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《普通初中数学课程标准》明确指出：“初中数学课程应该返璞归真，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”正因为初中数学中存在较多的数学抽象概念、理解，因此初中数学教学对学生而言，有些过于形式化了。陕西师大罗增儒教授对数学解题教学是这样评价的：“优秀的数学教师，会把形式化的数学用语转化为学生能轻松掌握的形式，会将难题讲解得通俗易懂、沁人心脾。”因此，笔者认为：对学生二次函数综合题教学教学，应参照罗教授对中学数学教育的建议，采用以非形式化为主的策略。
二次函数压轴问题还有一个值得教学关注的点：即对图形的正确绘制与解读，这也就是平时教学所说的代数问题图形化策略。我们知道，学生难以在二次函数综合性问题中取得高分的一个重要原因是很多学生根本无法将条件正确地在图形中绘制，或者图形化的能力偏低、速度奇慢无比，这是导致学生无法在二次函数压轴题中取得高分的直接原因。
例1（图形化策略）已知平面直角坐标系中，二次函数与直线的一个公共点为。（1）求此二次函数和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中二次函数于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中二次函数的顶点为M，点N在此二次函数上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积。
分析：本题的解答中，原题是没有图形的，首先要求学生在给出的坐标系中正确的绘制该二次函数；其次利用条件（2）、（3）中所描述的，将“形”正确进行绘制，进而进行面积问题的求解。
解析：（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，二次函数的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为y=2x；
（2）设点P坐标（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2-2t），则PQ=2t-（t2-2t）=4t-t2=-（t-2）2+4，因此当t=2时，PQ的长度取得最大值为4；
（3）易知点M的坐标为（1，-1），过点M作直线OA的平行线交二次函数于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形。直线MN可看成是由直线OA向下平移个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x-b。因为点M在直线y=2x-b上，解得b=3，即直线MN的方程为y=2x-3，将其代入y=x2-2x，可得：2x-3=x2-2x，即x2-4x+3=0，可得x1=1，x2=3，所以，直线MN与二次函数的交点N的坐标为（3，3）。分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，显然四边形MNHG是平行四边形。可得点G（1，2），H（3，6）。S△OMG=■×（1-0）×MG=■×[2-（-1）]=■，S△ANH=■×（4-3）×NH=■×（6-3）=■，S△MNHG=（3-1）×NH=2×3=6，所以梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S△MNHG+S△ANH=9。
说明：图形化是考验学生数形结合能力的重要手段，在某些二次函数问题中，图形没有给学生进行绘制，条件中的点、线等关系需要学生自身去进行阅读处理，这要求二次函数问题教学中，教师要加强审题、图形化策略的侧重教学，这大大有利于学生在应试中遇到新型问题时，做到胸有成足。
例2（分类解决策略）设二次函数方程为y=-x2+（m-2）x+3（m+1）。（1）判断：二次函数与x轴的交点个数，并说明理由；（2）记二次函数交y轴于点C，当二次函数交x轴的两个不同交点A，B（不妨设B在A的右侧），若∠CAB或∠CBA中存在其中一个角为钝角，则m的取值范围是多少？（3）记二次函数的定点为P，在（2）求得的m条件下，若三角形△PAO与△ABC的面积相等，求该二次函数的表达式。
分析：（1）对于二次函数与x轴的交点个数，学生易知利用判别式进行判断；（2）利用数形结合思想，可以对钝角三角形的情形进行判断；（3）恰当的引入分类的原因，x轴两交点的位置不能唯一确定，因此以两交点的位置进行两种不同情形的分类，指导学生正确辨别是解决本题的关键。
解析：（1）∵△=（m-2）2-4×（-1）×3（m+1）=（m+4）2≥0，当m=-4时，△=0，二次函数与x轴有且仅有一个交点，当m≠-4时，△>0，二次函数与x轴有两个交点；
（2）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2=-3，利用数学结合可知m<-1且m≠-4；
（3）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2=-3，求得二次函数的顶点坐标P（■，■），此时考虑到A，B两点的位置关系，引导学生进行两种情形的分类：
①当A（m+1）、B（-3，0）时，∵S△PAO=S△ABC，得■（m+1）×■=■（-m-4）×3（m+1），解得m=-16，因此二次函数表达式y=-x2-18x-45。
②当A（-3，0）、B（m+1）时，∵S△PAO=S△ABC，得■×3×■=■（m+4）×[-3（m+1）]，解得m=-■，因此二次函数表达式y=-x2-■x-■。
说明：本题以运用二次函数的基本知识为前提，在解决问题过程中，合理、自然地找到了分类的切入点，考虑到A，B两个不同位置的存在性，使得学生对这一综合性问题的解决水到渠成。笔者建议，平时教学要多指导学生对常见二次函数运用问题的分类指导，并可利用学生错误的问题进行点播，有利于其正确进行分类辨别。
二次函数压轴问题还有一个值得教学关注的点：即对图形的正确绘制与解读，这也就是平时教学所说的代数问题图形化策略。我们知道，学生难以在二次函数综合性问题中取得高分的一个重要原因是很多学生根本无法将条件正确地在图形中绘制，或者图形化的能力偏低、速度奇慢无比，这是导致学生无法在二次函数压轴题中取得高分的直接原因。
例1（图形化策略）已知平面直角坐标系中，二次函数与直线的一个公共点为。（1）求此二次函数和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中二次函数于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中二次函数的顶点为M，点N在此二次函数上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积。
分析：本题的解答中，原题是没有图形的，首先要求学生在给出的坐标系中正确的绘制该二次函数；其次利用条件（2）、（3）中所描述的，将“形”正确进行绘制，进而进行面积问题的求解。
解析：（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，二次函数的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为y=2x；
（2）设点P坐标（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2-2t），则PQ=2t-（t2-2t）=4t-t2=-（t-2）2+4，因此当t=2时，PQ的长度取得最大值为4；
（3）易知点M的坐标为（1，-1），过点M作直线OA的平行线交二次函数于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形。直线MN可看成是由直线OA向下平移个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x-b。因为点M在直线y=2x-b上，解得b=3，即直线MN的方程为y=2x-3，将其代入y=x2-2x，可得：2x-3=x2-2x，即x2-4x+3=0，可得x1=1，x2=3，所以，直线MN与二次函数的交点N的坐标为（3，3）。分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，显然四边形MNHG是平行四边形。可得点G（1，2），H（3，6）。S△OMG=■×（1-0）×MG=■×[2-（-1）]=■，S△ANH=■×（4-3）×NH=■×（6-3）=■，S△MNHG=（3-1）×NH=2×3=6，所以梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S△MNHG+S△ANH=9。
说明：图形化是考验学生数形结合能力的重要手段，在某些二次函数问题中，图形没有给学生进行绘制，条件中的点、线等关系需要学生自身去进行阅读处理，这要求二次函数问题教学中，教师要加强审题、图形化策略的侧重教学，这大大有利于学生在应试中遇到新型问题时，做到胸有成足。
例2（分类解决策略）设二次函数方程为y=-x2+（m-2）x+3（m+1）。（1）判断：二次函数与x轴的交点个数，并说明理由；（2）记二次函数交y轴于点C，当二次函数交x轴的两个不同交点A，B（不妨设B在A的右侧），若∠CAB或∠CBA中存在其中一个角为钝角，则m的取值范围是多少？（3）记二次函数的定点为P，在（2）求得的m条件下，若三角形△PAO与△ABC的面积相等，求该二次函数的表达式。
分析：（1）对于二次函数与x轴的交点个数，学生易知利用判别式进行判断；（2）利用数形结合思想，可以对钝角三角形的情形进行判断；（3）恰当的引入分类的原因，x轴两交点的位置不能唯一确定，因此以两交点的位置进行两种不同情形的分类，指导学生正确辨别是解决本题的关键。
解析：（1）∵△=（m-2）2-4×（-1）×3（m+1）=（m+4）2≥0，当m=-4时，△=0，二次函数与x轴有且仅有一个交点，当m≠-4时，△>0，二次函数与x轴有两个交点；
（2）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2=-3，利用数学结合可知m<-1且m≠-4；
（3）令y=-x2+（m-2）x+3（m+1）=0，得到：x1=m+1，x2=-3，求得二次函数的顶点坐标P（■，■），此时考虑到A，B两点的位置关系，引导学生进行两种情形的分类：
①当A（m+1）、B（-3，0）时，∵S△PAO=S△ABC，得■（m+1）×■=■（-m-4）×3（m+1），解得m=-16，因此二次函数表达式y=-x2-18x-45。
②当A（-3，0）、B（m+1）时，∵S△PAO=S△ABC，得■×3×■=■（m+4）×[-3（m+1）]，解得m=-■，因此二次函数表达式y=-x2-■x-■。
说明：本题以运用二次函数的基本知识为前提，在解决问题过程中，合理、自然地找到了分类的切入点，考虑到A，B两个不同位置的存在性，使得学生对这一综合性问题的解决水到渠成。笔者建议，平时教学要多指导学生对常见二次函数运用问题的分类指导，并可利用学生错误的问题进行点播，有利于其正确进行分类辨别。