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摘 要:重视创新意识和实践能力的培养,考查学生探究能力和解决实际问题的能力,是进一步深化数学高考改革的重要方面,所以在平时教学中要注重培养学生创新意识和实践能力,增强数学的应用意识,逐步学会用已有的数学知识去解决新的数学问题,学会将实际问题抽象为数学问题,并加以解决,加强解决创新型问题、探索型问题及其应用型问题能力.
关键词:试题;新课标;应用题;评价
2014年高考江苏数学试卷的第18题是一个应用性问题,命题坚持新课标倡导的“源于生活,应用数学,既是应用,又是数学”的原则,设计新颖,深入浅出,图文并茂,通俗易懂,具有很好的教学引导性和命题示范性.
[?] 考题再现与解答
如图1所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m,经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长:
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
分析:(1)本题主要考查函数的建模及最值的应用,涉及直线方程、交点坐标、两点间距离、点到直线距离,综合性较强. 解决问题首先要建立适当坐标系,然后写出直线AB,BC方程,即可求出B的坐标;(2)利用古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m,列出不等式组,求出OM长的取值范围,即可求出圆形保护区的面积最大值.
解法一:
(1)如图2所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系xOy.
[东][北][C][A][B][O][M][60m][170m]
图2
由条件知A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.
又因为AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a,b),
则kBC==-,kAB==,
解得a=80,b=120,
所以BC==150. 因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).
由条件知, 直线BC的方程为y=-·(x-170),
即4x 3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,
故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以r-d≥80,
r-(60-d)≥80,
即
-d≥80,
-(60-d)≥80,
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大, 即圆面积最大,
所以当OM=10 m时, 圆形保护区的面积最大.
[?] 考题品读与评析
1. 应用情境的公平性
由于古物是祖先留给我们的无价之宝,是金钱买不到的. 经过多少年的风风雨雨,流传至今的古物相对来说已经不多了,而且随着时间的推移,能够留传于世的文物会越来越少,所以文物十分珍贵,我们也应该爱护文物. 本题以“保护河上古桥”为应用情境颇具时代气息,为广大考生所熟悉,从生产到生活,可以说是家喻户晓、老幼皆知的. 有着较好的现实性、普遍性、公平性和考生的可接受性.
2. 题设条件的数学美
考题以“保护河上古桥”为应用情境,让学生浮想联翩:淫雨霏霏,小河湾处,古桥横卧,流水环环,舟楫鳞集……
考题涉及圆、直线等解析几何元素,与河上古桥相辅相成,相映成趣,组成一幅优美的数学图形,增加了数学应用的美感和诗的意境美,这不仅可以培养考生审美能力,还可唤醒他们对数学的美好情感.
3. 解题思路的灵活性
从解题的角度审视,本题从不同的思维角度切入,可以得到不同的解题路径,反映出不同的思维角度,引发各种不同的解法,展示考生各种能力,为考生创新思维的发挥提供了表现的舞台.
[?] 考题解法与探究
除了上述给出的解法以外,本题还可用以下方法进行处理.
解法二:(平面几何法)
(1)如图3所示,过点B作BE⊥OC于点E,过点A作AF⊥BE于点F.
因为tan∠BCO=,
设BC=5x,CE=3x,BE=4x,
所以OE=AF=170-3x,EF=AO=60,BF=4x-60.
又因为AB⊥BC,且∠BAF ∠ABF=90°,∠CBE ∠BCO=90°,
所以∠CBE ∠ABF=90°,
所以∠BAF ∠BCO=90°.
所以tan∠BAF===,
所以x=30,BC=5x=150 m,
所以新桥BC的长为150 m.
[东][北][C][A][B][O][M][60m][170m][F][E]
图3
(2)下同解法一
解法三:(三角函数定义法)
(1)如图4所示, 延长OA,CB交于点F.
[东][北][C][A][B][O][D][60m][170m][M][F]
图4
因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=, cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,
从而AF=OF-OA=.
因为OA⊥OC,
所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因为AB⊥BC,
所以BF=AFcos∠AFB=,
从而BC=CF-BF=150,因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,
所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO====,
所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以r-d≥80,
r-(60-d)≥80,
即
-d≥80,
-(60-d)≥80,
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.
新课程改革注重理论与实践结合、书本与生活结合,体现活生生情景设计问题,要求学生能够解决实际问题. 本题关注社会热点问题,较好地体现了现代社会对数学教育的需求,情境新颖、形态鲜活;本题采用“以能力立意”的命题思想,注重多种知识的交汇,集几何、代数、三角、不等式于一体,着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质,使新课标所倡导“多样性、交叉性、纵向不深、横向拓宽” 的命题要求得以充分的体现;本题突出高考的选拔功能,具有较好的准确度、可信度、难易度和高考录取的区分度,是一道难得的好试题.
关键词:试题;新课标;应用题;评价
2014年高考江苏数学试卷的第18题是一个应用性问题,命题坚持新课标倡导的“源于生活,应用数学,既是应用,又是数学”的原则,设计新颖,深入浅出,图文并茂,通俗易懂,具有很好的教学引导性和命题示范性.
[?] 考题再现与解答
如图1所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m,经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长:
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
分析:(1)本题主要考查函数的建模及最值的应用,涉及直线方程、交点坐标、两点间距离、点到直线距离,综合性较强. 解决问题首先要建立适当坐标系,然后写出直线AB,BC方程,即可求出B的坐标;(2)利用古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m,列出不等式组,求出OM长的取值范围,即可求出圆形保护区的面积最大值.
解法一:
(1)如图2所示,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系xOy.
图2
由条件知A(0,60),C(170,0),
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.
又因为AB⊥BC, 所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a,b),
则kBC==-,kAB==,
解得a=80,b=120,
所以BC==150. 因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).
由条件知, 直线BC的方程为y=-·(x-170),
即4x 3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,
故点M(0,d)到直线BC的距离是r,
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以r-d≥80,
r-(60-d)≥80,
即
-d≥80,
-(60-d)≥80,
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大, 即圆面积最大,
所以当OM=10 m时, 圆形保护区的面积最大.
[?] 考题品读与评析
1. 应用情境的公平性
由于古物是祖先留给我们的无价之宝,是金钱买不到的. 经过多少年的风风雨雨,流传至今的古物相对来说已经不多了,而且随着时间的推移,能够留传于世的文物会越来越少,所以文物十分珍贵,我们也应该爱护文物. 本题以“保护河上古桥”为应用情境颇具时代气息,为广大考生所熟悉,从生产到生活,可以说是家喻户晓、老幼皆知的. 有着较好的现实性、普遍性、公平性和考生的可接受性.
2. 题设条件的数学美
考题以“保护河上古桥”为应用情境,让学生浮想联翩:淫雨霏霏,小河湾处,古桥横卧,流水环环,舟楫鳞集……
考题涉及圆、直线等解析几何元素,与河上古桥相辅相成,相映成趣,组成一幅优美的数学图形,增加了数学应用的美感和诗的意境美,这不仅可以培养考生审美能力,还可唤醒他们对数学的美好情感.
3. 解题思路的灵活性
从解题的角度审视,本题从不同的思维角度切入,可以得到不同的解题路径,反映出不同的思维角度,引发各种不同的解法,展示考生各种能力,为考生创新思维的发挥提供了表现的舞台.
[?] 考题解法与探究
除了上述给出的解法以外,本题还可用以下方法进行处理.
解法二:(平面几何法)
(1)如图3所示,过点B作BE⊥OC于点E,过点A作AF⊥BE于点F.
因为tan∠BCO=,
设BC=5x,CE=3x,BE=4x,
所以OE=AF=170-3x,EF=AO=60,BF=4x-60.
又因为AB⊥BC,且∠BAF ∠ABF=90°,∠CBE ∠BCO=90°,
所以∠CBE ∠ABF=90°,
所以∠BAF ∠BCO=90°.
所以tan∠BAF===,
所以x=30,BC=5x=150 m,
所以新桥BC的长为150 m.
图3
(2)下同解法一
解法三:(三角函数定义法)
(1)如图4所示, 延长OA,CB交于点F.
图4
因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=, cos∠FCO=.
因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=,CF==,
从而AF=OF-OA=.
因为OA⊥OC,
所以cos∠AFB=sin∠FCO=.
又因为AB⊥BC,
所以BF=AFcos∠AFB=,
从而BC=CF-BF=150,因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,
所以sin∠CFO=cos∠FCO.
故由(1)知sin∠CFO====,
所以r=.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以r-d≥80,
r-(60-d)≥80,
即
-d≥80,
-(60-d)≥80,
解得10≤d≤35.
故当d=10时,r=最大,即圆面积最大,
所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.
新课程改革注重理论与实践结合、书本与生活结合,体现活生生情景设计问题,要求学生能够解决实际问题. 本题关注社会热点问题,较好地体现了现代社会对数学教育的需求,情境新颖、形态鲜活;本题采用“以能力立意”的命题思想,注重多种知识的交汇,集几何、代数、三角、不等式于一体,着力考查知识和技能的应用能力和迁移潜质,使新课标所倡导“多样性、交叉性、纵向不深、横向拓宽” 的命题要求得以充分的体现;本题突出高考的选拔功能,具有较好的准确度、可信度、难易度和高考录取的区分度,是一道难得的好试题.