SIR模型是描述传染病动力学过程的一类经典模型,由于很多传染病具有潜伏期,比如流感、结核病等,因此在SIR模型的基础上增加时滞变量能够更接近现实。传统的SIR模型通常只考虑时间变量,而忽略了空间位置的影响。随着现代交通网络的发达,人口的流动性更加快了疾病的传播速度,也成为模型的重要影响因素。本文在时滞SIR模型的基础上考虑了空间扩散,提出了一类带空间扩散的时滞SIR模型。首先证明了模型全局解的存在唯一性和正有界性。接下来通过特征性方法得出了平衡点的局部稳定性,构造一类Lyapunov函数给出了平衡点的全局稳定性。然后在模型中考虑疫苗控制,寻找控制流行病传播的最优疫苗控制策略,根据Pontryagin最大值原理得出了最优控制问题的存在的必要条件以及最优控制表达式。最后对模型进行数值仿真。第一章,首先介绍了传染病模型研究的背景,然后介绍了SIR模型的国内外研究发展状况。第二章,介绍了传染病数学模型、稳定性理论和最优控制理论中的一些相关概念和定理。第三章,结合已有时滞SIR模型和时空SIR模型的研究,同时考虑到疾病潜伏期和人群空间扩散两个因素,提出了一类时空时滞SIR模型,首先通过抽象泛函微分方程的相关定理,证明了模型全局解的存在唯一性和正有界性,然后计算出模型的无病平衡点、地方病平衡点以及基本再生数R0,通过特征值方法得出当R0<1时,无病平衡点局部稳定;当R0>1时,地方病平衡点局部稳定。然后通过Lyapunov函数法推导全局渐近稳定性:当R0<1时,无病平衡点全局渐近稳定;当R0>1时,地方病平衡点全局渐近稳定。第四章,考虑对模型施加疫苗控制,提出了一类时空时滞SIR模型的疫苗最优控制问题。通过构造极小化序列证明了最优控制解的存在性,然后根据Pontryagin最大值原理得出了最优控制的必要条件。第五章,对模型进行数值仿真,在不同参数取值下,对于不同的时滞分情况讨论,分别求出R0<1和R0>1时模型的平衡解,验证了模型的无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性;在给定的权重系数下,选取一组特定参数,分别针对不同时滞的情形,使用Forward-Backward Sweep迭代方法进行数值仿真,求解出状态方程解、伴随方程解和相应的最优控制解,验证了最优控制的存在性。针对第四章中研究的最优控制问题,通过数值仿真模拟了在不同时滞的情形下,控制传染病传播过程中采取的疫苗控制的时间、空间分布,使得在控制流行病传播过程中感染者数量和疫苗控制的成本综合起来达到最小,从而验证了在不同时滞的情形下,传染病传播过程中,对易感人群采取疫苗控制的有效性,以及时滞对最优控制的影响。第六章,对本文所做工作进行总结和反思,并说明了主要创新点和不足之处。