椭圆问题是偏微分方程研究中最主要的问题之一,属于核心数学的研究范畴.早在1900年D.Hilbert提出的著名的23个问题中就有3个与椭圆问题有关.过去的一个多世纪椭圆问题得到了丰富的研究,获得了丰硕的成果,形成了庞大的理论体系,其在几何学、流体力学、热力学等自然科学和工程技术的各个领域都得到了广泛应用并有力地推动了这些学科的发展.本篇博士论文主要研究了一类从MEMS（micro electro mechanical system）模型中抽象出来的奇异椭圆问题其中Ω（?）RN是有界区域,λ>0,β>0,γ>0是实参数,非负实函数p∈Lq（Ω）（q>1）且p在Ω上不恒为零.讨论了在各种情况下问题（P）的弱解与古典解的存在性与多重性.我们得到的主要结论有：运用变分方法证明了当0<β≤1,0<γ<1,p∈L2（Ω）,并且在Ω上几乎处处有p（x）>C0>0时,存在λ*>0使得当λ∈（0,λ*）时奇异椭圆问题（P）有唯一弱解u∈H01（Ω）；利用Ekeland变分原理以及集中紧性原理得到临界增长条件下（即β=2.-1）,0<γ<1,p∈L2（Q）时,存在λ*>0使得当λ∈（0,λ*）时,问题（P）有2个弱解vλ,ωλ∈H01（Ω）；运用Moser迭代技术和上、下解方法得到了当扰动项uβ超临界增长（β>2*-1）,并且或者γ∈（0,1）,p∈Lq（Ω）（q>N/2）；或者γ≥1,存在正函数h∈C01（Ω）使得ph-γ∈Lq（Ω）（q>N/2）成立时,均存在入*>0使得当λ∈（0,λ*）时,问题（P）至少有一个正弱解uλ∈H01（Ω）∩L∞（Ω）.最后研究了奇异椭圆问题（P）的古典解.当1<β<2*-1,0<γ<1, p∈C0α（Ω）（0<α<1）时,运用逼近方法和blow-up技术证明了存在入*>0使得当λ∈（0,λ*）时,问题（P）有两个古典解u,u∈C2,α（Ω）∩C1,v（Ω）当β≥2*-1,0<γ<1,p∈C0α（Ω）（0<α<1）时,运用Moser迭代和截断函数技巧证明了存在λ*>0使得当λ∈（0,λ*）时,问题（P）有一个古典解u∈C2,α（Ω）∩C1,v（Ω）,其中当α<γ时,v∈（0,1+α-γ）；当α≥γ时,v∈（0,1）.