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在文献[1]中，Kazuo Habiro给出了单位根集上解析函数的概念．这是一类特殊的含一个变量x的级数．此类级数收敛当且仅当x是单位根．Habiro通过特殊方法构造了这种单位根集合上解析函数的导函数与在单位根处的泰勒展开．但是，对这些函数的导函数与泰勒展开文献[1]并未给出详细证明．因此，将通过详细的计算来研究这类解析函数的导函数和泰勒展开．引入比单位根集合更广的“集合系统”概念，把单位根集合上的解析函数推广到集合系统上．而且这些推广的解析函数仍能用类似的方式定义导函数和泰勒展开。