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三角形是最常见、最重要的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用. 为了同学们更好地掌握好三角形知识和与三角形有关的知识，我们一起来回顾《三角形》中的重点知识.
一、知识框架
二、要点回顾
通过复习完成下列填空：
1. 三角形的定义：在 平面内，由不在 条直线上的三条线段 顺次相接所组成的图形叫三角形.
2. 三角形三边关系定理：三角形两边的和 第三边.推论：三角形两边的差 第三边.综合结论：三角形第三边 另外两边的差且 另外两边的和.
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高；三角形的角平分线：三角形一个角的角平分线和这个角的对边 ，这个角的顶点和对边 之间的 叫做三角形中这个角的角平分线，简称三角形的角平分线；三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边 的 ，叫做三角形这个边上的中线，简称三角形的中线.
锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点；直角三角形的三条高交于直角顶点处； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部. 三角形的三条角平分线相交于一点且交点在三角形的内部. 三角形的三条中线相交于一点且交点在三角形的内部.
4. 三角形的内角：三角形内角和等于180°.
5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三角形外角的特征：①外角顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一边是三角形某条边的延长线.
6. 三角形的内外角的关系：①互补关系：三角形的一个外角与和它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.按边可分为：三边都不相等的三角形、等腰三角形两类，而等边三角形是等腰三角形的特例.
7. 多边形定义：在同一平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫多边形.
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
8. 多边形的内外角：n边形的内角和＝(n－2)·180°. 多边形的外角和等于360°.
9. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）时，就拼成了一个平面图形.
三、疑点剖析
复习这部分的知识应注意以下几个问题：
1. 在理解三角形任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边时，一定要注意“任意”的含义.
2. 与三角形相关的高线、角平分线和中线都是指“线段”，不能与直线混为一谈.
3. 在研究三角形的内外角关系时，一定要注意强调“不相邻”的含义.
4. 研究多边形，可以利用转化思想，通过辅助线，使之转化为三角形， 即过n边形的一个顶点，可以引(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把多边形分成(n－2)个三角形，因一个三角形的内角和等于180°，所以(n－2)个三角形的内角和应等于(n－2)×180°，即n边形的内角和等于(n－2)×180°.可见，多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，即n≥3时，n边形的内角和随边数每增加（或减少）1，内角和增加（或减少）180°.
5. 在进行有关三角形边或角的计算时，应注意方程思想的运用，在进行多边形有关角的计算时，应运用代数式(n－2)×180°来构造方程，以便降低求解的难度.
6.在进行平面镶嵌时，用相同的正多边形拼地板时必须满足360°÷为正整数，即为正整数，用这样的正n边形就可以铺满地面；用多种正多边形拼地板必须满足同一顶点不同正多边形的一个内角之和等于360°.无论选择哪一种，都必须满足围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）时，才可以拼成了一个平面图形.
四、中考热点（所选例、习题均出自2006年全国部分省市中考试卷）
与三角形相关的知识是历年中考的必考内容之一，题型涉及填空题、选择题、解答题等，近年来又出现了许多与多边形相关的开放探索性问题，以及与其它知识组合的综合题.纵观历年各地的中考试卷，多边形知识的题量大约占全卷试题总量的8%，分值一般占到10%左右，估计以后有关多边形的试题将保持综合性的同时，还会加大开放性，增强探索性.同学们复习时应注意基础知识的训练和巩固.
考点1三角形的概念
例1 （2006年浙江省绍兴市中考题）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图1中以BC为公共边的“共边三角形”有（）.
A.2对B.3对C.4对D.6对
分析： 要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即可.
解： 结合图形，满足题意的三角形是△ABC与△DBC，△DBC与△EBC，△EBC与△ABC，共3对.故应选B.
说明：求解本题一定要注意抓住以BC为公共边的“共边三角形”，不能忽视关键词.
考点2三角形的三边关系
例2 （2006年黑龙江省鸡西市中考题）一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）.
A.14 B.15C.16D.17
分析： 已知三角形的两边，要求周长的最小值，转化为求第三边的最小值.先利用三角形三边关系的定理确定第三条边的范围，再由第三边长为整数则可求出其最小值.
解： 设第三边长为x，则根据题意，得7－3＜x＜7+3，即4＜x＜10，
又因为x是最小整数，所以x＝5.
所以三角形的周长最小值是3+5+7＝15.故应选B.
说明： 解答有关三角形的边的问题时通常要运用“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.
考点3三角形的内角和
例3（2006年江苏省淮安市中考题）若等腰三角形底角为72°，则顶角为
（）.
A.108°B.72°C.54°D.36°
分析： 已知等腰三角形的底角为72°，则可知另一个底角也是72°，这样利用三角形的内角和定理即可求解.
解： 因为等腰三角形的底角为72°，所以可知另一个底角也是72°，
所以由三角形的内角和定理，得顶角为180 ° －72°×2＝36°.故应选D.
说明： 提到三角形的角的问题，就要联想其三个内角的和为180°，这是一个恒定的值.
考点4三角形的外角
例4 （2006年黑龙江省鸡西市中考题）如图2，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为.
分析： 已知AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，要求∠D，考虑利用三角形的外角与内角的关系，即∠D＝∠CFE－∠E，于是问题可求解.
解： 因为∠CFE是△DEF的外角，
所以∠D＝∠CFE－∠E .
又因为AB∥CD，∠B ＝68°，所以∠CFE＝∠B ＝68°.
而∠E ＝20°，所以∠D ＝∠CFE -∠E ＝∠B -∠E＝68°-20°＝48°.
说明： 本题既运用了三角形外角的性质，又综合运用平行线的知识，这种有关三角形部分小综合考题在中考中经常会出现，同学们在复习时应注意多训练加以巩固.
考点5多边形
例5（2006年福建省南安市中考题）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝.
分析： 要求这个多边形的边数n，可以根据已知条件，利用(n－2)×180°,列出方程求解.
解： 根据题意，得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6.
说明： 求解此类问题时应特别要注意以下几点：一是n边形的内角和等于(n－2)×180°；二是任意多边形的外角和等于360°；三是要能综合运用多边形的内外角的知识构造方程求解.
考点6平面镶嵌
例6（2006年江苏省盐城市中考题）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）.
A.3B.4 C.5D.6
分析： 已知已经有两个正方形了，此时剩下的角度应为360°－90°×2＝180°，又正三角形的一个内角为60°，这样即可求出n的值.
解： 根据题意，得n＝(360°－90°×2)÷60°＝3.故应选A.
说明： 对于利用相同的或不同的正多边形进行平面镶嵌，只要满足内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）即可.
五、发散练习
1. 如图3，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）.
A.3个B.2个 C.l个 D.不存在
2. 已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）.
A.3B.5C.7D.9
3. 如图4能说明∠1＞∠2的是（）.
4. 已知小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到学校的距离是d千米，则d满足（）.
A.3＜d＜10B.3≤d≤10 C.7＜d＜13D.7 ≤d≤13
5. 如图5，在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD ＝BC ＝AD，则∠A等于（）.
A.30°B.36° C.45° D.72°
6. 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝_____________.
7. 正五边形的一个内角的度数是 _____________.
8. 正六边形的每一个内角的度数是.
9. 如图6，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为_____________.
10.已知等腰△ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则∠A的平分线的长是_____________cm.
11. 已知一个多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数是_____________.
12. 如图7, 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，图7（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到图7（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝_____________度.
13. 如图8，在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC ＝ _____________.
14. 如图9，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE ＝_____________.
15. 如图10，AB与CD相交于点O，∠B＝80°，∠D＝40°. 求∠AOC的度数.
“本文中所涉及以的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、知识框架
二、要点回顾
通过复习完成下列填空：
1. 三角形的定义：在 平面内，由不在 条直线上的三条线段 顺次相接所组成的图形叫三角形.
2. 三角形三边关系定理：三角形两边的和 第三边.推论：三角形两边的差 第三边.综合结论：三角形第三边 另外两边的差且 另外两边的和.
3. 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做 ，顶点和垂足之间的 叫做三角形的高线，简称三角形的高；三角形的角平分线：三角形一个角的角平分线和这个角的对边 ，这个角的顶点和对边 之间的 叫做三角形中这个角的角平分线，简称三角形的角平分线；三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边 的 ，叫做三角形这个边上的中线，简称三角形的中线.
锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点；直角三角形的三条高交于直角顶点处； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的外部. 三角形的三条角平分线相交于一点且交点在三角形的内部. 三角形的三条中线相交于一点且交点在三角形的内部.
4. 三角形的内角：三角形内角和等于180°.
5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三角形外角的特征：①外角顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一边是三角形某条边的延长线.
6. 三角形的内外角的关系：①互补关系：三角形的一个外角与和它相邻的内角互补；②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形按角可分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.按边可分为：三边都不相等的三角形、等腰三角形两类，而等边三角形是等腰三角形的特例.
7. 多边形定义：在同一平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫多边形.
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
8. 多边形的内外角：n边形的内角和＝(n－2)·180°. 多边形的外角和等于360°.
9. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）时，就拼成了一个平面图形.
三、疑点剖析
复习这部分的知识应注意以下几个问题：
1. 在理解三角形任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边时，一定要注意“任意”的含义.
2. 与三角形相关的高线、角平分线和中线都是指“线段”，不能与直线混为一谈.
3. 在研究三角形的内外角关系时，一定要注意强调“不相邻”的含义.
4. 研究多边形，可以利用转化思想，通过辅助线，使之转化为三角形， 即过n边形的一个顶点，可以引(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把多边形分成(n－2)个三角形，因一个三角形的内角和等于180°，所以(n－2)个三角形的内角和应等于(n－2)×180°，即n边形的内角和等于(n－2)×180°.可见，多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，即n≥3时，n边形的内角和随边数每增加（或减少）1，内角和增加（或减少）180°.
5. 在进行有关三角形边或角的计算时，应注意方程思想的运用，在进行多边形有关角的计算时，应运用代数式(n－2)×180°来构造方程，以便降低求解的难度.
6.在进行平面镶嵌时，用相同的正多边形拼地板时必须满足360°÷为正整数，即为正整数，用这样的正n边形就可以铺满地面；用多种正多边形拼地板必须满足同一顶点不同正多边形的一个内角之和等于360°.无论选择哪一种，都必须满足围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）时，才可以拼成了一个平面图形.
四、中考热点（所选例、习题均出自2006年全国部分省市中考试卷）
与三角形相关的知识是历年中考的必考内容之一，题型涉及填空题、选择题、解答题等，近年来又出现了许多与多边形相关的开放探索性问题，以及与其它知识组合的综合题.纵观历年各地的中考试卷，多边形知识的题量大约占全卷试题总量的8%，分值一般占到10%左右，估计以后有关多边形的试题将保持综合性的同时，还会加大开放性，增强探索性.同学们复习时应注意基础知识的训练和巩固.
考点1三角形的概念
例1 （2006年浙江省绍兴市中考题）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则如图1中以BC为公共边的“共边三角形”有（）.
A.2对B.3对C.4对D.6对
分析： 要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即可.
解： 结合图形，满足题意的三角形是△ABC与△DBC，△DBC与△EBC，△EBC与△ABC，共3对.故应选B.
说明：求解本题一定要注意抓住以BC为公共边的“共边三角形”，不能忽视关键词.
考点2三角形的三边关系
例2 （2006年黑龙江省鸡西市中考题）一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（）.
A.14 B.15C.16D.17
分析： 已知三角形的两边，要求周长的最小值，转化为求第三边的最小值.先利用三角形三边关系的定理确定第三条边的范围，再由第三边长为整数则可求出其最小值.
解： 设第三边长为x，则根据题意，得7－3＜x＜7+3，即4＜x＜10，
又因为x是最小整数，所以x＝5.
所以三角形的周长最小值是3+5+7＝15.故应选B.
说明： 解答有关三角形的边的问题时通常要运用“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”.
考点3三角形的内角和
例3（2006年江苏省淮安市中考题）若等腰三角形底角为72°，则顶角为
（）.
A.108°B.72°C.54°D.36°
分析： 已知等腰三角形的底角为72°，则可知另一个底角也是72°，这样利用三角形的内角和定理即可求解.
解： 因为等腰三角形的底角为72°，所以可知另一个底角也是72°，
所以由三角形的内角和定理，得顶角为180 ° －72°×2＝36°.故应选D.
说明： 提到三角形的角的问题，就要联想其三个内角的和为180°，这是一个恒定的值.
考点4三角形的外角
例4 （2006年黑龙江省鸡西市中考题）如图2，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为.
分析： 已知AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，要求∠D，考虑利用三角形的外角与内角的关系，即∠D＝∠CFE－∠E，于是问题可求解.
解： 因为∠CFE是△DEF的外角，
所以∠D＝∠CFE－∠E .
又因为AB∥CD，∠B ＝68°，所以∠CFE＝∠B ＝68°.
而∠E ＝20°，所以∠D ＝∠CFE -∠E ＝∠B -∠E＝68°-20°＝48°.
说明： 本题既运用了三角形外角的性质，又综合运用平行线的知识，这种有关三角形部分小综合考题在中考中经常会出现，同学们在复习时应注意多训练加以巩固.
考点5多边形
例5（2006年福建省南安市中考题）如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n＝.
分析： 要求这个多边形的边数n，可以根据已知条件，利用(n－2)×180°,列出方程求解.
解： 根据题意，得(n－2)×180°＝360°×2，解得n＝6.
说明： 求解此类问题时应特别要注意以下几点：一是n边形的内角和等于(n－2)×180°；二是任意多边形的外角和等于360°；三是要能综合运用多边形的内外角的知识构造方程求解.
考点6平面镶嵌
例6（2006年江苏省盐城市中考题）如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（）.
A.3B.4 C.5D.6
分析： 已知已经有两个正方形了，此时剩下的角度应为360°－90°×2＝180°，又正三角形的一个内角为60°，这样即可求出n的值.
解： 根据题意，得n＝(360°－90°×2)÷60°＝3.故应选A.
说明： 对于利用相同的或不同的正多边形进行平面镶嵌，只要满足内角加在一起恰好组成一个周角（即360°）即可.
五、发散练习
1. 如图3，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）.
A.3个B.2个 C.l个 D.不存在
2. 已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）.
A.3B.5C.7D.9
3. 如图4能说明∠1＞∠2的是（）.
4. 已知小明家距离学校10千米，而小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到学校的距离是d千米，则d满足（）.
A.3＜d＜10B.3≤d≤10 C.7＜d＜13D.7 ≤d≤13
5. 如图5，在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD ＝BC ＝AD，则∠A等于（）.
A.30°B.36° C.45° D.72°
6. 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝_____________.
7. 正五边形的一个内角的度数是 _____________.
8. 正六边形的每一个内角的度数是.
9. 如图6，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为_____________.
10.已知等腰△ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则∠A的平分线的长是_____________cm.
11. 已知一个多边形的内角和等于外角和的3倍，则这个多边形的边数是_____________.
12. 如图7, 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，图7（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到图7（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝_____________度.
13. 如图8，在△ABC中，AB ＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC ＝ _____________.
14. 如图9，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE ＝_____________.
15. 如图10，AB与CD相交于点O，∠B＝80°，∠D＝40°. 求∠AOC的度数.
“本文中所涉及以的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”