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样例又称例子或范例，是一种能够例说或表征较为抽象的概念原理的相对具体的实体，能够展示同一类事物性质的样本或值得模仿的榜样.样例在原理学习与迁移过程中的作用是当前研究学习迁移问题的热点之一.
样例学习是指学习者通过研习样例而习得专家的问题解决方法的一种学习方式.“样例学习”在数学教学中扮演了十分重要的角色.数学样例是数学问题及其解答的组合体，或者是一个数学概念、公式或原理的一个具体“实体”对象.在数学教学中，教会学生懂得如何解决问题，习得问题解决技能，促进问题解决的迁移，形成有效的数学迁移，提高数学学习效率，是我们教师在教学中设计样例的目的.
一、精于样例问题的组织形式和呈现方式，减轻学生解决问题的负担
维果茨基的最近发展区理论认为，在学生实力所能达到的水平与经过别人给予协助可能达到的水平之间有一段差距，这就是该学生的最近发展区.维果茨基的最近发展区理论在教学上具有重要的意义，教学的最佳效果产生于学生的最近发展区.它为我们的样例设计提供了坚实的理论基础.因此，我们在引导学生习得问题类型的解决方法时，要从学习记忆承受负荷的“最近发展区”出发，精设样例问题的组织形式和呈现方式.在此过程中，教师要给予学生“支架作用”的协助，选择阶梯式的方式来处理问题，将其设置成几个小问题，在内容和要求上要注意循序渐进、由易到难，同时也要注重前后问题之间知识的逻辑连续性， 用具有逐层递进关系的小问题解决大问题，从而减轻认知负荷，并从中掌握问题类型的解决方法.
案例一：大边相等、小边相等全等三角形对应边夹角的求法.
例：如图，△OAB和△OCD都是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，BD与CO相交于点F，连结BC.（1）求证：△BOD≌△AOC；（2）△CFE∽△DFO；（3）求∠CED的度数.
当学生完成题目后，教师要引导学生总结该题目的条件、问题、图形三方面的特征，并让学生归纳出该模型的解决方法：关键是发现大边相等、小边相等的全等三角形，找出夹角所在的三角形，再利用两线相交对顶角相似的基本图形，找出其相似三角形，得到夹角的相似对应角，进而求得夹角的度数.
设计意图：此类型的最后目的是求全等三角形对应边的夹角.教师通过将大问题降低难度，分解成几个小问题，给学生架了一个阶梯，帮学生迅速解决问题，更重要的是学生通过经历问题类型的解决过程，能较轻易地找到问题的解决方法，减轻了认知负荷，提高了学习效率.
二、精于渗透几何基本图形，提高学生顺向推理的问题解决技能
问题解决过程中，“手段—目的”分析策略的应用会抑制图式的获得，而自动化的图式在工作记忆中是作为一个组块存储的，就像计算机传输打包处理的压缩文件一样，会大大减少工作记忆的负荷.在数学学习中，我们要引导学生加强对图式、产生式条件部分的认知，将零碎的图式、产生式模块化，使学生发展出顺向推理的问题解决技能，即获取自动化的图式和产生式系统，从而减轻认知负荷，加快认知速度，提高学习的效率.
几何图形千变万化，初三的学生学习完四边形这一章后，面对几何题目常常束手无策、一筹莫展.针对这一现象，我们可以采用“基本图形法”来帮助学生提高分析复杂图形的能力.
平面图形可以通过各种不同图形的组合而产生无穷变化，但任何一个图形往往都是由一个或若干个最基本的图形组合而成的， 因此可以从研究基本图形的性质、应用范围入手， 来分析或解决复杂问题，这种方法就是基本图形法.它可以有效地揭示规律， 克服学生“几何难学”的恐惧心理，也使平面几何教学摆脱了困境.
案例二：几何图形的拆分.
例1：四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.判断：四边形EFGH是何种特殊四边形？请你证明.结论： 的中点四边形是菱形.
例2：如图，△OAB和△OCD都是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，连结BC.求证：AC=BD.
例3：如图，P是线段AB上方的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H.猜想四边形EFGH的形状，并证明.
教完中点四边形这一模块后，教师可出示例1、例2（这一图形在第一章大量出现，学生并不陌生），再出示例3，并鼓励学生对例3的图形进行拆分，找出图中自己所熟悉的图形.基于例1、例2，学生很快能找到他们熟悉的图形，并能根据例1、例2的基本图形特征及相应的解决方法将原题进行拆分，得到两个基本图形，并运用与之对应的解决方法找到例3的证明思路.
设计意图：先设计例1、例2两道简单的题目，目的是让学生记住其基本图形的性质和特点；然后再出示例3这道比较复杂的题目， 让学生对这道题目的图形进行适当地分析和提炼，辨认出例1、例2的基本图形， 或者构造出它们的基本图形；从而根据基本图形的性质， 择取有用的信息和结论， 迅速地找到证题思路和证题方法，让学生感受基本图形对几何证题的作用，培养学生对几何图形的拆分能力，提高学生顺向推理的问题解决技能.
三、精于变式题组的设计，提高学生问题解决的迁移能力
在样例学习中至少应该向学习者提供两个以上的样例，学习效果才会较好.样例中变式的增加可能促进图式和迁移的获得，因此设计出有利于学生把握问题性质特征的系列样例，促进学生的问题解决迁移是教师教学设计的主要手段.
我们可以先对样例中某个关键的表面特征进行变异，引起学生对该特征的重视，并对问题的类型进行类比，从而找到解决问题的恰当方法.然后教师再引导学生利用表面相似这个“相同中的不同”找出源问题所要体现的知识点和思想方法.与此同时，问题类型的相似使得学生模仿这种解题思路，并运用于具体的新问题中.而且学生将逐渐变得有心得和自信，能够逐步摈弃表面特征继而转入根据结构特征对问题进行类比、归纳，促进图式和迁移的获得. 案例三：判断全等或相似的两个直角三角形斜边互相垂直的变式设计.
例1：如图，把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 试猜想AD与BE的位置关系，并给出证明.
教师引导学生分析图式特征，找到相似的类型问题（案例一之例题），运用其解决原理解决上例，并引导学生明确：证两对应斜边垂直，关键是找出斜边夹角所在的三角形，再利用两线相交对顶角相似的基本图形，找出其相似三角形.
例2：如图3，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，EF⊥FP，且EF=FP·EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ.试猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系，并给出证明.
分析：证夹角∠PMB所在三角形的对顶角三角形相似 .
例3：如图，把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上， 连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并证明.
条件的改变不代表目的的改变，45°的三角板变为30°的三角板同样给出信息：两对直角边的比例：=，将该比例进行变形：=，可找到△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠DAC，同样达到证对顶角三角形相似的目的.
例4：如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2， 连接AE和 GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
分析：想办法证两斜边夹角所在三角形的对顶角三角形相似.
设计意图：①例2通过改变题目的表面特征，进一步强化了学生识别模型的能力和问题解决方法的运用，用“量”的积累达到知识的记忆与巩固.②例3通过改变题目的结构特征，保留了源问题的本质特征，帮助学生将问题的本质特征从图形中提炼出来，达到了对“源问题”质的理解.③例4的综合变式练习，通过对数学模型的拓展、延伸，能完全促进学生图式和迁移的获得，促进了有效学习的发生.
“样例”以其显著的优点，以及其在解决问题中的重要作用在教学中颇受青睐.数学样例清除了抽象的数学理论架构和人们认知之间产生的隔阂，将所教学的知识串起来，易化了知识的获得过程，大大减轻了学生的认知负荷，让学生好学、好记、好用，提高他们的学习兴趣，从而促进学生问题解决技能的获得及学习的有效迁移，使数学学习事半功倍.
责任编辑 罗 峰
样例学习是指学习者通过研习样例而习得专家的问题解决方法的一种学习方式.“样例学习”在数学教学中扮演了十分重要的角色.数学样例是数学问题及其解答的组合体，或者是一个数学概念、公式或原理的一个具体“实体”对象.在数学教学中，教会学生懂得如何解决问题，习得问题解决技能，促进问题解决的迁移，形成有效的数学迁移，提高数学学习效率，是我们教师在教学中设计样例的目的.
一、精于样例问题的组织形式和呈现方式，减轻学生解决问题的负担
维果茨基的最近发展区理论认为，在学生实力所能达到的水平与经过别人给予协助可能达到的水平之间有一段差距，这就是该学生的最近发展区.维果茨基的最近发展区理论在教学上具有重要的意义，教学的最佳效果产生于学生的最近发展区.它为我们的样例设计提供了坚实的理论基础.因此，我们在引导学生习得问题类型的解决方法时，要从学习记忆承受负荷的“最近发展区”出发，精设样例问题的组织形式和呈现方式.在此过程中，教师要给予学生“支架作用”的协助，选择阶梯式的方式来处理问题，将其设置成几个小问题，在内容和要求上要注意循序渐进、由易到难，同时也要注重前后问题之间知识的逻辑连续性， 用具有逐层递进关系的小问题解决大问题，从而减轻认知负荷，并从中掌握问题类型的解决方法.
案例一：大边相等、小边相等全等三角形对应边夹角的求法.
例：如图，△OAB和△OCD都是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，BD与CO相交于点F，连结BC.（1）求证：△BOD≌△AOC；（2）△CFE∽△DFO；（3）求∠CED的度数.
当学生完成题目后，教师要引导学生总结该题目的条件、问题、图形三方面的特征，并让学生归纳出该模型的解决方法：关键是发现大边相等、小边相等的全等三角形，找出夹角所在的三角形，再利用两线相交对顶角相似的基本图形，找出其相似三角形，得到夹角的相似对应角，进而求得夹角的度数.
设计意图：此类型的最后目的是求全等三角形对应边的夹角.教师通过将大问题降低难度，分解成几个小问题，给学生架了一个阶梯，帮学生迅速解决问题，更重要的是学生通过经历问题类型的解决过程，能较轻易地找到问题的解决方法，减轻了认知负荷，提高了学习效率.
二、精于渗透几何基本图形，提高学生顺向推理的问题解决技能
问题解决过程中，“手段—目的”分析策略的应用会抑制图式的获得，而自动化的图式在工作记忆中是作为一个组块存储的，就像计算机传输打包处理的压缩文件一样，会大大减少工作记忆的负荷.在数学学习中，我们要引导学生加强对图式、产生式条件部分的认知，将零碎的图式、产生式模块化，使学生发展出顺向推理的问题解决技能，即获取自动化的图式和产生式系统，从而减轻认知负荷，加快认知速度，提高学习的效率.
几何图形千变万化，初三的学生学习完四边形这一章后，面对几何题目常常束手无策、一筹莫展.针对这一现象，我们可以采用“基本图形法”来帮助学生提高分析复杂图形的能力.
平面图形可以通过各种不同图形的组合而产生无穷变化，但任何一个图形往往都是由一个或若干个最基本的图形组合而成的， 因此可以从研究基本图形的性质、应用范围入手， 来分析或解决复杂问题，这种方法就是基本图形法.它可以有效地揭示规律， 克服学生“几何难学”的恐惧心理，也使平面几何教学摆脱了困境.
案例二：几何图形的拆分.
例1：四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.判断：四边形EFGH是何种特殊四边形？请你证明.结论： 的中点四边形是菱形.
例2：如图，△OAB和△OCD都是等边三角形，连结AC和BD，相交于点E，连结BC.求证：AC=BD.
例3：如图，P是线段AB上方的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H.猜想四边形EFGH的形状，并证明.
教完中点四边形这一模块后，教师可出示例1、例2（这一图形在第一章大量出现，学生并不陌生），再出示例3，并鼓励学生对例3的图形进行拆分，找出图中自己所熟悉的图形.基于例1、例2，学生很快能找到他们熟悉的图形，并能根据例1、例2的基本图形特征及相应的解决方法将原题进行拆分，得到两个基本图形，并运用与之对应的解决方法找到例3的证明思路.
设计意图：先设计例1、例2两道简单的题目，目的是让学生记住其基本图形的性质和特点；然后再出示例3这道比较复杂的题目， 让学生对这道题目的图形进行适当地分析和提炼，辨认出例1、例2的基本图形， 或者构造出它们的基本图形；从而根据基本图形的性质， 择取有用的信息和结论， 迅速地找到证题思路和证题方法，让学生感受基本图形对几何证题的作用，培养学生对几何图形的拆分能力，提高学生顺向推理的问题解决技能.
三、精于变式题组的设计，提高学生问题解决的迁移能力
在样例学习中至少应该向学习者提供两个以上的样例，学习效果才会较好.样例中变式的增加可能促进图式和迁移的获得，因此设计出有利于学生把握问题性质特征的系列样例，促进学生的问题解决迁移是教师教学设计的主要手段.
我们可以先对样例中某个关键的表面特征进行变异，引起学生对该特征的重视，并对问题的类型进行类比，从而找到解决问题的恰当方法.然后教师再引导学生利用表面相似这个“相同中的不同”找出源问题所要体现的知识点和思想方法.与此同时，问题类型的相似使得学生模仿这种解题思路，并运用于具体的新问题中.而且学生将逐渐变得有心得和自信，能够逐步摈弃表面特征继而转入根据结构特征对问题进行类比、归纳，促进图式和迁移的获得. 案例三：判断全等或相似的两个直角三角形斜边互相垂直的变式设计.
例1：如图，把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 试猜想AD与BE的位置关系，并给出证明.
教师引导学生分析图式特征，找到相似的类型问题（案例一之例题），运用其解决原理解决上例，并引导学生明确：证两对应斜边垂直，关键是找出斜边夹角所在的三角形，再利用两线相交对顶角相似的基本图形，找出其相似三角形.
例2：如图3，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，EF⊥FP，且EF=FP·EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ.试猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系，并给出证明.
分析：证夹角∠PMB所在三角形的对顶角三角形相似 .
例3：如图，把两个含有30°角的直角三角板如图放置，点D在BC上， 连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并证明.
条件的改变不代表目的的改变，45°的三角板变为30°的三角板同样给出信息：两对直角边的比例：=，将该比例进行变形：=，可找到△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠DAC，同样达到证对顶角三角形相似的目的.
例4：如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2， 连接AE和 GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
分析：想办法证两斜边夹角所在三角形的对顶角三角形相似.
设计意图：①例2通过改变题目的表面特征，进一步强化了学生识别模型的能力和问题解决方法的运用，用“量”的积累达到知识的记忆与巩固.②例3通过改变题目的结构特征，保留了源问题的本质特征，帮助学生将问题的本质特征从图形中提炼出来，达到了对“源问题”质的理解.③例4的综合变式练习，通过对数学模型的拓展、延伸，能完全促进学生图式和迁移的获得，促进了有效学习的发生.
“样例”以其显著的优点，以及其在解决问题中的重要作用在教学中颇受青睐.数学样例清除了抽象的数学理论架构和人们认知之间产生的隔阂，将所教学的知识串起来，易化了知识的获得过程，大大减轻了学生的认知负荷，让学生好学、好记、好用，提高他们的学习兴趣，从而促进学生问题解决技能的获得及学习的有效迁移，使数学学习事半功倍.
责任编辑 罗 峰