【摘 要】
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非局部问题解的存在性及解的性态分析是近年来非线性分析领域的研究热点,本文主要利用变分方法研究了带有竞争位势的分数阶Schr?dinger方程和分数阶Kirchhoff方程解的存在性
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非局部问题解的存在性及解的性态分析是近年来非线性分析领域的研究热点,本文主要利用变分方法研究了带有竞争位势的分数阶Schr?dinger方程和分数阶Kirchhoff方程解的存在性、多重性和集中现象.在第1章,我们主要介绍分数阶Schr?dinger方程和分数阶Kirchhoff方程的背景及近期的国内外研究现状,所需的预备知识和本文的主要工作.在第2章,我们研究下列分数阶Schr?dinger方程和其中 ε>0 是小参数,s ∈(0,1),p ∈(2,2s*),2s*=:2(>2s)为分数阶 Sobolev 临界指数,(-△)s表示阶为s的分数阶Laplacian算子,V,K和Kj(= 1,2)都是有界正位势函数.在V,K和Kj(j= 1,2)适当的假设之下,对满足条件的最大整数m ∈N,我们利用亏格理论和集中紧性原理证明了当ε>0充分小时,上述问题(0.0.1)和(0.0.2)至少有m对解.进一步,当m ≥ 2时,这些解中至少有1个正解,1个负解和2个变号解.在第3章,我们研究如下带有临界指数的分数阶Kirchhoff方程(0.0.3)这里;x ∈R3,Kirchhoff函数M是一个正的连续函数,λ>0是参数,3/40充分小且λ充分大时,问题(0.0.3)正基态解的存在性.其次,我们证明了当ε → 0+时,这些基态解集中到某个由位势函数所刻画的集合附近.最后,我们研究了基态解的衰减估计.
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