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摘 要：高中数学教材中有许多题目，求解的方法、思路都不难，但学生在解题时，往往会忽略对某些特殊情形的讨论，而造成解题的疏漏. 因此，命题者在编制题目时不仅会考查学生的基础知识，同时也会“别有用心”的设置一些“陷阱”来考查学生思维的缜密性、严谨性. 若学生未能注意到或没能抓住问题的本质，没看清问题的“真面目”就会一次次地掉入“陷阱”，产生错误，耗时耗力，从而降低得分率. 本文结合教学体会和学生在练习中错误率较高的题目加以剖析.
关键词：易错知识点；剖析反思；纠错策略
作为一线的高中数学教师，我们都会有这样的感触：学生对数学公式能了如指掌，题型能熟记于心，但考试却不一定能答对题目，取得高分. 这是因为在高中数学教材的题目中有一些易错题总是让学生混淆、漏解从而导致错误. 因此，在教学中教师对于易错题的教学要找准方法、认清思路，从学生的错误思路点中切入，让学生通过错题发现问题本质. 现将高中数学中学生出现频率比较高的易错题整理归纳出来进行分析思考，调整教学方法，反思教学手段，争取使每位学生能抓住问题本质，顺利解题.
易错知识点归纳分析
（一）忽略空集的特性
剖析：由于空集是任何非空集合的真子集，对于集合N?M，就有N≠ ，N= ，N=M三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了N= 这种情况，导致解题结果错误. 尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况. 空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面. 因此本题中N= 也是成立的，故正确答案应为m∈
（二）混淆截距与距离概念
求经过点P（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
错解1：由题义可设直线方程为 =1（a≠0），将点P坐标代入易求得a=3，即直线方程为x y=3.
错解2：由题义可设直线方程为 =1（a≠0），将点P坐标代入易求得a= ±3，即直线方程为x y=3或x y=-3.
剖析：对于本题，错解1中学生知道直线截距式的方程，但理解不深刻. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为 =1（a≠0），但不要忘记当a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形. 所以此题还有一解y=x. 错解2中学生很容易将截距与距离两个概念混淆，距离是非负数，而截距可正、可负、可为零. 对于概念性题目，要加强理解与辨析.
（三）缺少分类讨论
1. 若函数f（x）=mx2 mx 1，对?x∈R，f（x）>0恒成立，求m的取值范围.
错解：当m>0且Δ=m2-4m<0时，即m∈（0，4）满足题义.
剖析：对于这类题目，很多学生就会不假思索直接把函数f（x）=mx2 mx 1当成二次函数对待，用Δ去求解，根本就不去考虑f（x）是否为二次函数. 究其原因学生在平时没注意一些细节问题，对于二次函数f（x）=ax2 bx c中，一定要有a≠0这个隐含条件. 忽略了这个条件自然而然解出的答案就是错误的. 因此，在教学中告诫学生注意式子成立的条件和范围就显得尤为重要. 同样在教材中还有很多这样的例子如：求焦点在x轴上的椭圆，用待定系数可设 =1，应紧接着写出满足的条件a>b>0，这样才保证焦点在x轴上.所以对于此题目还漏了一解m=0时，1>0也恒成立. 综上m∈[0，4）.
2. 设Sn等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
错解：S3=，S9=，S6=.
因为S3 S6=2S9，所以有 =2，化简得：
a1q3 a1q6=2a1q9，两边同时除以q2得：a1q a1q4=2a1q7，即a2，a8，a5成等差数列.
剖析：用等比数列求和公式应分为Sn=（q≠1）及Sn=na1（q=1）；而学生经常是题目一看就动手将数据带入公式Sn=进行计算，忘记了公式成立的条件，因而错误也就自然而然地产生了. 事实上当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，因为S3 S6=2S9，所以有3a1 6a1=18a1，而此式不成立，即q≠1，然后才能将数据带入公式Sn=（q≠1）中进行计算证明.
（四）Δ引发的错误
（1）忽略Δ，导致错误
剖析：很多学生做到这里都会觉得这是对的，直线的斜率是存在的，并且也求出来了，事实上学生遗忘了本题的一个隐含的前提条件那就是直线与双曲线有两个交点，所以在解出k的值的同时还要去检验.
联立两方程2x-y-1=0，
2x2-y2=2，消去y得到2x2-4x 3=0，
所以Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0. 直线与双曲线不相交，故直线不存在.
（2）误用Δ导致错误
求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.
错解：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx 1，则它与抛物线的交点为
y=kx 1，
y2=2x，消去y得（kx 1）2-2x=0，整理得k2x2 （2k-2）x 1=0.
因为直线与抛物线仅有一个交点，所以Δ=0解得k=，所求直线为y=x 1.
剖析：此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y=kx 1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况. 原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透. 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没做考虑，表现出思维不严密.
正确解法：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直（0，1）轴，因为过点（0，1），所以x=0即y轴，它正好与抛物线y2=2x相切.
②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个交点.
③一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx 1（k≠0），则y=kx 1，
点评：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的取值范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解. （1）当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x=1也符合题意. 所以直线l的方程为3x-4y 5=0和x=1.
（六）未注意条件不等价
已知a=（1，-2），b=（-1，λ），且a与b的夹角θ是钝角，则实数λ的取值范围是_________.
错解：由题意得：θ是钝角，a·b=a·bcosθ，所以a·b<0. 计算得λ>-.
剖析：此题的转化条件并不等价，a与b的夹角θ是钝角，所以a·b<0是正确的，但a·b<0时，a与b的夹角θ不一定是钝角，当θ=180°时，cosθ=-1<0，此时θ是平角.所以解决此题的充要条件为a·b<0，
反思与纠错
（一）教师——授之以鱼，不如授之以渔
对于上述问题，教师与其反复强调学生要注意“陷阱”（强调后还是会有少部分学生做错），不如自己静下心来好好反思为什么会出现这样一种状况，是学生记不住，还是自己的教学方法有问题. 如何改变这种现象，教师要做到精心备课，精彩上课. 通过一节专题研究课，先把问题暴露给学生，让学生自行讨论，合作探究，悟出问题所在. 然后教师再对这些问题进行更深层次的剖析，展示问题的本质，学生易错的关键，以及如何思考，如何入手，教会学生解决这一类易错题的方法、思路. 同时精选一些类似题目让学生当堂训练，巩固知识，熟练题型和方法.最后再用不间断的滚动练习来加深学生对这些易错知识点的回顾与反思，增强学生的有意注意，提升对问题的辨别能力和解决能力，这样学生就会淡然面对，从容解题.
（二）学生——知己知彼，百战不殆.
学生平时要做“有心人”，对于这些常见的错题，上课一定要认真听教师讲解，题目的本质是什么，问题在哪里，关键的解题切入点是如何想到的，教师的思路是什么，教师为什么会考虑得周全，对比自己的思路缺陷在什么地方，如何避免等等. 经常反思这些问题，把它们弄懂，久而久之，自己的思维能力就会提升，看到题目后解题的思路就会在大脑中闪现出来，解题的方法就会更具科学性，减少了盲目性，大大增强了分析问题、解决问题的能力. 同时课后再将这些易错知识点记入“错题集”，经常翻阅，总结反思. 在做题时，头脑中先过一遍这些易错知识点，绷紧头脑中的“细心”那根弦，注意力稍加集中，那么无论命题者如何去巧妙、“别有用心”地设计“陷阱”，我们都可以准确辨别，顺利求出正确答案.
关键词：易错知识点；剖析反思；纠错策略
作为一线的高中数学教师，我们都会有这样的感触：学生对数学公式能了如指掌，题型能熟记于心，但考试却不一定能答对题目，取得高分. 这是因为在高中数学教材的题目中有一些易错题总是让学生混淆、漏解从而导致错误. 因此，在教学中教师对于易错题的教学要找准方法、认清思路，从学生的错误思路点中切入，让学生通过错题发现问题本质. 现将高中数学中学生出现频率比较高的易错题整理归纳出来进行分析思考，调整教学方法，反思教学手段，争取使每位学生能抓住问题本质，顺利解题.
易错知识点归纳分析
（一）忽略空集的特性
剖析：由于空集是任何非空集合的真子集，对于集合N?M，就有N≠ ，N= ，N=M三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了N= 这种情况，导致解题结果错误. 尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况. 空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面. 因此本题中N= 也是成立的，故正确答案应为m∈
（二）混淆截距与距离概念
求经过点P（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
错解1：由题义可设直线方程为 =1（a≠0），将点P坐标代入易求得a=3，即直线方程为x y=3.
错解2：由题义可设直线方程为 =1（a≠0），将点P坐标代入易求得a= ±3，即直线方程为x y=3或x y=-3.
剖析：对于本题，错解1中学生知道直线截距式的方程，但理解不深刻. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为 =1（a≠0），但不要忘记当a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形. 所以此题还有一解y=x. 错解2中学生很容易将截距与距离两个概念混淆，距离是非负数，而截距可正、可负、可为零. 对于概念性题目，要加强理解与辨析.
（三）缺少分类讨论
1. 若函数f（x）=mx2 mx 1，对?x∈R，f（x）>0恒成立，求m的取值范围.
错解：当m>0且Δ=m2-4m<0时，即m∈（0，4）满足题义.
剖析：对于这类题目，很多学生就会不假思索直接把函数f（x）=mx2 mx 1当成二次函数对待，用Δ去求解，根本就不去考虑f（x）是否为二次函数. 究其原因学生在平时没注意一些细节问题，对于二次函数f（x）=ax2 bx c中，一定要有a≠0这个隐含条件. 忽略了这个条件自然而然解出的答案就是错误的. 因此，在教学中告诫学生注意式子成立的条件和范围就显得尤为重要. 同样在教材中还有很多这样的例子如：求焦点在x轴上的椭圆，用待定系数可设 =1，应紧接着写出满足的条件a>b>0，这样才保证焦点在x轴上.所以对于此题目还漏了一解m=0时，1>0也恒成立. 综上m∈[0，4）.
2. 设Sn等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.
错解：S3=，S9=，S6=.
因为S3 S6=2S9，所以有 =2，化简得：
a1q3 a1q6=2a1q9，两边同时除以q2得：a1q a1q4=2a1q7，即a2，a8，a5成等差数列.
剖析：用等比数列求和公式应分为Sn=（q≠1）及Sn=na1（q=1）；而学生经常是题目一看就动手将数据带入公式Sn=进行计算，忘记了公式成立的条件，因而错误也就自然而然地产生了. 事实上当q=1时，S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，因为S3 S6=2S9，所以有3a1 6a1=18a1，而此式不成立，即q≠1，然后才能将数据带入公式Sn=（q≠1）中进行计算证明.
（四）Δ引发的错误
（1）忽略Δ，导致错误
剖析：很多学生做到这里都会觉得这是对的，直线的斜率是存在的，并且也求出来了，事实上学生遗忘了本题的一个隐含的前提条件那就是直线与双曲线有两个交点，所以在解出k的值的同时还要去检验.
联立两方程2x-y-1=0，
2x2-y2=2，消去y得到2x2-4x 3=0，
所以Δ=（-4）2-4×2×3=-8<0. 直线与双曲线不相交，故直线不存在.
（2）误用Δ导致错误
求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个交点.
错解：设所求的过点（0，1）的直线为y=kx 1，则它与抛物线的交点为
y=kx 1，
y2=2x，消去y得（kx 1）2-2x=0，整理得k2x2 （2k-2）x 1=0.
因为直线与抛物线仅有一个交点，所以Δ=0解得k=，所求直线为y=x 1.
剖析：此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y=kx 1时，没有考虑k=0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的.
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况. 原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透. 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k≠0，而上述解法没做考虑，表现出思维不严密.
正确解法：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直（0，1）轴，因为过点（0，1），所以x=0即y轴，它正好与抛物线y2=2x相切.
②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行x轴，它正好与抛物线y2=2x只有一个交点.
③一般地，设所求的过点（0，1）的直线为y=kx 1（k≠0），则y=kx 1，
点评：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的取值范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解. （1）当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x=1也符合题意. 所以直线l的方程为3x-4y 5=0和x=1.
（六）未注意条件不等价
已知a=（1，-2），b=（-1，λ），且a与b的夹角θ是钝角，则实数λ的取值范围是_________.
错解：由题意得：θ是钝角，a·b=a·bcosθ，所以a·b<0. 计算得λ>-.
剖析：此题的转化条件并不等价，a与b的夹角θ是钝角，所以a·b<0是正确的，但a·b<0时，a与b的夹角θ不一定是钝角，当θ=180°时，cosθ=-1<0，此时θ是平角.所以解决此题的充要条件为a·b<0，
反思与纠错
（一）教师——授之以鱼，不如授之以渔
对于上述问题，教师与其反复强调学生要注意“陷阱”（强调后还是会有少部分学生做错），不如自己静下心来好好反思为什么会出现这样一种状况，是学生记不住，还是自己的教学方法有问题. 如何改变这种现象，教师要做到精心备课，精彩上课. 通过一节专题研究课，先把问题暴露给学生，让学生自行讨论，合作探究，悟出问题所在. 然后教师再对这些问题进行更深层次的剖析，展示问题的本质，学生易错的关键，以及如何思考，如何入手，教会学生解决这一类易错题的方法、思路. 同时精选一些类似题目让学生当堂训练，巩固知识，熟练题型和方法.最后再用不间断的滚动练习来加深学生对这些易错知识点的回顾与反思，增强学生的有意注意，提升对问题的辨别能力和解决能力，这样学生就会淡然面对，从容解题.
（二）学生——知己知彼，百战不殆.
学生平时要做“有心人”，对于这些常见的错题，上课一定要认真听教师讲解，题目的本质是什么，问题在哪里，关键的解题切入点是如何想到的，教师的思路是什么，教师为什么会考虑得周全，对比自己的思路缺陷在什么地方，如何避免等等. 经常反思这些问题，把它们弄懂，久而久之，自己的思维能力就会提升，看到题目后解题的思路就会在大脑中闪现出来，解题的方法就会更具科学性，减少了盲目性，大大增强了分析问题、解决问题的能力. 同时课后再将这些易错知识点记入“错题集”，经常翻阅，总结反思. 在做题时，头脑中先过一遍这些易错知识点，绷紧头脑中的“细心”那根弦，注意力稍加集中，那么无论命题者如何去巧妙、“别有用心”地设计“陷阱”，我们都可以准确辨别，顺利求出正确答案.