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摘 要：针对VaR和CvaR方法的局限性，运用GARCH及其衍生模型，以深沪300指数为例，计算出其VaR值，并对模型计算出的结果进行对比，以及事后检验。结果发现，该模型能有效地刻画出指数的风险情况。
关键词：风险投资组合；GARCH；VaR
如今，经济全球化与经济一体化使得各国的经济交流的日益密切，国际金融市场的风险也越来越大。如何实现合理有效的金融市场风险的管理与度量，也便成为了世界各国金融研究的新方向。
Engle于1982年提出了ARCH模型，使用自回归的方法提取误差平方序列中蕴含的相关信息。由于此方法存在一些不足，T.Bollerslev在1986年提出了改进方法——GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型基础上，对误差的方差进行了进一步的建模。GARCH模型十分适用于波动性的分析、预测，对金融投资者的决策起到非常重要的指导性作用。
一、 VaR的定义及其计算方法
1. VaR的一般计算方法
Jorion认为VaR是给定置信水平和目标时段下预期的最大损失。VaR的定义：VaR1-α（X）=-inf{x|P[Xα}。
其中VaR1-α（X）表示1-α置信水平下的VaR值，X是金融资产的损益。
考虑一个证券组合，假设p0为证券的初始价值，p是从初始状态开始后某一时刻的价值，R是持有期内投资的收益率，p*是证券的最低价值。
那么相对VaR的计算方法：
VaRR=E（p）-p*=-p0（R*-μ）。（1）
R*是证券的最低收益率。
绝对VaR的计算方法：
VaRA=p0-p=-p0R*。（2）
假定收益率服从正态分布的，即R～N（μ，σ2Δt），则R-μσ2Δt～N（0，1）。那么由ΦR*-μσ2Δt=Φ（-Zα）得到：
R*=-ZασΔt μ。（3）
其中Zα是在显著性水平α下对应的α分位数。将上式代入到（1）、（2）式中，得到
VaRR=-p0（R*-μ）=p0ZασΔt。（4）
VaRA=-p0R*=p0（ZασΔt-μ）。（5）
在实际计算中通常用（4）式计算VaR值。
2. GARCH模型下VaR计算方法
GARCH模型结构如下：
xt=f（t，xt-1，xt-2，…） εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j（6）
式中，f（t，xt-1，xt-2，…）为{xt}的确定性信息拟合模型；et～N（0，σ2）。这个模型简记为GARCH（p，q）。
限制要求是：
ω>0，αi≥0，βj≥0。（7）
∑qi=1αi ∑pj=1βj<1。（8）
将算得的方差和分位数代入之前计算VaR的公式即可算出VaR值。
3. GARCH衍生模型下VaR計算方法
由1.3可知，GARCH模型的强约束在一定程度上限制了GARCH模型的使用范围。为拓宽GARCH模型的使用范围，构造了GARCH的衍生模型。
（1） 指数GARCH模型（EGARCH）
xt=f（t，xt-1，xt-2，…） εt
εt=htet （9）
lnσt2=α0 ∑qi=1αiεt-1σ2t-i φiεt-iσ2t-i
∑pj=1βjlnσ2t-j
（2） TARCH模型
xt=ft，xt-1，xt-2，… εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j φε2t-1dt-1（10）
其中
dt=1，εt<0
0，其他（11）
（3） GARCH-M模型
xt=ft，xt-1，xt-2，… δσt2 εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j（12）
在实际应用中，我们将根据数据特点选择恰当的模型进行拟合。
二、 沪深300综合指数VaR计算
沪深300指数，是由沪深证券交易所于2005年4月8日联合发布的反映沪深300指数编制目标和运行状况，并能够作为投资业绩的评价标准，为指数化投资和指数衍生产品创新提供基础条件。
本文的实例分析采用的是2005年到2012年（2005年5月18日至2012年3月30日）沪深300指数。
1. 基本检验
上证指数收益率以对数收益率形式即：
Rt=ln（Ct）-ln（Ct-1）。（13）
其中，Ct是t时刻的收盘价，Ct-1是t-1时刻的收盘价。
由数据可知，收益率在大部分时候是平稳的，但会在某些时段波动较大，这体现了集群效应。根据软件Eviews可以得到下表的上证指数收益率统计量，可以得到，峰度系数为5.448760，偏度系数为-0.392503，即不符合正态分布，而且收益率序列存在明显的尖峰后尾性。采用ADF检验来检验上证指数收益率序列的平稳性，从其检验结果中可以发现ADF检验的t统计量值为-40.30077，明显小于显著性水平为1%的t统计量值-3.434004。根据ADF检验，所以可以说在99%的置信度下拒绝原假设，即收益率序列是平稳的。我们通过白噪声检验可知收益率序列不是白噪声序列。异方差性说明序列可以用异方差条件模型进行估计和预测。 2. GARCH模型计算VaR
通过统计软件Eviews，可以估计出各个模型的参数以及对应的p值。
从上表可以看到，相比之下EGARCH（1，1）模型的各项参数的p值都小于0.05，其他模型的个别参数的p值比较大，所以可以认为EGARCH（1，1）模型是最理想的拟合模型。
3. GARCH类模型的事后检验
根据Kupiec在1995年提出的失败率检验法，再结合Eviews可以筛选出GARCH类模型的失败数，从而计算出失败率。
先根据从Eviews导出的各个模型VaR值序列进行统计，得到失效个数然后得到失效率。从表2-3中可以看出，置信水平越高，得到的失效数和失效率就越小。针对各个模型的失效数和失效率也相差不大。
检验结果显示，在各个置信水平下失败率均略大于显著性水平，表示采用正态分布假设下得到的VaR比较大，高估了风险。
三、 结论
在市场处于较为平稳的状态时，能够用GARCH及其衍生模型预测出VaR。但是在市场出现较大波动时，很难用模型估计和预测出VaR。
该上证指数收益率有“尖峰厚尾”和聚集现象，不服从正态分布。风险对收益率的影响不显著，投资者对该指数收益率下跌的反映往往高于相同程度收益率上涨的反映，即收益率的下跌对市场的影响更大。
参考文献：
[1]黎子良，邢海鹏.金融市场中的统计模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]柯珂.ARCH模型族的建模研究[D].天津：天津大学，2000：4-7.
[3]Philippe Jorion，乔瑞.VAR：风险价值[M].北京：中信出版社，2000.
[4]徐国祥.金融统计学[M].上海：格致出版社，上海人民出版社，2009：247-249.
[5]刘志东.资产组合风险度量与选择优化：理论分析与实证研究[M].北京：中国财政经济出版社，2008：26-36.
[6]郑文芳.基于GARCH模型的外汇风险度量中VaR的测度研究[J].中南财经政法大学研究生学报，2015，（2）：1-5.
[7]许启发.投资组合动态VaR风险度量[J].统计与信息论坛，2008，（6）.
[8]王燕.应用时间序列分析[M].北京：中国人民大学出版社，2012.
[9]魏捷，王冬梅，李威.基于GARCH模型的上证综合指數VaR计算[J].统计与决策，2010，（23）.
[10]高莹，靳莉莉.沪深300指数对世界主要股票指数的关联性分析[J].东北大学工商管理学院，2007：1-3.
作者简介：
向君幸，陈丽，王晓彤，北京市中国矿业大学（北京）理学院。
关键词：风险投资组合；GARCH；VaR
如今，经济全球化与经济一体化使得各国的经济交流的日益密切，国际金融市场的风险也越来越大。如何实现合理有效的金融市场风险的管理与度量，也便成为了世界各国金融研究的新方向。
Engle于1982年提出了ARCH模型，使用自回归的方法提取误差平方序列中蕴含的相关信息。由于此方法存在一些不足，T.Bollerslev在1986年提出了改进方法——GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型基础上，对误差的方差进行了进一步的建模。GARCH模型十分适用于波动性的分析、预测，对金融投资者的决策起到非常重要的指导性作用。
一、 VaR的定义及其计算方法
1. VaR的一般计算方法
Jorion认为VaR是给定置信水平和目标时段下预期的最大损失。VaR的定义：VaR1-α（X）=-inf{x|P[X
其中VaR1-α（X）表示1-α置信水平下的VaR值，X是金融资产的损益。
考虑一个证券组合，假设p0为证券的初始价值，p是从初始状态开始后某一时刻的价值，R是持有期内投资的收益率，p*是证券的最低价值。
那么相对VaR的计算方法：
VaRR=E（p）-p*=-p0（R*-μ）。（1）
R*是证券的最低收益率。
绝对VaR的计算方法：
VaRA=p0-p=-p0R*。（2）
假定收益率服从正态分布的，即R～N（μ，σ2Δt），则R-μσ2Δt～N（0，1）。那么由ΦR*-μσ2Δt=Φ（-Zα）得到：
R*=-ZασΔt μ。（3）
其中Zα是在显著性水平α下对应的α分位数。将上式代入到（1）、（2）式中，得到
VaRR=-p0（R*-μ）=p0ZασΔt。（4）
VaRA=-p0R*=p0（ZασΔt-μ）。（5）
在实际计算中通常用（4）式计算VaR值。
2. GARCH模型下VaR计算方法
GARCH模型结构如下：
xt=f（t，xt-1，xt-2，…） εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j（6）
式中，f（t，xt-1，xt-2，…）为{xt}的确定性信息拟合模型；et～N（0，σ2）。这个模型简记为GARCH（p，q）。
限制要求是：
ω>0，αi≥0，βj≥0。（7）
∑qi=1αi ∑pj=1βj<1。（8）
将算得的方差和分位数代入之前计算VaR的公式即可算出VaR值。
3. GARCH衍生模型下VaR計算方法
由1.3可知，GARCH模型的强约束在一定程度上限制了GARCH模型的使用范围。为拓宽GARCH模型的使用范围，构造了GARCH的衍生模型。
（1） 指数GARCH模型（EGARCH）
xt=f（t，xt-1，xt-2，…） εt
εt=htet （9）
lnσt2=α0 ∑qi=1αiεt-1σ2t-i φiεt-iσ2t-i
∑pj=1βjlnσ2t-j
（2） TARCH模型
xt=ft，xt-1，xt-2，… εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j φε2t-1dt-1（10）
其中
dt=1，εt<0
0，其他（11）
（3） GARCH-M模型
xt=ft，xt-1，xt-2，… δσt2 εt
εt=htet
σt2=α0 ∑qi=1αiε2t-i ∑pj=1βjσ2t-j（12）
在实际应用中，我们将根据数据特点选择恰当的模型进行拟合。
二、 沪深300综合指数VaR计算
沪深300指数，是由沪深证券交易所于2005年4月8日联合发布的反映沪深300指数编制目标和运行状况，并能够作为投资业绩的评价标准，为指数化投资和指数衍生产品创新提供基础条件。
本文的实例分析采用的是2005年到2012年（2005年5月18日至2012年3月30日）沪深300指数。
1. 基本检验
上证指数收益率以对数收益率形式即：
Rt=ln（Ct）-ln（Ct-1）。（13）
其中，Ct是t时刻的收盘价，Ct-1是t-1时刻的收盘价。
由数据可知，收益率在大部分时候是平稳的，但会在某些时段波动较大，这体现了集群效应。根据软件Eviews可以得到下表的上证指数收益率统计量，可以得到，峰度系数为5.448760，偏度系数为-0.392503，即不符合正态分布，而且收益率序列存在明显的尖峰后尾性。采用ADF检验来检验上证指数收益率序列的平稳性，从其检验结果中可以发现ADF检验的t统计量值为-40.30077，明显小于显著性水平为1%的t统计量值-3.434004。根据ADF检验，所以可以说在99%的置信度下拒绝原假设，即收益率序列是平稳的。我们通过白噪声检验可知收益率序列不是白噪声序列。异方差性说明序列可以用异方差条件模型进行估计和预测。 2. GARCH模型计算VaR
通过统计软件Eviews，可以估计出各个模型的参数以及对应的p值。
从上表可以看到，相比之下EGARCH（1，1）模型的各项参数的p值都小于0.05，其他模型的个别参数的p值比较大，所以可以认为EGARCH（1，1）模型是最理想的拟合模型。
3. GARCH类模型的事后检验
根据Kupiec在1995年提出的失败率检验法，再结合Eviews可以筛选出GARCH类模型的失败数，从而计算出失败率。
先根据从Eviews导出的各个模型VaR值序列进行统计，得到失效个数然后得到失效率。从表2-3中可以看出，置信水平越高，得到的失效数和失效率就越小。针对各个模型的失效数和失效率也相差不大。
检验结果显示，在各个置信水平下失败率均略大于显著性水平，表示采用正态分布假设下得到的VaR比较大，高估了风险。
三、 结论
在市场处于较为平稳的状态时，能够用GARCH及其衍生模型预测出VaR。但是在市场出现较大波动时，很难用模型估计和预测出VaR。
该上证指数收益率有“尖峰厚尾”和聚集现象，不服从正态分布。风险对收益率的影响不显著，投资者对该指数收益率下跌的反映往往高于相同程度收益率上涨的反映，即收益率的下跌对市场的影响更大。
参考文献：
[1]黎子良，邢海鹏.金融市场中的统计模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]柯珂.ARCH模型族的建模研究[D].天津：天津大学，2000：4-7.
[3]Philippe Jorion，乔瑞.VAR：风险价值[M].北京：中信出版社，2000.
[4]徐国祥.金融统计学[M].上海：格致出版社，上海人民出版社，2009：247-249.
[5]刘志东.资产组合风险度量与选择优化：理论分析与实证研究[M].北京：中国财政经济出版社，2008：26-36.
[6]郑文芳.基于GARCH模型的外汇风险度量中VaR的测度研究[J].中南财经政法大学研究生学报，2015，（2）：1-5.
[7]许启发.投资组合动态VaR风险度量[J].统计与信息论坛，2008，（6）.
[8]王燕.应用时间序列分析[M].北京：中国人民大学出版社，2012.
[9]魏捷，王冬梅，李威.基于GARCH模型的上证综合指數VaR计算[J].统计与决策，2010，（23）.
[10]高莹，靳莉莉.沪深300指数对世界主要股票指数的关联性分析[J].东北大学工商管理学院，2007：1-3.
作者简介：
向君幸，陈丽，王晓彤，北京市中国矿业大学（北京）理学院。