集合[（?）]={0,1,2,,n}上的一个递增树（在随机过程领域通常称为递归树）是指顶点集为[（?）]的一个有根标号树,满足从根到叶子的任何一条路径的标号是递增的.递增树在组合学和随机过程领域均是非常重要的研究对象,具有丰富的研究成果.这篇学位论文主要研究递增树以及高维递增树的组合性质.论文分为四个章节.第1章介绍了递增树领域的基本概念和背景,并介绍了后续章节需要用到的相关知识和结果.第2章首先提出了一种构造递增树上的双射的一般方法.然后利用这种方法,构造了递增树上的一个对合,这个对合把奇顶点映射为奇数层的偶顶点,并把偶数层的偶顶点作为不变集.最后给出这个对合的若干应用:（a）证明了递增树上的两个统计量“奇顶点数”和“奇数层中的偶顶点数”是等分布的;（b）给出了正割数一种新的组合解释;（c）证明了随机递归树中偶顶点数目的随机变量的期望值是奇顶点数目的随机变量的期望值的两倍.第3章提出了递增树的完美定向的概念.利用第2章提出的构造递增树上的双射的一般方法,我们构造了递增树的一类完美定向.由此,给出了一种称之为“定向技巧”的新技巧,用来处理递增树以及随机递归树中与顶点度有关的问题.定向技巧有很多的应用.作为递增树方面的应用,我们给出了Kuznetsov-Pak-Postnikov定理的简单证明,并得到了这个定理的一个对偶定理;给出了经典的Eulerian数四种新的组合解释.作为随机树方面的应用,定向技巧可以用来计算随机递归树中与顶点度有关的随机变量的数学期望,我们给出两个例子来说明这种方法,其中的一个例子给出了比Dondajewski-Szyma（?）ski公式更加简洁的具有“binomial-Stirling”形式的公式.第4章把递增树的概念推广到了更高的维度上,即提出了k维递增树的概念.特别的,0维递增树由若干孤立点组成,1维递增树是普通的递增树,2维递增树是熟知的平面递增树.我们构造了k维递增树和k-Stirling排列之间的双射,也构造了k维递增树和k梯形字之间的双射.利用这两个双射,证明了若干计数结果.作为一个应用,回答了Janson[39]提出的一个问题:寻找梯形字[1]×[3]×···×[2n-1]上的三个统计量,使得它们的联合分布与Stirling排列的上升位、下降位、平台位的联合分布相同.作为另一个应用,给出了Catalan数和Catalan三角的一些新的组合解释.另外,利用k维递增树的概念我们给出了k阶Eulerian数一个新的组合解释.