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[摘 要] 《数学课程标准（2011年版）》明確提出了“四基”，其中新增的数学思想和基本活动经验，从本质上说就是从以往只关注数学知识的学习向儿童思维能力的培养蔓延。从儿童认知发展理论的视角看，构建数学核心思维力可从四个方面入手：激活已有表象，获得初步概念；构建多元表征，丰富内部语言；激辨问题解决，拓展思维空间；孕伏数学思想，提升思维层次。
[关键词] 数学；思维；概念；表征；问题解决；思想
美国数学家克莱因说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。”从这个层面而言，孩子学习数学对其思维发展有着举足轻重的作用，同时数学也是发展思维最有用的工具之一，因此作为一名数学教师，在用教材教数学知识的同时更要注重儿童思维的发展，使其素养得以整体提升。
一、获得初步概念
思维本质是一种认知，而认知首先要让学生获取必要的概念，有心理学家就将概念习得定义为对一类事物或观念的共同属性的识别。例如加法交换律对孩子而言是一个全新的概念，此概念的形成则需要依托其已有表象，因此让孩子获取足够表象有助于概念的获得。在运算律的教学中，我们可以发现，孩子经过前面几年的计算学习，有着足够的知识储备和生活经验，成了“一块有纹路的大理石”，因此在教学中就应该顺应学情，从而使这种内隐式的经验得以显露和表达。
例如教学“加法交换律和结合律”一课，为了顺应儿童已有的表象，教师可以出示一组有规律的口算题（如下），学生计算出结果后，让学生按照一定的标准分类。这时学生会首先按照两个加数和三个加数进行分类，接着根据和相同再分类。通过两次分类，学生能找到其中的规律：交换两个加数的位置，和不变，最后让学生在以往的学习或者生活中找到类似的例子，打开更为宽阔的视域，为抽象概括规律奠定基础，从而正式打开认识运算律的窗户。
柏拉图说：“人的心灵有时就像一间封闭的屋子，真正的启蒙就是为其打开窗户，阳光照进来会豁然开朗，然后发现一个真实的世界，这个世界的事物各有形状、特色，并且各从其类，边界清晰。”通过这样“接孩子气”的教学，冰冷的运算变得生动形象、具体鲜活，更对以往的学习有了更为上层的诠释。
二、丰富内部语言
维果茨基在《思维与语言》一书中，批判了皮亚杰的语言和思维观点，他说：“语言是儿童听到的外部言语和他思考的内部言语之间的混合物，没有语言就没有思维，思维依赖语言。”在数学教学中，教师可以通过符号语言、文字语言和图表语言这三类语言之间的相互转换，帮助学生积累数学活动的经验，并对知识的发生、发展拥有更为丰富的阐释。
在“运算律”整个单元教学中，我们都会安排学生进行列举、抽象概括得到规律的环节，但具体教学中，还可以拉长孩子思维“爬坡”的过程。例如在教学“加法交换律和结合律”一课时，学生可以先看左边有3只猫，右边来了2只猫；也可以先看右边有2只猫，左边来了3只猫，因为分量都是一样的，最后合成一个整体，所以结果保持不变。再例如在教学“乘法分配律”时，可以让学生利用画线段图、文字描述等形式来解释其中的规律，直至概括出字母公式。
心理学表明：小学儿童的思维从具体形象思维过渡到以抽象思维为主要形式，并不意味着他们入学以后，具体形象思维立刻全部“消亡”，不再发挥作用，而是通过新质要素的逐渐积累和旧质要素的逐渐“衰亡”与改造而实现的。这样的“慢动作”——大量的表征体验，充盈孩子的内心，让儿童的思维在具体与抽象间不断转化，将语言不断内化从而使思维得以引发。
三、拓展思维空间
很多老师将计算看成数学学习的基础，是最低层次的学习，所以我们常会发现，计算题是“对答案”的，实际问题才值得教师讲解。但在当下，计算的正确率已经成了一个摆在教师面前的现实难题。在日常教学中观察发现，孩子计算所经历的思维过程并不是如我们想象的那么简单，一个计算题的出现就是一个问题的出现，他们会试图去寻找答案。而对于孩子而言，计算过程中的逻辑推理比应用题解题的逻辑推理更为抽象，因为每一步的计算靠的是抽象的法则，而应用题每步的推理和答案往往与现实情境和已有经验相联系，可以进行预判。因此对孩子而言，计算题的难度可能不亚于应用题，做一道计算题甚至比解决一个应用题更难。
在教学中，不妨将计算教学当成“问题解决”模式去看待，而不是轻描淡写。心理学家海思（Hayes）认为，问题解决有固定顺序：1.识别问题；2.问题表征；3.制定解决计划；4.执行计划；5.计划的评价；6.解决方法的评价。例如在指导学生求解“35×98”时，首先可以让学生思考：看到这个算式你想到什么？有孩子说：“这是个乘法计算题。”有的说：“可以用竖式计算。”有的说：“这个要用简便计算。”这些回答则处于问题解决的一、二阶段。接着再引导：使用简便计算，你觉得可以用哪个运算律？该怎么使用？这是属于问题解决的三、四阶段。学生尝试计算后展示作业并辨析，在学生明确②错误的原因后，再深入辨析①③，使之发现虽然都使用乘法分配律，但是相比之下③更简单。最后反思，不仅要正确使用运算律，更要注重思维简洁，这是问题解决的五、六阶段。
问题解决（problem solving）是“直接指向解决某个特定问题的思维过程，其中既包括反应的产生，也包括在可能的反应中做出选择”。面对孩子计算上的问题，决不能用一个“粗心”一言以蔽之，而是要科学地找到应对的方法，发现儿童思维上存在的难处，并设置好智慧的“屏障”，不愤不启，不悱不发，在辨析中不断扩展其思维空间。
四、提升思维层次
国际数学教育指导性文件中有这样一段话：“引导学生自己形成思想，发现数学的关系和性质，而不是把成人成熟的思维强加给他们。”史宁中教授也说：“数学学习只有深入到思想层面，才是一种真正的学习。”诚然，在教学中，教师有意识地加强数学思想的渗透，更有助于学生思维层次的提升。
在“运算律”整个单元框架中，教材都采用了运算律孕伏在具体情境中的编排形式，因此在教学中，我们可以分以下几步建构整课：①提出问题，列式解答；②观察算式，感受规律；③提出设想，验证想法；④推广规律，迁移运用；⑤反思提升，建立模型。而这样的教学设计内嵌了“猜测—验证—结论”这一数学规律探索的过程，实现了归纳和演绎的交相呈现。培根说：“归纳法是科学发现的逻辑，而演绎法是论证逻辑。”当学生用“a b=b a”表示加法交换律的时候，则说明儿童能将逻辑思考简化成一种代数形式，而不用考虑这些符号对应的指代物，更不需要验证其表征的物理现实，而此刻才是儿童思维发展的最为瞩目的时刻，这才是数学学习应然的价值回归。如果说知识的学习是一条明线索，那么思维发展就是一条暗线索，每一次的学习必将牵动孩子每一次思维印记的延伸。
郑毓信教授说：“基础知识的教学不应求全，而应求联。”思维的“思”是每次学习知识的起点，而“维”才是联接后形成的最本质的思维网络图。在这张图上，孩子们能在“联接处”找到知识的起点，在知识的“变通处”找到思维的高点，从而推动思维不断向前、向全发展。
责任编辑 李杰杰
[关键词] 数学；思维；概念；表征；问题解决；思想
美国数学家克莱因说：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。”从这个层面而言，孩子学习数学对其思维发展有着举足轻重的作用，同时数学也是发展思维最有用的工具之一，因此作为一名数学教师，在用教材教数学知识的同时更要注重儿童思维的发展，使其素养得以整体提升。
一、获得初步概念
思维本质是一种认知，而认知首先要让学生获取必要的概念，有心理学家就将概念习得定义为对一类事物或观念的共同属性的识别。例如加法交换律对孩子而言是一个全新的概念，此概念的形成则需要依托其已有表象，因此让孩子获取足够表象有助于概念的获得。在运算律的教学中，我们可以发现，孩子经过前面几年的计算学习，有着足够的知识储备和生活经验，成了“一块有纹路的大理石”，因此在教学中就应该顺应学情，从而使这种内隐式的经验得以显露和表达。
例如教学“加法交换律和结合律”一课，为了顺应儿童已有的表象，教师可以出示一组有规律的口算题（如下），学生计算出结果后，让学生按照一定的标准分类。这时学生会首先按照两个加数和三个加数进行分类，接着根据和相同再分类。通过两次分类，学生能找到其中的规律：交换两个加数的位置，和不变，最后让学生在以往的学习或者生活中找到类似的例子，打开更为宽阔的视域，为抽象概括规律奠定基础，从而正式打开认识运算律的窗户。
柏拉图说：“人的心灵有时就像一间封闭的屋子，真正的启蒙就是为其打开窗户，阳光照进来会豁然开朗，然后发现一个真实的世界，这个世界的事物各有形状、特色，并且各从其类，边界清晰。”通过这样“接孩子气”的教学，冰冷的运算变得生动形象、具体鲜活，更对以往的学习有了更为上层的诠释。
二、丰富内部语言
维果茨基在《思维与语言》一书中，批判了皮亚杰的语言和思维观点，他说：“语言是儿童听到的外部言语和他思考的内部言语之间的混合物，没有语言就没有思维，思维依赖语言。”在数学教学中，教师可以通过符号语言、文字语言和图表语言这三类语言之间的相互转换，帮助学生积累数学活动的经验，并对知识的发生、发展拥有更为丰富的阐释。
在“运算律”整个单元教学中，我们都会安排学生进行列举、抽象概括得到规律的环节，但具体教学中，还可以拉长孩子思维“爬坡”的过程。例如在教学“加法交换律和结合律”一课时，学生可以先看左边有3只猫，右边来了2只猫；也可以先看右边有2只猫，左边来了3只猫，因为分量都是一样的，最后合成一个整体，所以结果保持不变。再例如在教学“乘法分配律”时，可以让学生利用画线段图、文字描述等形式来解释其中的规律，直至概括出字母公式。
心理学表明：小学儿童的思维从具体形象思维过渡到以抽象思维为主要形式，并不意味着他们入学以后，具体形象思维立刻全部“消亡”，不再发挥作用，而是通过新质要素的逐渐积累和旧质要素的逐渐“衰亡”与改造而实现的。这样的“慢动作”——大量的表征体验，充盈孩子的内心，让儿童的思维在具体与抽象间不断转化，将语言不断内化从而使思维得以引发。
三、拓展思维空间
很多老师将计算看成数学学习的基础，是最低层次的学习，所以我们常会发现，计算题是“对答案”的，实际问题才值得教师讲解。但在当下，计算的正确率已经成了一个摆在教师面前的现实难题。在日常教学中观察发现，孩子计算所经历的思维过程并不是如我们想象的那么简单，一个计算题的出现就是一个问题的出现，他们会试图去寻找答案。而对于孩子而言，计算过程中的逻辑推理比应用题解题的逻辑推理更为抽象，因为每一步的计算靠的是抽象的法则，而应用题每步的推理和答案往往与现实情境和已有经验相联系，可以进行预判。因此对孩子而言，计算题的难度可能不亚于应用题，做一道计算题甚至比解决一个应用题更难。
在教学中，不妨将计算教学当成“问题解决”模式去看待，而不是轻描淡写。心理学家海思（Hayes）认为，问题解决有固定顺序：1.识别问题；2.问题表征；3.制定解决计划；4.执行计划；5.计划的评价；6.解决方法的评价。例如在指导学生求解“35×98”时，首先可以让学生思考：看到这个算式你想到什么？有孩子说：“这是个乘法计算题。”有的说：“可以用竖式计算。”有的说：“这个要用简便计算。”这些回答则处于问题解决的一、二阶段。接着再引导：使用简便计算，你觉得可以用哪个运算律？该怎么使用？这是属于问题解决的三、四阶段。学生尝试计算后展示作业并辨析，在学生明确②错误的原因后，再深入辨析①③，使之发现虽然都使用乘法分配律，但是相比之下③更简单。最后反思，不仅要正确使用运算律，更要注重思维简洁，这是问题解决的五、六阶段。
问题解决（problem solving）是“直接指向解决某个特定问题的思维过程，其中既包括反应的产生，也包括在可能的反应中做出选择”。面对孩子计算上的问题，决不能用一个“粗心”一言以蔽之，而是要科学地找到应对的方法，发现儿童思维上存在的难处，并设置好智慧的“屏障”，不愤不启，不悱不发，在辨析中不断扩展其思维空间。
四、提升思维层次
国际数学教育指导性文件中有这样一段话：“引导学生自己形成思想，发现数学的关系和性质，而不是把成人成熟的思维强加给他们。”史宁中教授也说：“数学学习只有深入到思想层面，才是一种真正的学习。”诚然，在教学中，教师有意识地加强数学思想的渗透，更有助于学生思维层次的提升。
在“运算律”整个单元框架中，教材都采用了运算律孕伏在具体情境中的编排形式，因此在教学中，我们可以分以下几步建构整课：①提出问题，列式解答；②观察算式，感受规律；③提出设想，验证想法；④推广规律，迁移运用；⑤反思提升，建立模型。而这样的教学设计内嵌了“猜测—验证—结论”这一数学规律探索的过程，实现了归纳和演绎的交相呈现。培根说：“归纳法是科学发现的逻辑，而演绎法是论证逻辑。”当学生用“a b=b a”表示加法交换律的时候，则说明儿童能将逻辑思考简化成一种代数形式，而不用考虑这些符号对应的指代物，更不需要验证其表征的物理现实，而此刻才是儿童思维发展的最为瞩目的时刻，这才是数学学习应然的价值回归。如果说知识的学习是一条明线索，那么思维发展就是一条暗线索，每一次的学习必将牵动孩子每一次思维印记的延伸。
郑毓信教授说：“基础知识的教学不应求全，而应求联。”思维的“思”是每次学习知识的起点，而“维”才是联接后形成的最本质的思维网络图。在这张图上，孩子们能在“联接处”找到知识的起点，在知识的“变通处”找到思维的高点，从而推动思维不断向前、向全发展。
责任编辑 李杰杰