现实生活中,多数物理,医药,金融等问题均可由偏微分方程（PDEs）或者随机偏微分方程（RPDEs）来描述.很多时候,人们不只关心PDEs或者RPDEs解本身的性质,更关心能否通过控制方程中的某些变量,使得另一些变量达到预期的状态,同时保证代价最小,这就是典型的PDE或者RPDE最优控制问题.由于实际需求的驱动,系数确定和系数随机情况下的PDE最优控制问题得到了广泛的研究和关注（[44,56,58,131,144]）.对于PDE最优控制问题,其求解难点在于数值离散后,离散系统的规模较大,直接求解较困难,且在优化过程中,需要求解大量代数方程组.对于RPDE最优控制问题,它在PDE最优控制问题的基础上引入了随机空间,因而问题更为复杂,一方面需要考虑适合于此问题结构的随机空间离散方法,另一方面原有定问题中的求解难点也因随机空间的引入而增大.现有算法,对随机空间离散后,多采用迭代法求解,在每步迭代中都需要求解大量定的PDEs,且内存占用量很大.本文主要针对以上困难,提出了合理可行的数值算法,大大缩减求解方程的数量并降低了存储代价.下面介绍本文中所用到的两种核心数值方法.交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM）,是一种求解结构凸优化问题的高效数值方法,主要利用分裂的思想,基于问题变量可分的特点,将大规模优化问题分解成若干个规模较小的子问题.该方法具有全局收敛性,且最差情况下的收敛速度为O（1/k）,其中k为迭代步数.多重模式展开方法（Multi-Mode Expansion,MME）,是求解随机系数下RPDEs的有效算法.其主要思想是将随机解按扰动量级的幂级数进行展开,展开系数满足一系列迭代方程,并且迭代方程中系数为确定且相同的函数,只有右端含有随机项,从而降低了求刚度矩阵逆带来的计算压力.同时,该方法具有易模拟和高效的特点.本论文主要由两部分构成.首先,我们将ADMM应用到PDE最优控制问题上,求解了几类带椭圆型PDE约束的最优控制问题,给出完整的收敛性分析.其次,结合MME方法和Monte Carlo方法,我们将ADMM推广到RPDE最优控制问题上,在理论上证明了算法的收敛性,在数值上验证了算法的有效性.具体工作如下:第一部分是本文的第二章,以Poisson方程为例,研究带椭圆型PDE约束的最优控制问题.主要考虑了在无约束和盒子约束下,控制变量分别为分布控制,Dirichlet边界控制和Robin边界控制等六种情况.问题描述为其中,针对分布控制问题和边界控制问题,积分区间B分别取做D或（?）D,相应地,dz取做dx或ds.这里,控制约束条件分别取Uad=U（无约束）和Uad={u（a）∈U|ua≤u（x）≤ub}（盒子约束）两种不同情况.状态方程e（y,u）= 0分别取做以下三类控制问题对应的变分形式:本文首先考虑对上述问题进行有限元离散,并将三类状态方程的离散格式写成统一的线性方程组形式.至此,模型问题化成了有限维的优化问题,形式如下:接着,我们分别针对无控制约束条件和盒子控制约束条件,采用ADMM和two-block ADMM求解上述离散问题.与现有算法相比,本文所提算法的优势在于避免了求解大规模离散系统,且在每步迭代时无需求解方程组,只需在迭代循环外,求两次系数矩阵的逆即可.此外,本文还给出了所提算法的收敛性分析,结果如下:定理 设h为有限元方法网格步长,k为ADMM的迭代步数.令u*和uhk分别表示原问题的解和ADMM求出的迭代解.则有误差估计‖u*-Ruhk‖L~2（D）=O（hp）+O(k-1/2),成立,其中p为常数（对不同的模型取不同值,参见论文第二章）.最后,数值实验表明,本文所提算法能够有效地处理PDE最优控制问题.第二部分由本文的三,四章组成,我们将ADMM推广到了如下的RPDE最优控制问题在第三章中,上述模型中的状态方程s（ξ,y（x,ξ）,u（x））=0取为如下的随机Poisson方程,基于Monte Carlo方法和有限元离散,容易得到上述模型的离散优化问题为:传统的方法（例如采用Monte Carlo方法离散随机空间,并结合Newton迭代法或SQP等算法求解离散后的优化问题）,在计算过程中各个样本之间会耦合在一起形成一个超大规模系统.在本章里,我们首先用Monte Carlo方法结合有限元方法,给出问题的离散格式.随后,根据所得离散问题的全局一致特性,采用ADMM分裂求解.迭代过程中,每个样本都对应一个与定的PDE最优控制问题同规模的子问题,且基于不同样本,我们可以采用并行计算.对比来说,本章所提算法的优势依然在于ADMM,避免求解大规模离散系统.只需在迭代过程中对于每个样本求解相应的低维子问题.特别地,全程不涉及求解PDEs,只需在ADMM迭代循环外,对每个样本点求系数矩阵的逆,保存下来,迭代过程中直接使用.本文还给出了算法的整体误差估计,结果如下:定理 设M为采用的Monte Carlo样本数,h为有限元方法网格步长,k为ADMM迭代步数.令u*和u≤分别为原问题的解和ADMM迭代解,则有如下离散误差估计‖u*-Ruhk‖L2（D）≤O（M1/2）+O（h2）+O（k-1/2）,在第四章中,我们继续研究RPDE最优控制问题.主要考虑状态方程s（ξ,y（x,ξ）.u（x））= 0取为如下的随机Helmholtz方程.对于该问题,本章采取了三种算法来求解.第一种算法是直接将第三章的方法,平行推广到带随机Helmholtz方程约束的最优控制问题.由于本章模型问题需要在复空间中求解,且对网格精度有一定要求,故算法1存在一定的缺陷:（1）.需要求解M+1次系数矩阵的逆,M为样本数;（2）.算法内存花费量为O（MN~2）,N为物理空间自由度.当M和N很大时,算法需要的计算量和内存量是难以忍受的.值得一提的是,对于求解RPDE最优控制问题的一般方法,如Stochastic Collocation结合CG法,Monte Carlo方法结合SQP方法等,也存在上述两个问题.针对以上两个难点,本文采用MME方法,对最优控制问题进行预处理.在算法2中,我们基于MME,有限元离散和Monte Carlo方法,将原问题转化为一个离散的最优控制问题,然后利用ADMM进行迭代求解.这种方法全程只需要求解两次系数矩阵的逆;在计算量上已经较一般方法有了显著的优势,但此算法的内存花费量依然为O（MN~2）.接着,我们依据MME的一些迭代特性,提出了一个重要的等式关系,并利用此等式关系,在算法2的基础上设计了算法3.此方法能使得RPDE最优控制问题中的随机域全部转移到目标泛函带有期望的系数上,使随机更容易处理.经过简单计算后,原随机问题可变为定的PDE最优控制问题,从而避免了求解随机最优控制问题时会遇到的困难.该算法全程只需求两次系数矩阵的逆,无需额外求解方程组,且内存花费量仅为O（N~2）,与M无关,从本质上解决了上述两个难点,是三种算法中效果最好的.算法3的收敛阶估计如下:定理设M为利用Monte Carlo方法的样本数,ε为随机折射率中的扰动量级,Q为MME方法的展开项数,h为有限元方法的网格步长,k为迭代步数.则原问题最优解u*和本文所提算法得到的数值解uhQ,k间的误差估计为最后,我们通过数值模拟验证了本文所提算法的高效性.