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【摘要】为什么要培养学生的推理能力；数学尤其是几何学习对发展推理能力的影响；怎样在教学活动中进一步培养学生的推理与证明能力。
【关键词】几何推理与证明；数学能力的培养Discuss how to develop the students’ ability of reasoning and proof——In geometry teaching， for example
Hu Lili
【Abstract】Why do you want to cultivate the students’ reasoning ability； Mathematics especially geometry learning’s influence on the development of reasoning； How to further develop the students’ reasoning in teaching activities and proof ability.
【Key words】Geometric reasoning and proof； The cultivation of mathematical ability
1 培养学生的推理与证明能力的重要性
人们在长期实践中积累了十分丰富的知识，但这些知识大都是粗浅的、直观的、经验性的和零散的，而直观的、经验性的知识可能不一定正确。例如，人们常会“看走了眼”：眼睛所看见的大地是静止的、平的，而实际上地球是运动的、圆的；对于同一个事件或事实，立场不同的人可以得出完全不同的结论。为此，人们要学会推理与证明。
推理的教育价值，对从事科学研究是相当有用的。初中阶段，今后学生无论是在高中学数学，还是学物理、学化学，甚至到大学的学习，推理的作用都是基础性的、奠基的思维训练。如果仅仅对学生接受进一步的教育，比如说为他读高中、读大学有用的话，那么推理的教育价值是有限的。推理最基本的作用是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。例如：我们要买一批计算机，怎么起草一个报告，怎么去说服领导，同意我们的要求，推理在这里很起作用。你为什么要买这些计算机？它的用途是什么？你要把依据说得清清楚楚，要说服别人。要说服别人，你的推理就要合逻辑，要尽量地无懈可击，才让人觉得你的要求是合理的。中学几何就是这样，要有依据，要有结果；要有因为，要有所以；由因为怎么到所以，就是一个推理过程；有时是归纳的，有时是演绎的；通过经验的，逻辑的，把依据的条件和结论之间用逻辑的链条联系起来。立一个项，买一批电脑是这样，在市场里要申请一个摊位，也要言之有据，有条理，说服工商部门的人。所以，做许多事情都离不开推理。中学阶段一方面是为学生继续教育提供一个思维训练方面的准备，另一方面要为学生将来的发展做准备。言之有据，合乎条理地去思考问题，做出行为决策。推理能力是很重要的。它和学生的生活、职业密切相关。搞清楚了这个问题，学生学习积极性就有了。
学校教育中将对人的推理与证明能力培养的重任交付给数学教学。而且，长期以来，数学教学中主要通过几何教学来实现对学生的思维能力的培养。而这里所谓的思维能力主要指逻辑思维能力，即推理与证明的能力。由于欧几里得的几何《原本》，是用公理法建立起的演绎法的科学典范。因此，有学者称“培养逻辑思维与形成演绎体系似乎是几何的特权” 。 事实上，长期以来，中学生数学能力发展水平的一个关键的转折点，或者说是划分学生是否具有数学天赋的一个分水岭，就是初中的几何学习。多少年来，有多少人，就是因为对几何产生了浓厚的兴趣，而激发了他们的数学天赋。同时，又有多少人，由于在几何学习上的失败，导致了终身对数学科学，甚至对整个自然科学的望而生畏。
2 怎样在数学教学中培养学生的推理与证明能力
数学课程标准中，对学生推理证明的要求是：首先，数学课程要考虑数学的特色。其次，它要培养人的能力。从数学的特点来说，它在培养人的科学推理和创新思维方面，具有特殊的作用。再次，从课程设计的角度看，教育是为培养人，是为未来服务的。课程设计要满足学生未来生活、工作、学习的需要。数学课程既要使学生具备必需的数学基础知识和基本技能，同时要发展学生的思维和能力，主要是发展学生的抽象思维和推理能力.因此看来，新课程标准只是降低了几何证明的难度和表述的形式化要求，但是对学生的逻辑思维和实践能力的培养却有了更高的要求。我们更应该进一步培养学生在推理与证明能力。在教学实践活动中，我认为：
2.1 培养几何的推理与证明能力：首先要引导学生过好“翻译关”（三种语言：文字语言、图形语言、几何语言互译），中学教材涉及到的定义、定理、公理是非常之多的，而这些也正是学好推理证明的基础，因此在教学中教师要准确地把握每一个概念中的要点，引导学生学会咬文嚼字、逐字推敲去把握关键字眼帮助理解，教会学生自学的本领。学会用几何语言进行简单推理填空学习了概念，突破了语言障碍关后，紧接着我采用填空形式用几何语言进行简单说理，强调文、图、式三者的互译和统一。这是从概念走向推理的基本方法。
2.2 要善于培养学生循基本图形解决问题的能力。每一个概念都会涉及到一个图形，以及我们在实践中都会遇到一些重要图形，我们暂且称它们为基本图形，可以说每个复杂的图形都是由这些基本图形构建而成的，比如四边形（矩形、菱形、正方形、梯形）是由三角形组合而成的，而这些正是分析解决复杂图形的突破口之所在，在分析时才有可能把这些复杂图形分解成若干个基本图形，用基本图形的基本结论帮助我们冲突难点进而解决问题。
2.3 在推理活动中突出几何直观帮助思考。以勾股定理的证明为例，没人去追求勾股定理的证明不是逻辑证明。勾股定理的证明已经国际化了，就是不管哪个国家现在都是采取拼图割补的方法来证明。那么，其他的一些借助直观的想法、思路的证明也应该是一样的。推理和直观不能完全对立起来。直观不能替代推理，推理有时完全建立在直观的基础上。直观能启发推理，直观的过程中可能也有推理。这一点不仅局限在几何中，代数和其他的数学内容中也都有推理。比如代数里的列方程解决行程问题，在教学中，教师或者学生在思考的时候，经常画出一个示意图来，用一条线代表一段路程等，这个示意图就是一个直观的模型。
2.4 在学习过程中培养学生良好的解题习惯。例如在做几何证明题时，首先，要求学生认真审题后，用铅笔将已知条件在图形上用不同的记号或标志标出来；并逐一分析每一句话里所隐含的已知条件，根据结论筛选出其中有用的条件，最后达到建立已知和未知联系的目的。如证明两个三角形相似，已知条件中若与三角形的边角都有关，那么我们自然可以考虑用“两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一方法来推理。难度稍大的推理与证明，在前面的基础上合理并大胆猜想，进行演绎推理。如证明“梯形两条对角线中点的连线等于下底减上底的一半”这一命题时，可以与所学的三角形的中位线联系起来，大胆假设它是某个三角形的中位线，于是可以作出辅助线，连接梯形上底一顶点与一中点并延长，与下底相交。这样可以很轻易证明这个结论。
2.5 信息技术可以成为激发学生数学学习兴趣的金钥匙。有写学生认为学习数学是一件很枯燥的事情，如果能有效地运用网络等信息技术手段将能增强学生的的学习兴趣，使学生乐于去了解数学，学习数学。比如在教学《轴对称图形》时，教师带领学生一起进入轴对称图形的专题数学网站，那里有轴对称的建筑物、植物、动物、工具及各种漂亮的剪纸、窗花等，学生被这些信息所吸引，不仅对轴对称图形有了感性认识，而且对他产生了进一步探究的欲望。
2.6 实验几何内容的增加可以提高学生的学习积极性。因为它更贴近学生的日常生活经验；同时降低了几何学逻辑严谨性的要求，使不同智力水平的学生，都可以从数学活动中获益；而且通过活动掌握空间性质，更易于培养学生的观察能力、实验能力、归纳类比，以及创造力等明显的长处日益受到重视。
总之，培养学生推理与证明能力需要做为教师的我们教会学生“点石成金”方法，才更具有现实意义。
参考文献
[1] [荷兰]弗赖登塔尔著陈昌平等译（1995）：作为教育任务的数学.上海：上海教育出版社，277页
[2] “几何——最古老的数学理论，它在多少世纪里是一种对人类逻辑思维训练的主要方法”.Robert Morris编（1988）：几何教学.北京：人民教育出版社，29页
【关键词】几何推理与证明；数学能力的培养Discuss how to develop the students’ ability of reasoning and proof——In geometry teaching， for example
Hu Lili
【Abstract】Why do you want to cultivate the students’ reasoning ability； Mathematics especially geometry learning’s influence on the development of reasoning； How to further develop the students’ reasoning in teaching activities and proof ability.
【Key words】Geometric reasoning and proof； The cultivation of mathematical ability
1 培养学生的推理与证明能力的重要性
人们在长期实践中积累了十分丰富的知识，但这些知识大都是粗浅的、直观的、经验性的和零散的，而直观的、经验性的知识可能不一定正确。例如，人们常会“看走了眼”：眼睛所看见的大地是静止的、平的，而实际上地球是运动的、圆的；对于同一个事件或事实，立场不同的人可以得出完全不同的结论。为此，人们要学会推理与证明。
推理的教育价值，对从事科学研究是相当有用的。初中阶段，今后学生无论是在高中学数学，还是学物理、学化学，甚至到大学的学习，推理的作用都是基础性的、奠基的思维训练。如果仅仅对学生接受进一步的教育，比如说为他读高中、读大学有用的话，那么推理的教育价值是有限的。推理最基本的作用是与学生未来的生活、工作、职业密切相关的。例如：我们要买一批计算机，怎么起草一个报告，怎么去说服领导，同意我们的要求，推理在这里很起作用。你为什么要买这些计算机？它的用途是什么？你要把依据说得清清楚楚，要说服别人。要说服别人，你的推理就要合逻辑，要尽量地无懈可击，才让人觉得你的要求是合理的。中学几何就是这样，要有依据，要有结果；要有因为，要有所以；由因为怎么到所以，就是一个推理过程；有时是归纳的，有时是演绎的；通过经验的，逻辑的，把依据的条件和结论之间用逻辑的链条联系起来。立一个项，买一批电脑是这样，在市场里要申请一个摊位，也要言之有据，有条理，说服工商部门的人。所以，做许多事情都离不开推理。中学阶段一方面是为学生继续教育提供一个思维训练方面的准备，另一方面要为学生将来的发展做准备。言之有据，合乎条理地去思考问题，做出行为决策。推理能力是很重要的。它和学生的生活、职业密切相关。搞清楚了这个问题，学生学习积极性就有了。
学校教育中将对人的推理与证明能力培养的重任交付给数学教学。而且，长期以来，数学教学中主要通过几何教学来实现对学生的思维能力的培养。而这里所谓的思维能力主要指逻辑思维能力，即推理与证明的能力。由于欧几里得的几何《原本》，是用公理法建立起的演绎法的科学典范。因此，有学者称“培养逻辑思维与形成演绎体系似乎是几何的特权” 。 事实上，长期以来，中学生数学能力发展水平的一个关键的转折点，或者说是划分学生是否具有数学天赋的一个分水岭，就是初中的几何学习。多少年来，有多少人，就是因为对几何产生了浓厚的兴趣，而激发了他们的数学天赋。同时，又有多少人，由于在几何学习上的失败，导致了终身对数学科学，甚至对整个自然科学的望而生畏。
2 怎样在数学教学中培养学生的推理与证明能力
数学课程标准中，对学生推理证明的要求是：首先，数学课程要考虑数学的特色。其次，它要培养人的能力。从数学的特点来说，它在培养人的科学推理和创新思维方面，具有特殊的作用。再次，从课程设计的角度看，教育是为培养人，是为未来服务的。课程设计要满足学生未来生活、工作、学习的需要。数学课程既要使学生具备必需的数学基础知识和基本技能，同时要发展学生的思维和能力，主要是发展学生的抽象思维和推理能力.因此看来，新课程标准只是降低了几何证明的难度和表述的形式化要求，但是对学生的逻辑思维和实践能力的培养却有了更高的要求。我们更应该进一步培养学生在推理与证明能力。在教学实践活动中，我认为：
2.1 培养几何的推理与证明能力：首先要引导学生过好“翻译关”（三种语言：文字语言、图形语言、几何语言互译），中学教材涉及到的定义、定理、公理是非常之多的，而这些也正是学好推理证明的基础，因此在教学中教师要准确地把握每一个概念中的要点，引导学生学会咬文嚼字、逐字推敲去把握关键字眼帮助理解，教会学生自学的本领。学会用几何语言进行简单推理填空学习了概念，突破了语言障碍关后，紧接着我采用填空形式用几何语言进行简单说理，强调文、图、式三者的互译和统一。这是从概念走向推理的基本方法。
2.2 要善于培养学生循基本图形解决问题的能力。每一个概念都会涉及到一个图形，以及我们在实践中都会遇到一些重要图形，我们暂且称它们为基本图形，可以说每个复杂的图形都是由这些基本图形构建而成的，比如四边形（矩形、菱形、正方形、梯形）是由三角形组合而成的，而这些正是分析解决复杂图形的突破口之所在，在分析时才有可能把这些复杂图形分解成若干个基本图形，用基本图形的基本结论帮助我们冲突难点进而解决问题。
2.3 在推理活动中突出几何直观帮助思考。以勾股定理的证明为例，没人去追求勾股定理的证明不是逻辑证明。勾股定理的证明已经国际化了，就是不管哪个国家现在都是采取拼图割补的方法来证明。那么，其他的一些借助直观的想法、思路的证明也应该是一样的。推理和直观不能完全对立起来。直观不能替代推理，推理有时完全建立在直观的基础上。直观能启发推理，直观的过程中可能也有推理。这一点不仅局限在几何中，代数和其他的数学内容中也都有推理。比如代数里的列方程解决行程问题，在教学中，教师或者学生在思考的时候，经常画出一个示意图来，用一条线代表一段路程等，这个示意图就是一个直观的模型。
2.4 在学习过程中培养学生良好的解题习惯。例如在做几何证明题时，首先，要求学生认真审题后，用铅笔将已知条件在图形上用不同的记号或标志标出来；并逐一分析每一句话里所隐含的已知条件，根据结论筛选出其中有用的条件，最后达到建立已知和未知联系的目的。如证明两个三角形相似，已知条件中若与三角形的边角都有关，那么我们自然可以考虑用“两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一方法来推理。难度稍大的推理与证明，在前面的基础上合理并大胆猜想，进行演绎推理。如证明“梯形两条对角线中点的连线等于下底减上底的一半”这一命题时，可以与所学的三角形的中位线联系起来，大胆假设它是某个三角形的中位线，于是可以作出辅助线，连接梯形上底一顶点与一中点并延长，与下底相交。这样可以很轻易证明这个结论。
2.5 信息技术可以成为激发学生数学学习兴趣的金钥匙。有写学生认为学习数学是一件很枯燥的事情，如果能有效地运用网络等信息技术手段将能增强学生的的学习兴趣，使学生乐于去了解数学，学习数学。比如在教学《轴对称图形》时，教师带领学生一起进入轴对称图形的专题数学网站，那里有轴对称的建筑物、植物、动物、工具及各种漂亮的剪纸、窗花等，学生被这些信息所吸引，不仅对轴对称图形有了感性认识，而且对他产生了进一步探究的欲望。
2.6 实验几何内容的增加可以提高学生的学习积极性。因为它更贴近学生的日常生活经验；同时降低了几何学逻辑严谨性的要求，使不同智力水平的学生，都可以从数学活动中获益；而且通过活动掌握空间性质，更易于培养学生的观察能力、实验能力、归纳类比，以及创造力等明显的长处日益受到重视。
总之，培养学生推理与证明能力需要做为教师的我们教会学生“点石成金”方法，才更具有现实意义。
参考文献
[1] [荷兰]弗赖登塔尔著陈昌平等译（1995）：作为教育任务的数学.上海：上海教育出版社，277页
[2] “几何——最古老的数学理论，它在多少世纪里是一种对人类逻辑思维训练的主要方法”.Robert Morris编（1988）：几何教学.北京：人民教育出版社，29页