一知识点的认知，了解了如何用计算机去模拟实际问题，建立模型的方法.又如在讲解正态分布时，我们需要先提出问题：“为什么我们需要假设我们的研究对象服从正态分布呢？是因为这样才能建立模型吗？为什么可以这样假设呢？”然后我们向学生介绍此定理，主要是介绍该定理在社会生活中的实际运用情况.另外，我们还可以通过计算机功能，来模拟某个正态分布的具体延展，加强学生对数学模型的思考，也培养了学生的数学建模思维.我们还认为，对统计与概率学知识的讲授，不应该仅仅只是以传播知识为目的，还应注意对知识的拓展与延伸，注意对学生思维的培养，解除学生思想上的束缚，让学生可以用创新型的思维来思考问题.例如，事件问题中有关事件的独立性和互斥性是两个完全不同的概念，我们在上课的时候要着重地讲这一点，直到学生都能分清，更需要采用严格证明和举实际例子来说明，以确保在知识点传授中学生对知识认知的完整性与紧密性.总而言之，在课堂上，教师采用诱导式的方法来教学，不仅能培养学生积极的思维，还能以一种全新的方式改变学生的学习态度，使学生养成自主学习的良好习惯，从根本上提高学生独立进行问题的研究分析，以及自己利用建模方式解决实际问题的能力. （三） 加强实践性学习环节
针对学生在学习过程中缺乏实践活动的问题，我们要加强对实际问题的引进，同时引导学生积极采用建模的思想去解决实际生活中的问题.我们加入具体的实践性较强的案例，让学生自身去领悟建模的整个过程，即从最基本的问题还原做起，然后分析问题，建立一个相对简单的模型，对模型进行分析，统计研究数据，得出结论，最后再验证结果是否符合需求.原则上，整个过程都应该由学生独立完成，遇到确实无法解决的问题时再寻求老师的帮助.我们有理由相信，在这样结合实际的学习方式下，学生对建模思想的领悟程度会有质的变化，同时也让学生对建模过程有了一个更为完整的了解，这为学生以后进行相关的科学研究或者社会调查时运用概率与统计的知识，打下了一个可靠的基础，同时对学生建模思想的培养也有了一个全面的发散性，对提升学生自身的素质具有重要作用.
（四）建立开放的考核方式
在当前大学的学习制度中，期末考试是检验一个学生是否认真学习的重要方式，它从侧面反映出了学生在整个学习过程中的学习效率及学习的认真度.其对任何一个学科都具有非常重要的作用，对数学的学习也是不可缺少的一个环节.在当今的教育下，考核制度一般由两个部分组成：闭卷考和形成性考核.形成性考核主要是指学生在一个学期中的学习情况，包括考勤情况、日常作业、课堂回答问题的情况等等，其考核结果占到总成绩的五分之二.而闭卷考占总成绩的五分之三.在这样一个基本现状下，我们希望学校可以放宽考核力度，建立更为灵活和开放的考核制度，主要是加大日常作业的比重，同时加大日常作业的开放性，增加学生课外的实践作业.当然，对于概率与统计学，我们可以开展难度更大的社会调查任务，要求学生通过统计分析的方式做出报告，最后的考核也可以依据学生的社会调查来给予评价，给出分数，作为学生形成性考核的结果.这样的方式更能激发学生的学习热情，相信学生都会更加重视、更加认真地完成社会调查，同时，还可以培养学生认真做事，不骄不躁的品格.
结束语
综上所述，我们将建模思想应用到概率论与数理统计的教学中，可以激发学生学习的主动性，培养学生独立完成任务的好習惯，这对提高学生学习质量有着重要的意义，并且将概率论与数理统计的知识运用在数学建模中，有利于解决实际问题.同时，建模思想的运用也对我们提出了更高的要求，要求我们对问题的分析研究等要更加细致认真，对学生的关注度更高，与学生的联系更加紧密.总之，数学建模思想的发展是远大的，更是艰难的，需要老师与学生一起努力.
【参考文献】
[1]杨静，杨新木，许峰，李德权.大数据背景下《概率论与数理统计》课程改革探索[J].浙江水利水电学院学报，2020（04）：93-96.
[2]张琳珠.数学建模教学的三种境界[J].江西教育，2020（30）：54.
[3]王晓峰，李庆玉，谭婕，等.应用型高校概率论与数理统计教学改革与实践——以重庆科技学院为例[J].重庆科技学院学报（社会科学版），2020（05）：106-108.
【关键词】概率论与数理统计;数学学习;建模思想;数学建模
引 言
概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的一门学科.随着信息技术的进步，很多学科都建立起了自己的数据库，这样概率论与统计学科在其中所发挥的作用就显得更为重要了.经过不断尝试与探索，我们发现数学建模思想如果能够灵活地运用到概率论与数理统计的学习中，将会有意想不到的效果，并且在数学建模过程中概率论与数理统计也能很好地被运用.针对这两个问题，本文将浅谈概率论与数理统计在数学建模中的应用和在概率论与数理统计学习中应用数学建模思想及其具体实践.
一、概率论与数学建模的定义及其作用
概率统计是指通过收集生活中的大量实际现象，用结果分析、猜测，对我们的生活起着十分重要的作用.比如对未来天气的预测就是基于大量的数据统计得出的，另外，在金融经济中，对股票升降的预测也是通过大量的数据来进行猜测的，其在我们的生活中应用得十分广泛.而建模思想是我们数学学习中一种重要的学习方法，主要是通过对问题的分析还原，找到问题的本质，然后再模拟出一个相同的模型，通过对模型的分析研究，类比到实际问题中，解决实际问题.它具有将复杂的问题简单化，降低我们在学习过程中的难度的作用.但是，无论是概率论与数理统计的学习，还是建模思想的运用都具有许多困难，我们想要真正地把二者结合起来是十分困难的，还需要进行很长时间的探索，不断地改进建模方式，完善学习方式.
二、概率论与数理统计在数学建模中的运用
对于生活中的实际问题的解决，我们往往要对该问题进行数学建模，而概率论与数理统计在数学建模中有着广泛的运用，如分析处理数据，对模型做预测和解决决策问题等.
（一）概率论在数学建模中的运用
概率论的知识在数学建模中有着广泛的运用，如非常经典的报童卖报问题，报童早上以a元/份购进报纸，白天以b元/份零售给顾客，晚上将没有卖出的报纸以c元/份退回.若报童不知这一天的顾客数量，购进太多报纸，卖不完會赔钱，购进太少，不够卖会少挣钱.报童要怎么对购进的报纸数量做出决策呢？这时我们就可以运用概率论的知识建立数学模型，即概率模型，对销售额做出预测，找到使得销售额最大的报纸数量，从而做出购进报纸数量的决策.可见，概率模型可以有效地解决这一类决策问题，同时，概率模型体现了概率论在数学建模中的运用，并能很好地解决实际问题.
（二）数理统计在数学建模中的运用
数理统计是一门以概率论为基础的应用学科，当面对数以万计的数据时，人们往往希望通过少数的样本包含的相关信息来反映样本总体的规律.当面对大量数据时，我们往往可以通过概率论与数理统计的知识来建立数学模型，从而解决实际问题.在常用的数学模型中，有许多都体现了数理统计在数学建模中的应用，如参数估计、假设检验和运用回归分析对数据做预测等.
三、数学建模思想在概率论与数理统计中的运用
（一）引导学生建立建模思维
针对如何改进“学习难”的问题，我们从学生的角度去看，又会有不同的看法.学生认为概率论与统计的老师在教学中最主要的任务就是引导他们建立出有关概率的最基本的知识点——不确定、随机性，然后再向他们介绍数学建模的操作方式及具体作用，让他们对这两个概念有一定的认识，这样他们才能更好地运用它们.从我们自身的教学感受上来看，我们认为有必要重新考虑当前高校“概率论与数理统计”课程的学习内容，应导入目前较为热门的、与之相关的科学技术、方法和概率统计学的实际应用问题，使传统的学习方式与现代的先进技术相结合，促使学习方式具有突破性的改变.同时，我们还可以在常规的教学任务中加入一些反映当前社会热点的各种实际问题，如社会中的股票升降问题，估计一种新产品在上市后的销售情况，工程上的质量评估报告分析，社会学中人民群众对艾滋病的了解程度的社会调查报告，某服装厂上个季度与这个季度销售额的对比分析及存在的问题等，使学生从本质上对用建模思想解决实际问题有更为直观的认识，对数学建模产生极其浓厚的兴趣，从而改变原先被动地接受灌输知识的学习状态，主动地去学习新知识，温习旧知识.
（二）加强建模思想的运用
如何让学生在课堂的学习中达到最大效率？我们认为应该让学生抛弃“完全听讲”的学习方法，而是采取联想、启发等方式，真正体会建模思想在概率论与统计学中的作用，提高学生的学习兴趣，从根本上解决学生不爱学，不想学的问题.我们想要真正地提升学生的学习效率，就要深入学生当中，了解学生的真实想法，再根据学生的想法进行备课，具有针对性地解决问题.另外，在如今教育改革的要求下，我们需要对学习课堂进行创新.将建模思想应用到概率论与统计学的学习中，就十分鲜明地体现出了这个特点.当然，如何运用好建模思想，是我们应该好好考虑的问题，学生也应该自己主动配合老师的工作，共同建立起良好的课堂氛围，把建模思想真正运用起来.这时，我们需要把教材中所呈现的例子还原、分解，用最原始的思路去考虑问题，把困难的问题简单化，用虚拟的方式建立一个简单的数学模型，通过模型分析，找出我们所需要的内容，再还原到例子中，看是否符合我们的具体需要.
例如在讲解《二项分布》这一章节时，我们可以先通过电脑互联网找到一个实际生活中的具体问题，再模拟出一个类似的模型，接着运用归纳类比的方法，得出这样一个结论：小球被投出5000次后的落点分布的集散程度与二项分布在理想条件下的图形是有点类似的，这既让学生从中明白了二项分布是如何产生的，又让学生明白了如何用已知的、明确的实际问题去检验处于猜想中的、理论的模型，同时使学生加深了对“频率近似于概率”这一知识点的认知，了解了如何用计算机去模拟实际问题，建立模型的方法.又如在讲解正态分布时，我们需要先提出问题：“为什么我们需要假设我们的研究对象服从正态分布呢？是因为这样才能建立模型吗？为什么可以这样假设呢？”然后我们向学生介绍此定理，主要是介绍该定理在社会生活中的实际运用情况.另外，我们还可以通过计算机功能，来模拟某个正态分布的具体延展，加强学生对数学模型的思考，也培养了学生的数学建模思维.我们还认为，对统计与概率学知识的讲授，不应该仅仅只是以传播知识为目的，还应注意对知识的拓展与延伸，注意对学生思维的培养，解除学生思想上的束缚，让学生可以用创新型的思维来思考问题.例如，事件问题中有关事件的独立性和互斥性是两个完全不同的概念，我们在上课的时候要着重地讲这一点，直到学生都能分清，更需要采用严格证明和举实际例子来说明，以确保在知识点传授中学生对知识认知的完整性与紧密性.总而言之，在课堂上，教师采用诱导式的方法来教学，不仅能培养学生积极的思维，还能以一种全新的方式改变学生的学习态度，使学生养成自主学习的良好习惯，从根本上提高学生独立进行问题的研究分析，以及自己利用建模方式解决实际问题的能力. （三） 加强实践性学习环节
针对学生在学习过程中缺乏实践活动的问题，我们要加强对实际问题的引进，同时引导学生积极采用建模的思想去解决实际生活中的问题.我们加入具体的实践性较强的案例，让学生自身去领悟建模的整个过程，即从最基本的问题还原做起，然后分析问题，建立一个相对简单的模型，对模型进行分析，统计研究数据，得出结论，最后再验证结果是否符合需求.原则上，整个过程都应该由学生独立完成，遇到确实无法解决的问题时再寻求老师的帮助.我们有理由相信，在这样结合实际的学习方式下，学生对建模思想的领悟程度会有质的变化，同时也让学生对建模过程有了一个更为完整的了解，这为学生以后进行相关的科学研究或者社会调查时运用概率与统计的知识，打下了一个可靠的基础，同时对学生建模思想的培养也有了一个全面的发散性，对提升学生自身的素质具有重要作用.
（四）建立开放的考核方式
在当前大学的学习制度中，期末考试是检验一个学生是否认真学习的重要方式，它从侧面反映出了学生在整个学习过程中的学习效率及学习的认真度.其对任何一个学科都具有非常重要的作用，对数学的学习也是不可缺少的一个环节.在当今的教育下，考核制度一般由两个部分组成：闭卷考和形成性考核.形成性考核主要是指学生在一个学期中的学习情况，包括考勤情况、日常作业、课堂回答问题的情况等等，其考核结果占到总成绩的五分之二.而闭卷考占总成绩的五分之三.在这样一个基本现状下，我们希望学校可以放宽考核力度，建立更为灵活和开放的考核制度，主要是加大日常作业的比重，同时加大日常作业的开放性，增加学生课外的实践作业.当然，对于概率与统计学，我们可以开展难度更大的社会调查任务，要求学生通过统计分析的方式做出报告，最后的考核也可以依据学生的社会调查来给予评价，给出分数，作为学生形成性考核的结果.这样的方式更能激发学生的学习热情，相信学生都会更加重视、更加认真地完成社会调查，同时，还可以培养学生认真做事，不骄不躁的品格.
结束语
综上所述，我们将建模思想应用到概率论与数理统计的教学中，可以激发学生学习的主动性，培养学生独立完成任务的好習惯，这对提高学生学习质量有着重要的意义，并且将概率论与数理统计的知识运用在数学建模中，有利于解决实际问题.同时，建模思想的运用也对我们提出了更高的要求，要求我们对问题的分析研究等要更加细致认真，对学生的关注度更高，与学生的联系更加紧密.总之，数学建模思想的发展是远大的，更是艰难的，需要老师与学生一起努力.
【参考文献】
[1]杨静，杨新木，许峰，李德权.大数据背景下《概率论与数理统计》课程改革探索[J].浙江水利水电学院学报，2020（04）：93-96.
[2]张琳珠.数学建模教学的三种境界[J].江西教育，2020（30）：54.
[3]王晓峰，李庆玉，谭婕，等.应用型高校概率论与数理统计教学改革与实践——以重庆科技学院为例[J].重庆科技学院学报（社会科学版），2020（05）：106-108.