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【摘 要】拓展性课程以课程知识为载体，适度的延伸、开拓，以发展学生的数学思维和数学素养。“估测不规则图形的面积”这一内容在各套教材中以“分类数”和“转化算”两种算法为主，教师可以在这两种算法的基础上，让学生经历撒绿豆的实验过程，自主发现图形内绿豆数量和面积之间的关系，探究估测不规则图形的新方法。
【关键词】估测 图形面积 数学实验
一、教学内容及设计构想
教学内容：图1中每个小正方形为1平方厘米，估计曲线所围成的图形面积。
版五年级上册第六单元是“多边形的面积”，包括平行四边形、三角形和梯形的面积的学习，之后安排了“估测不规则图形的面积”这一教学内容。在不规则图形的面积这一内容中，教材介绍了两种方法，可以概括为“分类数”和“转化算”。对于估测不规则图形面积这样的学习内容，学生有没有其他方法来解决这个实际问题呢？考虑到实际操作的便捷性，本节课教师为学生提供了绿豆这一实验材料，学生是否能创造出独特的估测方法呢？
二、教学目标
1.巩固用分类数和转化算的方法来估测不规则图形的面积。
2.经历实验、猜想、验证的过程来估测不规则图形的面积，感知数量和面积的关联，体会转化等数学思想，发展创造性思维。
3.感知不同估测方法之间的不同，能根据实际情况选择合理的估测方法。
三、教学实录
（一）提出问题
1.介绍每个小组的实验材料：塑料筐、一盒绿豆。
2.根据下图，你能提出什么数学问题？
3.可以怎样来估测长方形中这个不规则图形的面积？
学生交流：
（1）分类数：将长方形分割成单位面积的小正方形，通过数小正方形的方法估测面积。
（2）转化算：转化成我们已经学过的规则图形来估计面积。
4.明确任务：用一盒绿豆，你能创造出新的方法来估测这个图形的面积吗？
【设计意图】对于学生来讲，估测面积并不是一个新问题，能够顺利地调动已有知识和经验来解决这个问题，但是面对着全新的实验材料“绿豆”，并用此材料估测不规则图形的面积，这是一个有挑战性的任务。很多学生在课的一开始时认为这是一个“不可能完成的任务”，以实验材料的特殊性，激发学生学习的积极性。
（二）探究方法
1.寻找实验方法，分组议一议，也可以利用材料试一试。
2.方法交流。
方法1：
生：我们小组想先用绿豆填满不规则图形，然后数出不规则图形中绿豆的数量，估计出一颗绿豆底部的大小，用一颗绿豆的底面积乘绿豆的数量来推测图形面积。
配合学生的回答，教师呈现图3。
讨论：用这个方法做实验，可能会碰到什么困难？
生：豆子很难数。
生：绿豆并不是一个规整的立体，计算底面积有点困难。
方法2：
生：我们小组在前面这组的基础上调整了一下，先将绿豆铺满整个不规则图形，然后不改变这些绿豆的数量，将它们摆成一个长方形，只要测量这个长方形的长和宽，就能算出长方形也就是原来不规则图形的面积了。
配合学生的回答，教师呈现图4。
师：你们觉得这个方法怎么样？
生：我觉得这个方法将不规则图形转化成规则图形，可以更精确，也更方便地算出这个不规则图形的面积。
方法3：
生：我们组的方法是在不规则图形的上空撒下一把绿豆，然后分別数出在长方形里面和不规则图形里面的绿豆的数量，看看两部分数量有怎样的倍数关系，它们的面积也应该具有这样的倍数关系。因为长方形的长和宽可以测量，可以计算出长方形的面积，然后就可以根据倍数关系计算出不规则图形的面积了。
师：这一组采用的是什么方法？
生：用图形中绿豆的数量关系来推测图形的面积关系。
师：你们是怎么想到用撒绿豆这个方法的呢？
生：因为我们盒子里的绿豆很少，不够铺满整个不规则图形，所以我们就想到是不是可以用撒绿豆的方法来研究不规则图形的面积。
师：用这个方法到底能不能求出不规则图形的面积呢？
生：我们可以试一试，做实验。
师：想一想，我们做撒绿豆的实验时，可能会碰到什么问题？
生：绿豆撒得不均匀。
师：怎样才能撒得均匀呢？每个小组拿出绿豆和筐试一试。
3.小组活动与交流。
【设计意图】面对一盒绿豆和一个长方形中的不规则图形，很多学生首先想到的是密铺，也就是方法1，可行但是不太方便。方法2在方法1的基础上有了很大的进步，即利用等积变形，把不规则图形转化成规则图形，这样计算就方便了。得到方法3的小组因为发现绿豆不能铺满整个不规则图形，于是走了另一条路，用撒绿豆的方法通过寻找数量间的关系来推测图形面积间的关系。
（三）小组实验
1.实验要求：（1）撒一撒；（2）数一数；（3）记一记。
2.小组实验。
3.数据汇总。
【设计意图】这一环节意在让学生经历一个完整的实验过程。从实验前的设计、小组合作实验（有的学生负责撒绿豆，有的负责数数，有的负责记录）、数据汇总以及后面的数据分析，这一过程对促进学生的实验意识，感受和理解数学实验的意义很有帮助。
（四）数据分析，初步推断
师：观察这些数据，你有什么发现？又会有什么猜想呢？
生：长方形内绿豆数量是不规则图形内绿豆数量的2倍左右。我猜想长方形的面积是不规则图形面积的2倍左右。
师：通过测量，我们可以发现长方形的长和宽分别是17厘米和12厘米，请大家估计一下不规则图形的面积大约是多少？ 生：17×12÷2≈100（cm2）。
师：这只是我们的一种猜想和推测，猜想是否合理呢？
生：我们可以用分类数和转化算的方法来验证。
【设计意图】对于数学实验来讲，每一个环节都很重要，然而要发现实验和数学知识之间的关系，必须依托于数据分析。当每一组的数据逐步输入excel表中，学生能够逐步感受到数据的魅力所在，同时也在不知不觉中完成了图形几何领域与统计概率领域的跨界，两者结合成功解决实际问题。
（五）验证猜想，得出结论
1.学生活动：用分类数和转化算的方法求不规则图形的面积。
2.交流反馈。
生：我是用分类数的方法得到面积大约是94cm2。
生：我用转化算的方法，得到面积大约是99cm2。
3.得出结论：用撒绿豆的方法，计算出规则图形和不规则图形中绿豆数量的倍数关系，可以推测出这两种图形的面积，然后根据规则图形的面积来求出不规则图形的面积。
4.为了区别于分类数、转化算，这个方法可以取什么名称？（实验估）
5.比较这三种估测不规则图形面积的方法，你有什么想说的？
【设计意图】数学实验，先有猜想，再有實验，最后有验证，学生经历这样一个完整的实验过程，寻找到了新方法，体会数学不同领域之间相互渗透、密切联系，在联系的深处发现意想不到的惊喜，增添了学习的乐趣。对于挑战课初之“不可能完成的任务”，学生一定是收获了数学学习的成功感。
四、教学反思
无论是小学低、中段的学生，还是高段的学生，对于动手实验都是极其喜欢的。相对于数学基础性课程，数学拓展性课程在内容选取上有了更大的空间，因此更有利于培养学生的数学能力，帮助学生积累数学活动经验，在不知不觉中学生发生了变化。
对数学的兴趣在变化。学生喜欢这样的课，得益于所获得知识的未知性以及学习任务的挑战性。撒绿豆这样的实验，是否能够顺利估测出不规则图形的面积，答案不得而知。正因为如此，学生有了更浓厚的兴趣。挑战性越强，未知性越强，学生越有参与的内驱力。
对数学的认识在变化。经历一个实验过程，获得美好的实验感受，叹服于实验的结果，这让学生产生了美妙的感觉，原来数学是这样的神奇，看来毫无关系的两个事件却可以如此紧密地联结在一起，并且相辅相成，相依变化，在一定程度上拓宽了学生的数学视野。
学习新知和解决问题的能力得到了培养。学生的课堂经历是学习的过程，也是学习的目标，通过这样的经历，学生既能学习新知识，更能习得解决问题的办法，“实验—猜想—验证”这个过程本身就是教学目标之一，更何况在这个过程中不同的学生获得了不同的体验，积累了属于自己的数学活动经验。
（浙江省杭州市天长小学 310000）
【关键词】估测 图形面积 数学实验
一、教学内容及设计构想
教学内容：图1中每个小正方形为1平方厘米，估计曲线所围成的图形面积。
版五年级上册第六单元是“多边形的面积”，包括平行四边形、三角形和梯形的面积的学习，之后安排了“估测不规则图形的面积”这一教学内容。在不规则图形的面积这一内容中，教材介绍了两种方法，可以概括为“分类数”和“转化算”。对于估测不规则图形面积这样的学习内容，学生有没有其他方法来解决这个实际问题呢？考虑到实际操作的便捷性，本节课教师为学生提供了绿豆这一实验材料，学生是否能创造出独特的估测方法呢？
二、教学目标
1.巩固用分类数和转化算的方法来估测不规则图形的面积。
2.经历实验、猜想、验证的过程来估测不规则图形的面积，感知数量和面积的关联，体会转化等数学思想，发展创造性思维。
3.感知不同估测方法之间的不同，能根据实际情况选择合理的估测方法。
三、教学实录
（一）提出问题
1.介绍每个小组的实验材料：塑料筐、一盒绿豆。
2.根据下图，你能提出什么数学问题？
3.可以怎样来估测长方形中这个不规则图形的面积？
学生交流：
（1）分类数：将长方形分割成单位面积的小正方形，通过数小正方形的方法估测面积。
（2）转化算：转化成我们已经学过的规则图形来估计面积。
4.明确任务：用一盒绿豆，你能创造出新的方法来估测这个图形的面积吗？
【设计意图】对于学生来讲，估测面积并不是一个新问题，能够顺利地调动已有知识和经验来解决这个问题，但是面对着全新的实验材料“绿豆”，并用此材料估测不规则图形的面积，这是一个有挑战性的任务。很多学生在课的一开始时认为这是一个“不可能完成的任务”，以实验材料的特殊性，激发学生学习的积极性。
（二）探究方法
1.寻找实验方法，分组议一议，也可以利用材料试一试。
2.方法交流。
方法1：
生：我们小组想先用绿豆填满不规则图形，然后数出不规则图形中绿豆的数量，估计出一颗绿豆底部的大小，用一颗绿豆的底面积乘绿豆的数量来推测图形面积。
配合学生的回答，教师呈现图3。
讨论：用这个方法做实验，可能会碰到什么困难？
生：豆子很难数。
生：绿豆并不是一个规整的立体，计算底面积有点困难。
方法2：
生：我们小组在前面这组的基础上调整了一下，先将绿豆铺满整个不规则图形，然后不改变这些绿豆的数量，将它们摆成一个长方形，只要测量这个长方形的长和宽，就能算出长方形也就是原来不规则图形的面积了。
配合学生的回答，教师呈现图4。
师：你们觉得这个方法怎么样？
生：我觉得这个方法将不规则图形转化成规则图形，可以更精确，也更方便地算出这个不规则图形的面积。
方法3：
生：我们组的方法是在不规则图形的上空撒下一把绿豆，然后分別数出在长方形里面和不规则图形里面的绿豆的数量，看看两部分数量有怎样的倍数关系，它们的面积也应该具有这样的倍数关系。因为长方形的长和宽可以测量，可以计算出长方形的面积，然后就可以根据倍数关系计算出不规则图形的面积了。
师：这一组采用的是什么方法？
生：用图形中绿豆的数量关系来推测图形的面积关系。
师：你们是怎么想到用撒绿豆这个方法的呢？
生：因为我们盒子里的绿豆很少，不够铺满整个不规则图形，所以我们就想到是不是可以用撒绿豆的方法来研究不规则图形的面积。
师：用这个方法到底能不能求出不规则图形的面积呢？
生：我们可以试一试，做实验。
师：想一想，我们做撒绿豆的实验时，可能会碰到什么问题？
生：绿豆撒得不均匀。
师：怎样才能撒得均匀呢？每个小组拿出绿豆和筐试一试。
3.小组活动与交流。
【设计意图】面对一盒绿豆和一个长方形中的不规则图形，很多学生首先想到的是密铺，也就是方法1，可行但是不太方便。方法2在方法1的基础上有了很大的进步，即利用等积变形，把不规则图形转化成规则图形，这样计算就方便了。得到方法3的小组因为发现绿豆不能铺满整个不规则图形，于是走了另一条路，用撒绿豆的方法通过寻找数量间的关系来推测图形面积间的关系。
（三）小组实验
1.实验要求：（1）撒一撒；（2）数一数；（3）记一记。
2.小组实验。
3.数据汇总。
【设计意图】这一环节意在让学生经历一个完整的实验过程。从实验前的设计、小组合作实验（有的学生负责撒绿豆，有的负责数数，有的负责记录）、数据汇总以及后面的数据分析，这一过程对促进学生的实验意识，感受和理解数学实验的意义很有帮助。
（四）数据分析，初步推断
师：观察这些数据，你有什么发现？又会有什么猜想呢？
生：长方形内绿豆数量是不规则图形内绿豆数量的2倍左右。我猜想长方形的面积是不规则图形面积的2倍左右。
师：通过测量，我们可以发现长方形的长和宽分别是17厘米和12厘米，请大家估计一下不规则图形的面积大约是多少？ 生：17×12÷2≈100（cm2）。
师：这只是我们的一种猜想和推测，猜想是否合理呢？
生：我们可以用分类数和转化算的方法来验证。
【设计意图】对于数学实验来讲，每一个环节都很重要，然而要发现实验和数学知识之间的关系，必须依托于数据分析。当每一组的数据逐步输入excel表中，学生能够逐步感受到数据的魅力所在，同时也在不知不觉中完成了图形几何领域与统计概率领域的跨界，两者结合成功解决实际问题。
（五）验证猜想，得出结论
1.学生活动：用分类数和转化算的方法求不规则图形的面积。
2.交流反馈。
生：我是用分类数的方法得到面积大约是94cm2。
生：我用转化算的方法，得到面积大约是99cm2。
3.得出结论：用撒绿豆的方法，计算出规则图形和不规则图形中绿豆数量的倍数关系，可以推测出这两种图形的面积，然后根据规则图形的面积来求出不规则图形的面积。
4.为了区别于分类数、转化算，这个方法可以取什么名称？（实验估）
5.比较这三种估测不规则图形面积的方法，你有什么想说的？
【设计意图】数学实验，先有猜想，再有實验，最后有验证，学生经历这样一个完整的实验过程，寻找到了新方法，体会数学不同领域之间相互渗透、密切联系，在联系的深处发现意想不到的惊喜，增添了学习的乐趣。对于挑战课初之“不可能完成的任务”，学生一定是收获了数学学习的成功感。
四、教学反思
无论是小学低、中段的学生，还是高段的学生，对于动手实验都是极其喜欢的。相对于数学基础性课程，数学拓展性课程在内容选取上有了更大的空间，因此更有利于培养学生的数学能力，帮助学生积累数学活动经验，在不知不觉中学生发生了变化。
对数学的兴趣在变化。学生喜欢这样的课，得益于所获得知识的未知性以及学习任务的挑战性。撒绿豆这样的实验，是否能够顺利估测出不规则图形的面积，答案不得而知。正因为如此，学生有了更浓厚的兴趣。挑战性越强，未知性越强，学生越有参与的内驱力。
对数学的认识在变化。经历一个实验过程，获得美好的实验感受，叹服于实验的结果，这让学生产生了美妙的感觉，原来数学是这样的神奇，看来毫无关系的两个事件却可以如此紧密地联结在一起，并且相辅相成，相依变化，在一定程度上拓宽了学生的数学视野。
学习新知和解决问题的能力得到了培养。学生的课堂经历是学习的过程，也是学习的目标，通过这样的经历，学生既能学习新知识，更能习得解决问题的办法，“实验—猜想—验证”这个过程本身就是教学目标之一，更何况在这个过程中不同的学生获得了不同的体验，积累了属于自己的数学活动经验。
（浙江省杭州市天长小学 310000）