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摘要：“教学做合一”为职校数学探究性学习活动提供了理论与方法指导。本文以“双曲线的渐近线”探究性学习活动为例，对 “教学做合一”理论下探究性学习活动的设计思路、实施、实效及反思进行了具体阐述。
关键词：“教学做合一”;数学;探究性学习活动;实践
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2021）05C-0043-04
《中等职业学校数学课程标准（2020版）》指出，职校学生通过学习数学要“具备一定的数学角度发现和提出问题的能力、运用数学知识和思想方法分析和解决问题的能力”。积极组织学生开展探究性学习是促进学生能力培养与提升的有效途径。探究性学习活动（以下简称“探究活动”）是指在教师的指导下学生通过自主参与探索而获得知识的过程。陶行知“教学做合一”理论指导下的探究活动以“做”为中心，在“劳力上劳心”，在“做”的过程中让学生掌握知识、增强能力、强化素质。笔者尝试将“教学做合一”理论应用于“双曲线的渐近線”探究性教学活动中。
一、“教学做合一”：破解探究活动开展的难点
职校学生大多数学基础薄弱、抽象思维能力不强;职校的一些数学教师教学理念陈旧、执教能力也有待加强。受多种因素制约，数学探究活动的开展一直是职校数学课堂教学的难点。如何破解这一难点？陶行知先生的“教学做合一”为我们提供了理论与方法指导。先生指出“教学做”是一件事，不是三件事。“教学做合一”中的“做”含有三种特征，一是行动，二是思想，三是新价值的产生[1]652。探究活动中的“做”从狭义上讲，既包括侧重于“劳力”层面的动手操作（作图、计算等），也包括侧重于“劳心”层面的观察、思考、讨论等;从广义上讲，也可理解为探究过程中以“做”为核心所展开的所有教与学的行为。
职校数学课标中要求理解双曲线的几何性质，双曲线存在渐近线是双曲线有别于其他圆锥曲线的重要几何性质[2]。学生往往对渐近线无限接近双曲线但与双曲线永不相交，即“渐近不相交”的性质一知半解。如何让学生在自主探究的过程中，感知双曲线的渐近线的存在，并将对渐近线“渐近不相交”性质的感性认知逐步提升为理性认知，成为此探究活动的难点。“教学做合一”成为破解双曲线探究活动这一教学难点的“钥匙”。基于“教学做合一”的渐近线探究活动以学生“做”为核心，将教与学结合起来，教师引导学生在“做”的过程中层层递进，产生与渐近线问题相关的思考，并逐步形成结论。
二、基于“教学做合一”的探究活动设计思路
陶行知先生说：“要想教得好，学得好，就须做得好。要想做得好，就须‘在劳力上劳心’，以收手脑相长之效。”[1]650基于“教学做合一”的探究活动围绕主题“双曲线的渐近线”，在对学生学情和学习内容充分分析的基础上，以“做”为核心进行整体设计。设计思路及流程如下。
（一）为什么——确立阶段性探究认知目标
首先，针对探究主题“双曲线的渐近线”，从学生学习的角度对探究目标进行认知目标阶段性、递进式分解，让学生明确“学”什么，同时让教师明确“教”什么。各阶段探究目标的确定应基于对学生学情充分的了解之上，基于对学生与本探究主题相关的知识储备基础、能力储备基础及学生思维发展的准确分析之上。
（二）“做”什么——确立阶段性探究活动内容
根据阶段性探究认知目标确立恰当、具体的阶段性探究活动内容。阶段性活动内容的核心为明确学生要“做”什么，即该阶段学生动手（劳力）、动脑（劳心）的具体内容。通过精心设计递进式的探究问题启发学生思路、推进针对主题的探究活动的进一步深入。
（三）怎么“做”——确立阶段性探究活动开展的方法路径
根据阶段性探究认知目标及阶段性探究活动内容的特点，确立各探究活动开展的方法路径。一是明确师生双方在探究活动中的具体行为。二是确立探究活动开展中具体的阶段性组织形式。如，个体活动、小组合作、集体活动等。三是确立与之对应的主要评价方式。如，组间互评、教师评价、生生评价等。四是根据现有教学条件确立各阶段探究过程中可实现的教学环境，即物理环境和社会文化心理表现。如，智慧教室、座位模式、班级气氛、师生关系等。
三、基于“教学做合一”的探究活动实施
依据“教学做合一”理论在完成为什么、“做”什么、怎么做三个层面的探究活动设计后，在课堂中组织实施。双曲线的渐近线探究性学习活动在职校平面设计专业20名学生中开展，学生根据组间同质、组内异质的原则分为4组，整体活动在小组合作的环境下进行。
（一）第一阶段
认知目标是认识到学习双曲线渐近线的必要性，探究内容是双曲线草图的画法，具体探究过程如下。
1.作图比对，对标找差。每位学生根据已掌握的双曲线实轴、虚轴及焦点的知识作出双曲线草图，观察教师投屏的4幅草图（每组任选1幅）、教师展示的几何画板所作的双曲线图像，对照互评草图存在的问题。
2.联想类比，一度设疑。学生经教师启发联想椭圆运用定界矩形画草图的过程，思考双曲线是否也存在类似的定界线，类比椭圆思考探究阶段性问题：“如何较为准确地画出双曲线的草图呢？”
（二）第二阶段
认知目标是直观感知双曲线渐近线的存在性，探究内容是双曲线渐近线的存在性，具体探究过程如下。
1.回顾旧知，二度设疑。学生回顾初中学习的双曲线的图像，观察教师展示的的作图动画，描述双曲线作图时应抓住的几何特征，即曲线与坐标轴“渐近不相交”;思考探究阶段性问题：“双曲线各支向外延伸时，都存在与之渐近不相交的两条直线么？”
2.观察动画，一度解惑。学生利用平板观看教师在学习空间推送的垂直于圆锥底面的平面截对顶圆锥形成双曲线的动画（图1），仔细观察平面移动过程中截面的截线形状的变化，思考探究阶段性问题“截线是否总是双曲线”;小组讨论、全班交流后形成结论“平面运动到圆锥轴截面位置时截线由原先的双曲线变为两条相交直线”，初步直观感知渐近线的存在性。 3.作图揭示，二度解惑。学生深度观察动画，利用平面设计专业美术特长，小组合作画出截面在运动过程中截线投影变化的示意图（图2），经小组讨论、全班交流后形成结论：①双曲线均落在平行于平面的对顶圆锥的轴截面对应的两条直线所夹的区域内;②平面向轴截面运动的过程中，截线在轴截面上的投影形成的双曲线开口逐渐增大，开口处逐渐靠近轴截面对应的两相交直线，但与之不相交。
学生通过以上三个环节，在动眼、动口、动手、动脑的过程中，“眼见为实”地感受到双曲线渐近线的存在，为后续对渐近线性质的理论探索积累直观经验。
（三）第三阶段
认知目标是理性认知双曲线渐近线“渐近不相交”的性质，探究内容是双曲线渐近线与双曲线“渐近不相交”的性质，具体探究过程如下。
1.观察MO，合情猜想。观察几何画板演示的雙曲线上第一象限内一点M在双曲线上运动时，点M到原点O的连线MO的方向变化（图3），初步理性认知当M向双曲线开口端运动时，MO的正切值趋近于，合情猜想双曲线的渐近线为。
2.计算MH，合理猜想。利用几何画板计算点M到直线的距离MH，学生观察到点M向双曲线开口端运动时MH数值不断变小趋向于0（图4），从数量上感受到双曲线与直线渐近的性质。
3.分析MH，理性验证。研究MH的距离表达式中x数值的变化与d数值变化趋势之间的关系。鉴于此探究内容对于职校学生而言难度较高，教师将d随着x的变化而变化的情况制作成两分半钟的微课，学生通过观看微课了解到当x不断增大时，的值将不断接近，即x，知晓MH随着x的增大趋向于0，但始终不为0，从而了解了双曲线与渐近线永不相交的性质的理性验证过程。
整个探究活动在“学中做”“做中学”中得以顺利开展。学生在小组合作的形式下经历了既动手又动脑、既劳力又劳心的体验，享受了探索、发现的过程;通过作图、观察、类比、讨论等，逐步经历了由“形”到“数”、由“宏观”到“微观”，抽丝剥茧般的探究过程，实现对渐近线的性质从感性到理性的理解，学习了双曲线渐近线的知识，体会了思考探索的乐趣。
四、基于“教学做合一”理念下的探究活动实效
通过对“教学做合一”下的探究活动的实践，笔者深深感受到陶行知先生的“教学做合一”教育思想的巨大魅力和无穷能量，学生与教师均在此教育思想指引的实践中获得了成长。
（一）学生学业提升
基于“教学做合一”的探究活动经过一段时间的实践，学生的数学学习兴趣、学习能力均有提升。在“双曲线的渐近线”探究活动的学习中，根据学习平台统计显示，有95%的学生掌握了80%的学习内容，85%的学生对这种“教学做合一”的探究性学习活动的接受程度为100%，并希望在其他内容的学习中也采用这种方式。
（二）教师专业成长
教师践行“教学做合一”探究活动，在“学中做”“做中学”中实现教师的专业成长。 “教学做合一”的探究活动实践对教师素质和能力都提出了较高的要求。教师需要深入学习领悟陶行知先生的“教学做合一”思想，结合建构主义学习理论，积极探索探究性学习活动的教学内容及组织方式，精心设计活动的各环节并组织实施。教师树立“教学做合一”的教学观的同时，专业知识、技能及信息化素养也得以提升。
五、基于“教学做合一”理念下的探究活动实践反思
通过“教学做合一”探究活动的实践，笔者有以下几点深刻感受。
（一）教学观念更新是探究活动开展的前提
教师须虚心学习和理解“教学做合一”的意义，遵循探究活动设计组织的可操作性、针对性、合作性等原则，授课中时刻体现以学生为主体、以教师为主导的“双主”授课。
（二）准确把握学情是探究活动开展的基础
教师要准确把握学情，做探究活动设计时要对学情“真”分析，模拟“学生”的角度反复推敲各环节设计的可实施性，及时调整设计。这样才能让“教学做合一”真正落地，激发学生的探究热情和求知欲望。
（三）让学生“动”起来是探究活动实施的关键
“教学做合一”中“做”的一大特征即是“新价值的产生”。学生在教师引导下自主探究获得新的知识，必然伴随着运用数学思维对问题的思考与解决。让学生动起来，既要动手也要动脑，既要“劳力”，更要“劳心”，让思维“动”起来，让思路“活”起来是探究活动实施的关键。
（四）高素养教师是探究活动实施的保障
“教学做合一”探究活动成功实施的保障是有高素养的教师。高素养的教师能够及时更新教学理念，准确分析学情，把握教学探究内容，具有较高的探究活动设计能力和教学实施控场能力。这就要求不断提升个人的专业素养、教学能力、信息化教学能力，不断加强学习。
参考文献：
[1]陶行知.陶行知全集：第 2 卷[M].成都：四川教育出版社，2009.
[2]马启银.初探合作探究式教学在高中数学教学中的应用[J].中学课程辅导，2019（3）.
责任编辑：陈钱允
关键词：“教学做合一”;数学;探究性学习活动;实践
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2021）05C-0043-04
《中等职业学校数学课程标准（2020版）》指出，职校学生通过学习数学要“具备一定的数学角度发现和提出问题的能力、运用数学知识和思想方法分析和解决问题的能力”。积极组织学生开展探究性学习是促进学生能力培养与提升的有效途径。探究性学习活动（以下简称“探究活动”）是指在教师的指导下学生通过自主参与探索而获得知识的过程。陶行知“教学做合一”理论指导下的探究活动以“做”为中心，在“劳力上劳心”，在“做”的过程中让学生掌握知识、增强能力、强化素质。笔者尝试将“教学做合一”理论应用于“双曲线的渐近線”探究性教学活动中。
一、“教学做合一”：破解探究活动开展的难点
职校学生大多数学基础薄弱、抽象思维能力不强;职校的一些数学教师教学理念陈旧、执教能力也有待加强。受多种因素制约，数学探究活动的开展一直是职校数学课堂教学的难点。如何破解这一难点？陶行知先生的“教学做合一”为我们提供了理论与方法指导。先生指出“教学做”是一件事，不是三件事。“教学做合一”中的“做”含有三种特征，一是行动，二是思想，三是新价值的产生[1]652。探究活动中的“做”从狭义上讲，既包括侧重于“劳力”层面的动手操作（作图、计算等），也包括侧重于“劳心”层面的观察、思考、讨论等;从广义上讲，也可理解为探究过程中以“做”为核心所展开的所有教与学的行为。
职校数学课标中要求理解双曲线的几何性质，双曲线存在渐近线是双曲线有别于其他圆锥曲线的重要几何性质[2]。学生往往对渐近线无限接近双曲线但与双曲线永不相交，即“渐近不相交”的性质一知半解。如何让学生在自主探究的过程中，感知双曲线的渐近线的存在，并将对渐近线“渐近不相交”性质的感性认知逐步提升为理性认知，成为此探究活动的难点。“教学做合一”成为破解双曲线探究活动这一教学难点的“钥匙”。基于“教学做合一”的渐近线探究活动以学生“做”为核心，将教与学结合起来，教师引导学生在“做”的过程中层层递进，产生与渐近线问题相关的思考，并逐步形成结论。
二、基于“教学做合一”的探究活动设计思路
陶行知先生说：“要想教得好，学得好，就须做得好。要想做得好，就须‘在劳力上劳心’，以收手脑相长之效。”[1]650基于“教学做合一”的探究活动围绕主题“双曲线的渐近线”，在对学生学情和学习内容充分分析的基础上，以“做”为核心进行整体设计。设计思路及流程如下。
（一）为什么——确立阶段性探究认知目标
首先，针对探究主题“双曲线的渐近线”，从学生学习的角度对探究目标进行认知目标阶段性、递进式分解，让学生明确“学”什么，同时让教师明确“教”什么。各阶段探究目标的确定应基于对学生学情充分的了解之上，基于对学生与本探究主题相关的知识储备基础、能力储备基础及学生思维发展的准确分析之上。
（二）“做”什么——确立阶段性探究活动内容
根据阶段性探究认知目标确立恰当、具体的阶段性探究活动内容。阶段性活动内容的核心为明确学生要“做”什么，即该阶段学生动手（劳力）、动脑（劳心）的具体内容。通过精心设计递进式的探究问题启发学生思路、推进针对主题的探究活动的进一步深入。
（三）怎么“做”——确立阶段性探究活动开展的方法路径
根据阶段性探究认知目标及阶段性探究活动内容的特点，确立各探究活动开展的方法路径。一是明确师生双方在探究活动中的具体行为。二是确立探究活动开展中具体的阶段性组织形式。如，个体活动、小组合作、集体活动等。三是确立与之对应的主要评价方式。如，组间互评、教师评价、生生评价等。四是根据现有教学条件确立各阶段探究过程中可实现的教学环境，即物理环境和社会文化心理表现。如，智慧教室、座位模式、班级气氛、师生关系等。
三、基于“教学做合一”的探究活动实施
依据“教学做合一”理论在完成为什么、“做”什么、怎么做三个层面的探究活动设计后，在课堂中组织实施。双曲线的渐近线探究性学习活动在职校平面设计专业20名学生中开展，学生根据组间同质、组内异质的原则分为4组，整体活动在小组合作的环境下进行。
（一）第一阶段
认知目标是认识到学习双曲线渐近线的必要性，探究内容是双曲线草图的画法，具体探究过程如下。
1.作图比对，对标找差。每位学生根据已掌握的双曲线实轴、虚轴及焦点的知识作出双曲线草图，观察教师投屏的4幅草图（每组任选1幅）、教师展示的几何画板所作的双曲线图像，对照互评草图存在的问题。
2.联想类比，一度设疑。学生经教师启发联想椭圆运用定界矩形画草图的过程，思考双曲线是否也存在类似的定界线，类比椭圆思考探究阶段性问题：“如何较为准确地画出双曲线的草图呢？”
（二）第二阶段
认知目标是直观感知双曲线渐近线的存在性，探究内容是双曲线渐近线的存在性，具体探究过程如下。
1.回顾旧知，二度设疑。学生回顾初中学习的双曲线的图像，观察教师展示的的作图动画，描述双曲线作图时应抓住的几何特征，即曲线与坐标轴“渐近不相交”;思考探究阶段性问题：“双曲线各支向外延伸时，都存在与之渐近不相交的两条直线么？”
2.观察动画，一度解惑。学生利用平板观看教师在学习空间推送的垂直于圆锥底面的平面截对顶圆锥形成双曲线的动画（图1），仔细观察平面移动过程中截面的截线形状的变化，思考探究阶段性问题“截线是否总是双曲线”;小组讨论、全班交流后形成结论“平面运动到圆锥轴截面位置时截线由原先的双曲线变为两条相交直线”，初步直观感知渐近线的存在性。 3.作图揭示，二度解惑。学生深度观察动画，利用平面设计专业美术特长，小组合作画出截面在运动过程中截线投影变化的示意图（图2），经小组讨论、全班交流后形成结论：①双曲线均落在平行于平面的对顶圆锥的轴截面对应的两条直线所夹的区域内;②平面向轴截面运动的过程中，截线在轴截面上的投影形成的双曲线开口逐渐增大，开口处逐渐靠近轴截面对应的两相交直线，但与之不相交。
学生通过以上三个环节，在动眼、动口、动手、动脑的过程中，“眼见为实”地感受到双曲线渐近线的存在，为后续对渐近线性质的理论探索积累直观经验。
（三）第三阶段
认知目标是理性认知双曲线渐近线“渐近不相交”的性质，探究内容是双曲线渐近线与双曲线“渐近不相交”的性质，具体探究过程如下。
1.观察MO，合情猜想。观察几何画板演示的雙曲线上第一象限内一点M在双曲线上运动时，点M到原点O的连线MO的方向变化（图3），初步理性认知当M向双曲线开口端运动时，MO的正切值趋近于，合情猜想双曲线的渐近线为。
2.计算MH，合理猜想。利用几何画板计算点M到直线的距离MH，学生观察到点M向双曲线开口端运动时MH数值不断变小趋向于0（图4），从数量上感受到双曲线与直线渐近的性质。
3.分析MH，理性验证。研究MH的距离表达式中x数值的变化与d数值变化趋势之间的关系。鉴于此探究内容对于职校学生而言难度较高，教师将d随着x的变化而变化的情况制作成两分半钟的微课，学生通过观看微课了解到当x不断增大时，的值将不断接近，即x，知晓MH随着x的增大趋向于0，但始终不为0，从而了解了双曲线与渐近线永不相交的性质的理性验证过程。
整个探究活动在“学中做”“做中学”中得以顺利开展。学生在小组合作的形式下经历了既动手又动脑、既劳力又劳心的体验，享受了探索、发现的过程;通过作图、观察、类比、讨论等，逐步经历了由“形”到“数”、由“宏观”到“微观”，抽丝剥茧般的探究过程，实现对渐近线的性质从感性到理性的理解，学习了双曲线渐近线的知识，体会了思考探索的乐趣。
四、基于“教学做合一”理念下的探究活动实效
通过对“教学做合一”下的探究活动的实践，笔者深深感受到陶行知先生的“教学做合一”教育思想的巨大魅力和无穷能量，学生与教师均在此教育思想指引的实践中获得了成长。
（一）学生学业提升
基于“教学做合一”的探究活动经过一段时间的实践，学生的数学学习兴趣、学习能力均有提升。在“双曲线的渐近线”探究活动的学习中，根据学习平台统计显示，有95%的学生掌握了80%的学习内容，85%的学生对这种“教学做合一”的探究性学习活动的接受程度为100%，并希望在其他内容的学习中也采用这种方式。
（二）教师专业成长
教师践行“教学做合一”探究活动，在“学中做”“做中学”中实现教师的专业成长。 “教学做合一”的探究活动实践对教师素质和能力都提出了较高的要求。教师需要深入学习领悟陶行知先生的“教学做合一”思想，结合建构主义学习理论，积极探索探究性学习活动的教学内容及组织方式，精心设计活动的各环节并组织实施。教师树立“教学做合一”的教学观的同时，专业知识、技能及信息化素养也得以提升。
五、基于“教学做合一”理念下的探究活动实践反思
通过“教学做合一”探究活动的实践，笔者有以下几点深刻感受。
（一）教学观念更新是探究活动开展的前提
教师须虚心学习和理解“教学做合一”的意义，遵循探究活动设计组织的可操作性、针对性、合作性等原则，授课中时刻体现以学生为主体、以教师为主导的“双主”授课。
（二）准确把握学情是探究活动开展的基础
教师要准确把握学情，做探究活动设计时要对学情“真”分析，模拟“学生”的角度反复推敲各环节设计的可实施性，及时调整设计。这样才能让“教学做合一”真正落地，激发学生的探究热情和求知欲望。
（三）让学生“动”起来是探究活动实施的关键
“教学做合一”中“做”的一大特征即是“新价值的产生”。学生在教师引导下自主探究获得新的知识，必然伴随着运用数学思维对问题的思考与解决。让学生动起来，既要动手也要动脑，既要“劳力”，更要“劳心”，让思维“动”起来，让思路“活”起来是探究活动实施的关键。
（四）高素养教师是探究活动实施的保障
“教学做合一”探究活动成功实施的保障是有高素养的教师。高素养的教师能够及时更新教学理念，准确分析学情，把握教学探究内容，具有较高的探究活动设计能力和教学实施控场能力。这就要求不断提升个人的专业素养、教学能力、信息化教学能力，不断加强学习。
参考文献：
[1]陶行知.陶行知全集：第 2 卷[M].成都：四川教育出版社，2009.
[2]马启银.初探合作探究式教学在高中数学教学中的应用[J].中学课程辅导，2019（3）.
责任编辑：陈钱允