【摘 要】
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本文主要考虑非线性微分-差分方程的守恒律与Darboux变换及相关问题.全文共分五章.第一章主要介绍背景知识与涉及到的概念、理论和方法.第二章我们考虑广义Toda谱问题和广义相对Toda谱问题.首先利用屠格式,构造了两类可积的4-field微分-差分方程族,发现这两类方程族不仅可以约化为一些已知的微分-差分方程族,而且也可以约化为一些新的方程族.其次,我们证明了其中一类微分-差分方程族是Liouv
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本文主要考虑非线性微分-差分方程的守恒律与Darboux变换及相关问题.全文共分五章.第一章主要介绍背景知识与涉及到的概念、理论和方法.第二章我们考虑广义Toda谱问题和广义相对Toda谱问题.首先利用屠格式,构造了两类可积的4-field微分-差分方程族,发现这两类方程族不仅可以约化为一些已知的微分-差分方程族,而且也可以约化为一些新的方程族.其次,我们证明了其中一类微分-差分方程族是Liouville可积的.第三章我们研究三类微分-差分方程.首先对这三类微分-差分方程分别构造方程的无穷多守恒律,给出对应守恒密度与流的递推表达式.其次,利用Lax对和规范变换,构造了方程的Darboux变换.最后,应用Darboux变换,得到了方程的一些精确解,进而通过适当选择参数,得到方程的孤立子解,并画出了这些孤立子解的图像.第四章我们探讨一般微分-差分方程守恒律的存在性.首先给出一般微分-差分方程存在8)-阶守恒密度的必要条件,然后利用这些必要条件构造方程的守恒密度.作为该结果的应用,我们研究了Belov-Chaltikian格方程,Kacvan Moerbeke格方程和离散的Nagumo方程,得到如下结论:1.给出了BelovChaltikian格方程8)-阶守恒密度满足的形式;2.给出了Kac-van Moerbeke格方程8)-阶守恒密度满足的形式,并构造了方程的2-阶守恒密度以及对应的流;3.证明了离散的Nagumo方程不存在守恒密度.第五章是总结与展望.
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