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摘要：离散数学是计算机科学技术的基础，已经广泛地用于计算机系统的建模和分析。在教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会统一组织下，作者对离散数学课程在专业课程体系中的定位与教学情况进行了调研，并针对课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了相应的教学实施方案。本方案的特点是：提供一个分层的、模块化的知识框架，教师可根据科学型、工程型、应用型的不同培养目标进行教学内容的灵活配置；在教学设计中强化离散数学课程与其他专业课程之间的联系，强化素质和能力培养。
关键词：离散数学；计算机科学与技术专业；核心课程：教学实施
“离散数学”是计算机科学与技术专业的核心课程之一。根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会的统一部署，作者对离散数学课程在专业课程体系中的定位与教学情况进行了调研，并针对课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了相应的教学实施方案。目前，“离散数学”课程教学实施方案已由高等教育出版社出版。
本文分析了上述离散数学教学实施方案的设计思想、知识框架和特点，并对如何解决教学中的问题给出一些建议，以供本专业或相关专业的教师参考。
一、课程定位和教学实施方案的总体设计思想
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。主要体现在以下几个方面：
1.离散数学是重要的专业基础课。专业规范指出：“数据结构和算法分析与设计中含有大量离散结构的内容。例如，在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力。图论中的概念被用于计算机网络、操作系统和编译系统等领域。集合论的概念被用在软件工程和数据库中。”“随着计算机科学与技术的日益成熟，越来越完善的分析技术被用于实践，为了更好地理解将来的计算机科学技术，学生需要对离散结构有深入的理解。”
2.离散数学对培养学生的学科素质、掌握正确的学科方法起着重要的作用。在计算机科学与技术学科的教育中，学科方法论的内容应该占有重要的地位，其中数学方法是计算机学科方法论的核心内容之一。离散数学用数学语言来描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术的形式化描述语言，也是进行数量分析和逻辑推理的工具。通过离散数学的学习有利于培养学生的学科素质，进一步强化对计算机科学与技术正确的学科方法的训练。
3.学习离散数学有利于学生的能力培养。作为创新型的计算机科学与技术研究、工程和应用的人才，应该具有以下几种能力：获取知识的能力、应用知识的能力、创新能力。通过离散数学的教学，对学生获取知识、应用知识的能力，对创新思维的培养有着重要的作用。
根据课程的定位，教学实施方案应该体现出离散数学对其他专业课程的支撑作用，应该强化学科方法的训练和能力的培养。面向多样性人才的需求，计算机科学与技术专业划分成4个不同的专业方向。因此，离散数学的教学实施方案也按照3种类型来设计，即科学型(计算机科学专业方向)、工程型(计算机工程与软件工程专业方向)、应用型(信息技术专业方向)。
该方案的总体设计思想和特点是：
1.根据《高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)》(以下简称《专业规范》)和《高等学校计算机科学与技术专业公共核心知识体系与课程》(以下简称《核心知识体系》)中关于离散数学课程的总体要求，面向培养科学型、工程型和应用型的不同计算机人才定位，构建不同的知识框架。
2.针对不同学校的专业特色和培养目标，设计可灵活配置的知识单元，同时给出授课建议和学习要求。
3.将知识传授、能力培养和素质教育融为一体，贯穿于教学设计的各个环节。
在离散数学课程教学实施方案的设计中，主要参考了《专业规范》、《核心知识体系》等文献以及国内对近20所大学离散数学教学的调查资料。《专业规范》给出的离散结构在各个专业方向的核心知识单元，如下表所示。需要说明的是，它只是对计算机专业相关方向所需离散结构知识单元的描述，正如《核心知识体系》所指出的：“同一个知识结构完全可能用不同的课程组合来覆盖”。例如，有限状态机与正则表达式，文法，数值精度、精确性和错误等知识单元通常包含在形式语言与自动机、编译技术、数值分析等其他课程中。鉴于目前大多数高校课程体系的实际情况，下面关于离散数学课程的知识框架将不再涉及这些知识单元。
二、离散数学的知识框架
离散数学的知识框架由知识单元(模块)构成，每个知识单元又由一组关联密切的知识点构成，知识点通常含有与某个概念相关的定义、定理与公式。根据不同的培养目标，可以从中选择若干知识单元作为离散数学的教学内容。针对不同的教学要求，可以把知识单元分成三种类型：核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元。核心知识单元是体现了公共性、基础性、起支撑作用的必修知识模块，代表了离散数学教学的最低要求。推荐知识单元是组成离散数学知识体系的重要知识模块，不同学校可以根据自己的专业特色、培养方案、课程体系和学时安排，从中选择部分或全部知识单元组合成自己的教学计划。可选知识单元代表了离散数学不同研究方向的拓展知识模块，难度较高。设计可选知识单元的目的是为了进一步强化学生的理论基础，拓展知识面，完善知识结构，以适应具有更高教学要求或者某些特色研究方向的专业需求。核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元的内容分别约占整个教学内容的50％～70％、15％～30％、10％～20％.
面向培养科学型、工程型和应用型计算机人才的不同定位，离散数学知识框架的核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元是不同的，各知识单元所含知识点以及知识点的要求也是不同的。
上图给出了面向科学型、工程型、应用型等不同类型的离散数学知识框架，其中每个方框代表一个知识单元(组成知识单元的知识点在这里没有给出)。这些知识单元从下到上大致按照核心知识单元、推荐知识单元、可选知识单元的次序排列，但是面向不同类型的边界不一样。科学型的知识单元数目较多，核心知识单元和推荐知识单元也较多，而应用型的知识单元数目最少。这是由于科学型人才需要更多的数学基础知识和抽象思维能力，教学学时也比较多；而应用型人才则更强调实践应用，一般学时也比较少。利用这个框架，可以根据学校的培养目标和专业特色选择合适的知识单元，组成离散数学的教学计划。比如工程型离散数学课程的核心知识单元是：集合、关系、函数、树、图、基本逻辑、基本证明技术、基本计数；推荐知识单元是：特殊的图、代数结构以及相关的证明技术：可选知识单元是：高级计数、初等数论、形式系统以及相关的证明技术。在构成教学计划时，应该选择全部核心知识单元和推荐知识单元。在可选知识单元中，若专业特色是信息安全。可 以选用初等数论；若专业特色是人工智能，可以选用形式系统；学时较充分的也可同时选用这两个知识单元。
三、离散数学课程教学实施方案
离散数学的知识框架是从计算机科学与技术专业人才所需离散数学知识结构的角度来描述的，只对相关教学内容给出了建议，这只是教学实施方案的一部分。教学实施应该包括更多的内容：教学目标，教学安排(知识单元和知识点的选择与讲授顺序、学时)，各知识点的教学要求，讲授重点与难点，考核要求与实施办法，教学环节(课堂教学、作业、实践课题)，教学环境与资源等。任课教师应该根据专业培养目标、专业特色、课程知识体系、课程学时、学生水平、教学方法、教学效果等多种因素进行综合考虑，制订出适合本校特点的课程大纲和教学设计。
1.实施方案针对不同的人才类型给出了相关知识单元和知识点的详细描述，包括教学内容、学时安排、重点与难点、习题要求等。比如针对应用型人才的培养目标，有关“集合、关系与函数”单元的知识点说明如下。
基本学时：16～18学时
教学内容：
集合的表示、集合的基本运算和幂集(2学时)
*有关集合的证明题和应用(O～l学时)
序偶与笛卡儿积(1学时)
二元关系的概念与表示(2学时)
二元关系的性质(1～2学时)
二元关系的运算及闭包(3学时)
等价关系与序关系(4学时)
函数定义与性质(1学时)
复合函数与逆函数(2学时)
针对上述知识点，实施方案对重点、难点、习题和讲授中应该注意的问题都做了详细的说明。
2.实施方案针对不同人才类型的考核办法给出了建议。比如针对应用型人才的教学，给出了下述考核方案。
期末笔试试卷设计模式：
(1) 考查基础知识、基本概念掌握情况的选择题和填空题，大致占考试内容总量的30％。
(2) 考查数学建模能力、问题求解能力的分析或计算题，大致占考试内容的40％。
(3) 考查逻辑思维能力、逻辑推理能力的证明题，大致占考试内容的10％。
(4) 考查综合应用能力的试题，大致占考试内容的20％。
成绩评定以期末成绩与平时成绩(作业、小测验等)综合评定，期末成绩可以占总成绩的50％"-'60％。
3.为了提高教学质量，实施方案针对离散数学的特点给出了下述具体建议。
(1) 在第一次课上能够对离散数学进行引论性的介绍。包括研究对象、研究内容与历史，与计算机专业其他课程的关系，与高等数学及线性代数等基础数学的关系，在计算机学科中的地位、作用、学科进展，教学安排等。通过引导使学生对离散数学有一个整体的认识与把握，有益于学生对该课程的深入理解，激发学生浓厚的学习兴趣。
(2) 课上讲授中应该引入较多的实例，介绍相关理论、方法在实践中的应用。
(3) 课后作业是数学类课程的重要环节，应该保证一定的作业量，要认真批改和讲评。
(4) 适当安排习题课的讲授，可以帮助学生建立知识点之间的关联，强化分析和解决问题能力的训练。
(5) 建立网上教学平台，加强师生交流。
(6) 鼓励有兴趣、学有余力的学生参加课题研究。例如用集合、函数、关系、图等概念描述离散系统，对系统性质或性能进行分析和评价，递归算法的设计与分析，对实际的证明和推理过程加以形式描述并分析其正确性等。课题研究不计入课上学时，研究成果通过书面报告提交，在成绩评定上可给予加分鼓励。上机实践对于理解离散数学中的相关概念和算法有一定作用，考虑到课程的主要目标是训练正确的逻辑思维方法，提高系统建模和分析能力，建议上机学时不要挤占课上讲授学时，可计入总学时。
根据《专业规范》的精神，总结国内部分学校的教学经验，本文提出了一个面向科学型、工程型和应用型人才培养目标的离散数学知识框架，并对如何制订本校、本专业的教学实施方案给出了一些具体建议。许多想法还不成熟，需要广大教师在教学中不断实践和交流，总结经验，为离散数学课程建设作出贡献。
参考文献：
[1]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会，高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会，高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)[M].北京：高等教育出版社.2006.
[3]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业公共核心知识体系与课程[M].北京：清华大学出版社，2007.
[责任编辑：余大品]
关键词：离散数学；计算机科学与技术专业；核心课程：教学实施
“离散数学”是计算机科学与技术专业的核心课程之一。根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会的统一部署，作者对离散数学课程在专业课程体系中的定位与教学情况进行了调研，并针对课程的教学目标、教学内容、教学设计等提出了相应的教学实施方案。目前，“离散数学”课程教学实施方案已由高等教育出版社出版。
本文分析了上述离散数学教学实施方案的设计思想、知识框架和特点，并对如何解决教学中的问题给出一些建议，以供本专业或相关专业的教师参考。
一、课程定位和教学实施方案的总体设计思想
离散数学是计算机科学与技术专业的核心基础课，在计算机科学与技术专业课程体系中起到重要的基础理论支撑作用。主要体现在以下几个方面：
1.离散数学是重要的专业基础课。专业规范指出：“数据结构和算法分析与设计中含有大量离散结构的内容。例如，在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力。图论中的概念被用于计算机网络、操作系统和编译系统等领域。集合论的概念被用在软件工程和数据库中。”“随着计算机科学与技术的日益成熟，越来越完善的分析技术被用于实践，为了更好地理解将来的计算机科学技术，学生需要对离散结构有深入的理解。”
2.离散数学对培养学生的学科素质、掌握正确的学科方法起着重要的作用。在计算机科学与技术学科的教育中，学科方法论的内容应该占有重要的地位，其中数学方法是计算机学科方法论的核心内容之一。离散数学用数学语言来描述离散系统的状态、关系和变化过程，是计算机科学与技术的形式化描述语言，也是进行数量分析和逻辑推理的工具。通过离散数学的学习有利于培养学生的学科素质，进一步强化对计算机科学与技术正确的学科方法的训练。
3.学习离散数学有利于学生的能力培养。作为创新型的计算机科学与技术研究、工程和应用的人才，应该具有以下几种能力：获取知识的能力、应用知识的能力、创新能力。通过离散数学的教学，对学生获取知识、应用知识的能力，对创新思维的培养有着重要的作用。
根据课程的定位，教学实施方案应该体现出离散数学对其他专业课程的支撑作用，应该强化学科方法的训练和能力的培养。面向多样性人才的需求，计算机科学与技术专业划分成4个不同的专业方向。因此，离散数学的教学实施方案也按照3种类型来设计，即科学型(计算机科学专业方向)、工程型(计算机工程与软件工程专业方向)、应用型(信息技术专业方向)。
该方案的总体设计思想和特点是：
1.根据《高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)》(以下简称《专业规范》)和《高等学校计算机科学与技术专业公共核心知识体系与课程》(以下简称《核心知识体系》)中关于离散数学课程的总体要求，面向培养科学型、工程型和应用型的不同计算机人才定位，构建不同的知识框架。
2.针对不同学校的专业特色和培养目标，设计可灵活配置的知识单元，同时给出授课建议和学习要求。
3.将知识传授、能力培养和素质教育融为一体，贯穿于教学设计的各个环节。
在离散数学课程教学实施方案的设计中，主要参考了《专业规范》、《核心知识体系》等文献以及国内对近20所大学离散数学教学的调查资料。《专业规范》给出的离散结构在各个专业方向的核心知识单元，如下表所示。需要说明的是，它只是对计算机专业相关方向所需离散结构知识单元的描述，正如《核心知识体系》所指出的：“同一个知识结构完全可能用不同的课程组合来覆盖”。例如，有限状态机与正则表达式，文法，数值精度、精确性和错误等知识单元通常包含在形式语言与自动机、编译技术、数值分析等其他课程中。鉴于目前大多数高校课程体系的实际情况，下面关于离散数学课程的知识框架将不再涉及这些知识单元。
二、离散数学的知识框架
离散数学的知识框架由知识单元(模块)构成，每个知识单元又由一组关联密切的知识点构成，知识点通常含有与某个概念相关的定义、定理与公式。根据不同的培养目标，可以从中选择若干知识单元作为离散数学的教学内容。针对不同的教学要求，可以把知识单元分成三种类型：核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元。核心知识单元是体现了公共性、基础性、起支撑作用的必修知识模块，代表了离散数学教学的最低要求。推荐知识单元是组成离散数学知识体系的重要知识模块，不同学校可以根据自己的专业特色、培养方案、课程体系和学时安排，从中选择部分或全部知识单元组合成自己的教学计划。可选知识单元代表了离散数学不同研究方向的拓展知识模块，难度较高。设计可选知识单元的目的是为了进一步强化学生的理论基础，拓展知识面，完善知识结构，以适应具有更高教学要求或者某些特色研究方向的专业需求。核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元的内容分别约占整个教学内容的50％～70％、15％～30％、10％～20％.
面向培养科学型、工程型和应用型计算机人才的不同定位，离散数学知识框架的核心知识单元、推荐知识单元和可选知识单元是不同的，各知识单元所含知识点以及知识点的要求也是不同的。
上图给出了面向科学型、工程型、应用型等不同类型的离散数学知识框架，其中每个方框代表一个知识单元(组成知识单元的知识点在这里没有给出)。这些知识单元从下到上大致按照核心知识单元、推荐知识单元、可选知识单元的次序排列，但是面向不同类型的边界不一样。科学型的知识单元数目较多，核心知识单元和推荐知识单元也较多，而应用型的知识单元数目最少。这是由于科学型人才需要更多的数学基础知识和抽象思维能力，教学学时也比较多；而应用型人才则更强调实践应用，一般学时也比较少。利用这个框架，可以根据学校的培养目标和专业特色选择合适的知识单元，组成离散数学的教学计划。比如工程型离散数学课程的核心知识单元是：集合、关系、函数、树、图、基本逻辑、基本证明技术、基本计数；推荐知识单元是：特殊的图、代数结构以及相关的证明技术：可选知识单元是：高级计数、初等数论、形式系统以及相关的证明技术。在构成教学计划时，应该选择全部核心知识单元和推荐知识单元。在可选知识单元中，若专业特色是信息安全。可 以选用初等数论；若专业特色是人工智能，可以选用形式系统；学时较充分的也可同时选用这两个知识单元。
三、离散数学课程教学实施方案
离散数学的知识框架是从计算机科学与技术专业人才所需离散数学知识结构的角度来描述的，只对相关教学内容给出了建议，这只是教学实施方案的一部分。教学实施应该包括更多的内容：教学目标，教学安排(知识单元和知识点的选择与讲授顺序、学时)，各知识点的教学要求，讲授重点与难点，考核要求与实施办法，教学环节(课堂教学、作业、实践课题)，教学环境与资源等。任课教师应该根据专业培养目标、专业特色、课程知识体系、课程学时、学生水平、教学方法、教学效果等多种因素进行综合考虑，制订出适合本校特点的课程大纲和教学设计。
1.实施方案针对不同的人才类型给出了相关知识单元和知识点的详细描述，包括教学内容、学时安排、重点与难点、习题要求等。比如针对应用型人才的培养目标，有关“集合、关系与函数”单元的知识点说明如下。
基本学时：16～18学时
教学内容：
集合的表示、集合的基本运算和幂集(2学时)
*有关集合的证明题和应用(O～l学时)
序偶与笛卡儿积(1学时)
二元关系的概念与表示(2学时)
二元关系的性质(1～2学时)
二元关系的运算及闭包(3学时)
等价关系与序关系(4学时)
函数定义与性质(1学时)
复合函数与逆函数(2学时)
针对上述知识点，实施方案对重点、难点、习题和讲授中应该注意的问题都做了详细的说明。
2.实施方案针对不同人才类型的考核办法给出了建议。比如针对应用型人才的教学，给出了下述考核方案。
期末笔试试卷设计模式：
(1) 考查基础知识、基本概念掌握情况的选择题和填空题，大致占考试内容总量的30％。
(2) 考查数学建模能力、问题求解能力的分析或计算题，大致占考试内容的40％。
(3) 考查逻辑思维能力、逻辑推理能力的证明题，大致占考试内容的10％。
(4) 考查综合应用能力的试题，大致占考试内容的20％。
成绩评定以期末成绩与平时成绩(作业、小测验等)综合评定，期末成绩可以占总成绩的50％"-'60％。
3.为了提高教学质量，实施方案针对离散数学的特点给出了下述具体建议。
(1) 在第一次课上能够对离散数学进行引论性的介绍。包括研究对象、研究内容与历史，与计算机专业其他课程的关系，与高等数学及线性代数等基础数学的关系，在计算机学科中的地位、作用、学科进展，教学安排等。通过引导使学生对离散数学有一个整体的认识与把握，有益于学生对该课程的深入理解，激发学生浓厚的学习兴趣。
(2) 课上讲授中应该引入较多的实例，介绍相关理论、方法在实践中的应用。
(3) 课后作业是数学类课程的重要环节，应该保证一定的作业量，要认真批改和讲评。
(4) 适当安排习题课的讲授，可以帮助学生建立知识点之间的关联，强化分析和解决问题能力的训练。
(5) 建立网上教学平台，加强师生交流。
(6) 鼓励有兴趣、学有余力的学生参加课题研究。例如用集合、函数、关系、图等概念描述离散系统，对系统性质或性能进行分析和评价，递归算法的设计与分析，对实际的证明和推理过程加以形式描述并分析其正确性等。课题研究不计入课上学时，研究成果通过书面报告提交，在成绩评定上可给予加分鼓励。上机实践对于理解离散数学中的相关概念和算法有一定作用，考虑到课程的主要目标是训练正确的逻辑思维方法，提高系统建模和分析能力，建议上机学时不要挤占课上讲授学时，可计入总学时。
根据《专业规范》的精神，总结国内部分学校的教学经验，本文提出了一个面向科学型、工程型和应用型人才培养目标的离散数学知识框架，并对如何制订本校、本专业的教学实施方案给出了一些具体建议。许多想法还不成熟，需要广大教师在教学中不断实践和交流，总结经验，为离散数学课程建设作出贡献。
参考文献：
[1]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会，高等学校计算机科学与技术专业核心课程教学实施方案[M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会，高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范(试行)[M].北京：高等教育出版社.2006.
[3]教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会.高等学校计算机科学与技术专业公共核心知识体系与课程[M].北京：清华大学出版社，2007.
[责任编辑：余大品]