一直以来小波分析都是应用数学和工程技术等领域研究的热点问题,近年来,随着信息和计算机技术的快速发展,多小波和小波框架由于其自身的优点已广泛应用于信号处理、数据压缩和大数据分析等领域.对多小波和小波框架的研究已成为小波分析领域的重要研究课题,受到了学者们的高度关注,成为当下的研究热点问题之一.本文基于多分辨率分析（multiresolution analysis,MRA）的思想,主要研究多小波和小波框架的具体构造,以及与其相关的数据的聚类问题和吉布斯（Gibbs）现象.主要内容和创新点如下:（1）.提出一类新的方法来构造紧支撑、对称和正交的多小波.首先,将拟样条（pseudo splines）推广到更一般的广义拟样条上,分析出这类广义拟样条的平移变换是线性无关的,基于这个性质,得到相应的双正交广义拟样条小波的具体构造.其次,利用MRA和矩阵理论的有关知识,考虑多尺度矩阵序列和多小波矩阵序列之间的关系,给出一类新的方法来构造具有4个系数的3带任意重多小波,并且分析所构造出的这类多小波能够同时满足紧支撑性、正交性和对称性.最后,通过算例利用新提出的方法来构造一类紧支撑、对称和正交的多小波.（2）.提出一类新的具有3个生成子的对称紧小波框架的构造方法.首先,在已有的实值紧小波框架构造方法的基础上,将尺度函数推广到广义的拟样条上,基于酉扩充原理（unitary extension principle,UEP）,研究具有3个生成子的广义拟样条紧小波框架的具体构造,讨论这类紧小波框架能同时满足紧支撑、对称性、高阶逼近阶等良好性质.其次,由于UEP构造出的紧小波框架不能满足高阶消失距,因此将UEP推广到斜扩充原理（Oblique Extension Principle,OEP）上,构造出具有3个生成子的对称拟样条紧小波框架,并证明这类新构造的紧小波框架可以满足更高阶的消失距,从而可提高紧小波框架的光滑性.最后,通过算例分别基于这两种方法给出3个生成子的对称紧小波框架的具体构造.（3）.提出一种新的基于小波框架变换的聚类模型以及一种新的集成聚类算法.对于实际应用中常见的、复杂的、不规则空间上数据的聚类问题,将经典的L~2（R）空间上的小波和小波框架理论推广到流形以及流形离散化图上,通过考虑数据集中的异常点（outliers）,将基于图上紧小波框架变换用于数据的半监督聚类分析中,提出一种新的聚类模型,使得聚类结果相对稳定和精确.由于单一聚类算法的不稳定性,在已有集成聚类算法的基础上,通过考虑数据集中存在的异常点以及数据之间的必连信息,提出一种新的集成聚类算法.通过实验进行分析和比较来验证新提出的聚类算法的稳定性和精确性.（4）.研究L~2（R）空间中任意一个不连续函数小波级数展开和细分法的Gibbs现象.首先,基于傅里叶级数（Fourier）展开和正交小波级数展开的Gibbs现象相关理论,讨论L~2（R）空间中一个不连续函数双正交小波级数展开的Gibbs现象,并给出判断这种现象出现的条件.其次,将小波级数展开的Gibbs现象推广到细分法上,具体讨论静态ternary细分法和p-ary细分法的Gibbs现象,分析这类细分法的Gibbs现象发生的条件,给出避免它的方法.最后,分别利用具体的算例来进一步直观地解释这种现象.