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华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”初中数学教学中的数学思想方法有:函数思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想四类,笔者在教学总结、提出新思想“解图”思想。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行自然界中数量之间的关系研究。函数解题思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。笛卡尔的函数思想是:实际变化问题→数学变量问题→数学函数问题→函数图像→图像问题分析。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系精确与空间直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,找到思维突破口,使问题化难为易、化繁为简,化抽象为直观,从而得到解决。
“解图”就是由已知条件出发,通过作图把已知条件译成数学图像中几何语言,并标在图上,然后再结合图形达到求解数学题的过程,它既是对函数思想和数形结合的直接运用,更是对现实世界重新刻画。解图思想的关键是根据已知条件作图,并把文字条件译成几何符号条件,核心是由直接求解几何图形得到数学结论。它既包含把数学素材“解成图”,也包含把“图解成”数学结论这两个过程。它既是数与式在形上的直观展示与发展,也是形对数与式的直接“开口”。下面,我就初中几何教学、函数教学谈谈“解图”。
函数教学中的“解图”思想
1、函数思想与“解图”思想
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;在含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;把实际应用问题,“解图”为数学语言——点或点的坐标,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或者函数图像等知识解答。著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。函数的解题过程是从未知向已知过渡,把已知描述为点、点的坐标或者函数图像的过程。既把代数问题译解成图形问题,求解过程中又把图“解”成数学符号式样的经过。“解图”是自然界与函数链接的桥梁,是现实世界中数与形的完美组合。
例:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,没涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期克多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?(义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级 下册25页)本题遇到多个变量:单价、数量、利润,选择主变量单价,建立二次函数,求解此函数的最高点的纵坐标既利润最大即可。
2、函数教学中的“解图”思想
它既要括分析图像与x轴、y轴的交点,又要分析图像段在x轴上(或下)面部分的变化,还要分段分析图像哪一段朝上或朝下变化等,把x轴、y轴交点解读为关于“y=0”或者“x=0”时的方程,把在x轴上(或下)面部分解读为“y>0”或者“y<0”的不等式等等。让函数图像与代数这对矛盾在“解图”中达到和谐统一。
3、“解图”使函数的极值昭然于世
函数中求解最大值或者最小值问题,学生比较难理解。只要在图像中找到了至高或至低点,学生就好理解。
数形结合思想中的“解图思想”
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助數”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化。“解图”既其关键,它使代数问题几何化,几何问题代数化。
“解图”既是在有“形”的时候让“形”说话,如在《圆》这一章当圆周角为90度时“解图”就说上一句:“某某弦是我的一条直径”, 当圆周角为60度时说解图能说上一句:“某某弦等于我的一条半径。”等等。“解图”还是在有数的时候让数“动手”绘成“形”的经过,如“п与数轴的点的对应”让直径为1的圆在数轴上滚动一圈,终点与п对应。
数学中的知识,有的本身就可以看作是数与形的结合,解图就是解题。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的。
如果说“题设”是“材料”,作图是“设计”,“解题”是“施工”,“结论”是产品,那么“解图”就是“施工到结论”的过程。
在初中数学教学活动中注重“解图”思想的培养和运用,既遵循学生发展的认知规律,又是学生知识形成过程中对现实世界的重新刻画。既是形的自我展示,又是数的自我描绘。既是对函数思想、数性结合思想的继承,也是对函数思想、数性结合思想的发展。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行自然界中数量之间的关系研究。函数解题思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。笛卡尔的函数思想是:实际变化问题→数学变量问题→数学函数问题→函数图像→图像问题分析。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系精确与空间直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,找到思维突破口,使问题化难为易、化繁为简,化抽象为直观,从而得到解决。
“解图”就是由已知条件出发,通过作图把已知条件译成数学图像中几何语言,并标在图上,然后再结合图形达到求解数学题的过程,它既是对函数思想和数形结合的直接运用,更是对现实世界重新刻画。解图思想的关键是根据已知条件作图,并把文字条件译成几何符号条件,核心是由直接求解几何图形得到数学结论。它既包含把数学素材“解成图”,也包含把“图解成”数学结论这两个过程。它既是数与式在形上的直观展示与发展,也是形对数与式的直接“开口”。下面,我就初中几何教学、函数教学谈谈“解图”。
函数教学中的“解图”思想
1、函数思想与“解图”思想
我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;在含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;把实际应用问题,“解图”为数学语言——点或点的坐标,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或者函数图像等知识解答。著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。函数的解题过程是从未知向已知过渡,把已知描述为点、点的坐标或者函数图像的过程。既把代数问题译解成图形问题,求解过程中又把图“解”成数学符号式样的经过。“解图”是自然界与函数链接的桥梁,是现实世界中数与形的完美组合。
例:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如调整价格,没涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期克多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?(义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级 下册25页)本题遇到多个变量:单价、数量、利润,选择主变量单价,建立二次函数,求解此函数的最高点的纵坐标既利润最大即可。
2、函数教学中的“解图”思想
它既要括分析图像与x轴、y轴的交点,又要分析图像段在x轴上(或下)面部分的变化,还要分段分析图像哪一段朝上或朝下变化等,把x轴、y轴交点解读为关于“y=0”或者“x=0”时的方程,把在x轴上(或下)面部分解读为“y>0”或者“y<0”的不等式等等。让函数图像与代数这对矛盾在“解图”中达到和谐统一。
3、“解图”使函数的极值昭然于世
函数中求解最大值或者最小值问题,学生比较难理解。只要在图像中找到了至高或至低点,学生就好理解。
数形结合思想中的“解图思想”
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助數”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化。“解图”既其关键,它使代数问题几何化,几何问题代数化。
“解图”既是在有“形”的时候让“形”说话,如在《圆》这一章当圆周角为90度时“解图”就说上一句:“某某弦是我的一条直径”, 当圆周角为60度时说解图能说上一句:“某某弦等于我的一条半径。”等等。“解图”还是在有数的时候让数“动手”绘成“形”的经过,如“п与数轴的点的对应”让直径为1的圆在数轴上滚动一圈,终点与п对应。
数学中的知识,有的本身就可以看作是数与形的结合,解图就是解题。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的。
如果说“题设”是“材料”,作图是“设计”,“解题”是“施工”,“结论”是产品,那么“解图”就是“施工到结论”的过程。
在初中数学教学活动中注重“解图”思想的培养和运用,既遵循学生发展的认知规律,又是学生知识形成过程中对现实世界的重新刻画。既是形的自我展示,又是数的自我描绘。既是对函数思想、数性结合思想的继承,也是对函数思想、数性结合思想的发展。