随着科学技术不断地发展和进步,社会已经正式迈入了网络时代,人们需要接触和处理的复杂网络也日益增多。复杂网络作为一种特殊的数据表现形式,作为复杂系统的结构形态,它由节点和边构成,是对复杂系统进行抽象地描述。从拓扑的角度出发,图作为一种工具,其不变量的许多性质在研究复杂网络拓扑结构的性质时起到至关重要的作用。图不变量有很多种,其中最主要的有拓扑指数、图能量以及图熵等,它们可以很好地反映出复杂网络拓扑结构的性质。比如,图不变量可以反映复杂网络的局部特征,利用这个特征可以有效地识别复杂网络重要节点,将它们的重要性进行重新排序,从而可以对复杂网络重要节点进行保护。在计算机科学领域,图论可以应用于复杂网络、编程和算法理论。因此,我们可以借鉴图论中许多优秀的研究方法和丰硕的成果对复杂网络进行研究。总之,图论这门学科已经成为解决复杂网络问题的有力工具。本文利用图不变量研究了复杂网络拓扑结构的性质,并对拓扑指数、图能量等图不变量的性质进行了研究。主要工作如下:（1）介绍了几种经典的攻击策略,提出了GA（G）中心性、AG（G）中心性、Lz（G）中心性以及R（G）中心性四种新的攻击策略,将四种新的攻击策略与几种经典的攻击策略在同一网络下做出了比较。研究发现,除了R（G）中心性不能很好的衡量节点重要性以外,其他三种新的攻击策略都比传统的攻击策略效率更高。（2）本文证明了邵燕灵教授等学者猜想（在所有n阶树中,n阶路图nP具有最大的geometric-arithmetic能量）的正确性,得到了树的geometric-arithmetic能量的上界,并刻画了极图。最后又得到了树的geometric-arithmetic能量的下界,并刻画了极图。（3）从代数的角度研究了arithmetic-geometric指数和arithmetic-geometric能量的界,取得了图的arithmetic-geometric指数和arithmetic-geometric能量的一些新的上下界,并刻画了极图。（4）介绍了Lanzhou指数的研究背景和研究意义。首先通过计算得到了给定直径且具有完美匹配树的Lanzhou指数的计算方法。然后通过图形变换、分式比较的方法得到了具有完美匹配树的Lanzhou指数的上下界,并刻画了极图。（5）定义了珊瑚树集T（n）,借助图形变换、分式比较的方法得到了珊瑚树Randi（?）能量的上界并刻画了极图。给出了一类满足Gutman等学者猜想（n阶连通树T具有最大Randi（?）能量）的n阶连通图G,并得到珊瑚树集T（n）满足Gutman等学者的猜想。因此,本文为进一步解决Gutman等学者提出的猜想做出了一定的贡献。