【摘 要】
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本文主要研究了有界区域上的两类Kirchhoff型方程正解的存在性.设Ω(?)RN(N≥ 2)是一个具有光滑边界的有界区域.首先,我们讨论了以下非齐次Kirchhoff型方程的Dirichlet问题正
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本文主要研究了有界区域上的两类Kirchhoff型方程正解的存在性.设Ω(?)RN(N≥ 2)是一个具有光滑边界的有界区域.首先,我们讨论了以下非齐次Kirchhoff型方程的Dirichlet问题正解的存在性及多重性:(?)(1)其中 b>0,p>1,λ>0,0<α<2*-1/2,当N=2 时,2*=+∞;当N≥3时,2*N+2/N-2.我们记M是C1(Ω)\{0}的子集,且使得对(?)f(x)∈M,以下问题(?)(2)有一个非平凡解.我们得到了以下结论:定理1设1
0,问题(1)至少存在一个正解.定理2设1b0(b0是第一章中给定的正常数),则问题(1)对VA>0有正解的充分必要条件是f(x)∈M此外,若α≥1/2,当λ充分小时,问题(1)的解是唯一的.定理3设2α+1Λf时,问题(1)没有正解.定理4设p>2*,Ω是星形区域,则存在两个有限正常数λf,Λf,使得对(?)λ∈(0,λf),问题(1)有一个正解的充分必要条件是f(x)∈M,而当λ>Λf时,问题(1)无正解.其次,我们还讨论了以下p-Kirchhoff型方程Dirichlet问题正解的存在性(?)(3)Δpu=div(|▽u|p-2▽7u).我们首先通过讨论h(x,u,▽u)=0时的简单模型来分析非局部项b‖▽7u‖ppα对问题(3)正解的存在性、正解的个数和渐进性的影响(详见第3.1节),再利用爆破方法得到辅助问题的正解的先验估计,最后应用连续性方法证明问题(3)正解的存在性.对h(x,s,ξ)添加如下条件:(H1)当s>0时,h(x,sξ)≥ 0并且h(x,s,ξ)是连续的;(H2)当p-10使得h(x,s,ξ)关于x和ξ 一致地满足(?)h(x,s,ξ)/sp-1=β,并且当s>0,p-10,问题(3)至少有一个正解.
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