周期函数的周期与定义域

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  摘要:在函数的几大特性中,周期性应用比较广泛,但在周期函数的应用中,往往忽略周期函数的定义域,总是不自觉的扩大化使用“周期函数定义域无界和周期T有无穷多个”这一结论,而忽视了周期函数定义域的“上界和下界”与周期T之间的关系,本文就周期函数的周期和它的定义域之间的关系进行探讨,希望对读者有所帮助和借鉴。
  关键词:周期;周期函数;上界;下界
  我们仅就大部分教材中常见的周期函数的定义进行讨论。
  定义对于函数y=f(x),如果存在一个非零的常数常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的一个周期。
  对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做这个周期函数f(x)的最小正周期。
  我们知道,周期函数的周期有无穷多个;周期函数的定义域无界。但有很多学生往往都是这样理解的:如果周期函数f(x)有一个周期
  T,则kT,k∈Z,k≠0也是f(x)的周期。他们往往忽略了函数的定义域D。
  例如,正弦函数y=sinx,x∈R对于任何一个常数2kπ,k∈Z,k≠0
  都是这个函数的周期。最小正周期为2π。
  对于任意一个周期函数,是否也有类似的结论?如此我们有必要进行讨论。
  首先,我们有结论:
  设周期函数f(x)的定义域D,T是f(x)的一个周期,则kT(k∈N )是f(x)的周期。
  证明:设f(x)的周期T,定义域为D,由周期函数的定义:
  对x∈D,有f(x)=f(x T),于是x T∈D;
  f(x)=f(x T)=f((x T) T)=f(x 2T),2T是f(x)的一个周期,且x 2T∈D;
  f(x)=f(x 2T)=f((x 2T) T)=f(x 3T),3T是f(x)的一个周期,且x 3T∈D;
  ……
  对x∈D,有f(x)=f(x kT),k∈N ,即kT也是f(x)的周期。
  对于周期函数的定义域和它的周期,我们有如下的结论。
  1. 周期函数f(x)的定义域D有下界(m∈R,对x∈D,都有x≥m,则x≥m),则f(x)的周期T>0,且kT,k∈N 也是f(x)的周期,此时,定义域无上界(M∈R,对x∈D,都有x≤M)。
  下面,我们分别进行讨论:(以下“[]”表示取整函数)
  (1)周期函数f(x)的定义域D有下界,则f(x)周期T>0,我们采用反证法:
  设周期函数f(x)的定义域为D,D有下界m,若函数f(x)存在周期T<0,令x0∈D,有
  x0≥m,且f(x0 kT)=f(x0),k∈N ;
  令k=m-x0T 1,则k>m-x0T,于是kT  所以,x0 kT  所以,T一定大于0。
  (2)周期函数f(x)的定义域D有下界,则D无上界
  由(1)设f(x)的周期T>0,则kT,k∈N 是f(x)的周期,
  对x∈D,令k=|x|T 1,则x0=x kT≥x |x|≥0,且f(x0)=f(x kT)=f(x),即存在x0∈D,且x0≥0。
  设x0∈D,且x0≥0,对M>0,令k=MT,由MT 1>MT
  得x1=x0 kT>x0 MT×T=x0 M≥M且f(x1)=f(x0 kT)=f(x0),于是x1∈D。
  即对M>0,都x1∈D,且x1>M,所以,f(x)的定义域D无上界。
  事实上,这样的周期函数是存在的,例如f(x)=sin(x)2是周期函數,它的定义域是[0, ∞)周期是2kπ,k∈N 。
  再如,数列{an}:1,-1,1,-1,1,-1,……,(-1)n 1,……
  f(n)=(-1)n 1,n∈N ,2k(k∈N )都是函数f(n)的周期。
  同理:
  2. 周期函数f(x)的定义域D有上界,则f(x)的周期T<0,且kT,k∈N 也是f(x)的周期,此时定义域无下界。
  3. 周期函数f(x)的定义域D既无上界也无下界,T是f(x)的一个周期,则kT,k∈Z,k≠0也是f(x)的周期。
  设周期函数f(x)的定义域D既无上界也无下界,T是f(x)的一个周期,由周期函数的定义,对x∈D,f(x T)=f(x)与f(x-T)=f(x)是等价的。
  即在定义域D上下均无界的条件下,f(x)的值每隔T函数值相等与f(x)每隔-T函数值相等是等价的(区别仅仅是自变量在定义域内的取值由左到右还是由右到左而已)。于是:
  若周期函数f(x)的定义域D既无上界也无下界,T是f(x)的一个周期,则-T也是f(x)的一个周期。
  反之,如果周期函数f(x)存在周期T>0,则f(x)的定义域D无上界;如果周期函数f(x)存在周期T<0,则f(x)的定义域D无下界;如果周期函数f(x)存在周期T1>0,也存在周期T2<0,则f(x)的定义域D无上、下界。
  综上所述,周期函数的周期可能只是正数,可能只是负数,也可能是正负数互存,它们受函数的定义域制约,所以在讨论周期函数时,定义域是一个不可忽略的条件。
  参考文献:
  [1]姚绍义.大学数学上册.1版.北京.人民教育出版社.2002:18.
  [2]王天辉,王玉清.高等数学.1版.天津.南开大学出版社.2011:7-8.
  [3]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义.2版.北京.人民教育出版社编.1981:20-22.
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