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[摘 要]小学生学习数学是从直观形象思维开始的，但随着知识难度的增加，数学学习对抽象思维的要求越来越高。教学中，如果教师从具体到抽象的转换太快，学生学得就会很困难。只有循序渐进才能使学生易学易懂，而这个过渡和衔接的过程主要靠淡化直观图形的存在感来实现。
[关键词]马赛克；苹果；抽象；模型；数量关系
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0051-02
2001年适逢课程改革，新教材给笔者的第一印象就像一本连环画，图片一幅接一幅，让人目不暇接！与旧教材相比，新教材的插图色彩鲜艳、画面生动。到了2013年课程标准修订后，苏教版教材二年級上册的插图色彩更丰富、数量更多了。仔细阅读这些插图，让人新奇的是，有些插图打了“马赛克”（如图1、图2），这在旧教材中是从未出现过的。为什么要打“马赛克”？这样做的目的是什么？
一、打了“马赛克”的抽象作用
数学和所有科学一样，都要以生活实际为依托，从真实现象中抽象出数量关系和虚拟的空间形式。数学的抽象过程不是一步到位的，需要借助具体情境循序渐进地抽象。
打了“马赛克”的部分淡化了苹果的物理直观，突出了它在数量上的抽象表征意义。图1将10个苹果抽象成一根横条，用稍长的横条表征17个梨，将数量多少转化为横条长短。将此时的苹果和梨作为普通水果的物理属性（颜色、味道、大小、形状）被淡化了，蜕变为一个抽象的数学符号、一个数码，它们的数量已经被抽象为一根横条。图2与图1有明显区别，图1挡住中间部分，两端各露出半个苹果，留下合理联想的提示，帮助学生形成量感；图2让每个苹果露出“上半身”，隐去“下半身”。目的何在？笔者以为这是为了直观呈现4个2的运算基础，揭示乘法的含义，将数量从实物中剥离出来。
线段图可以直观地揭示数量关系。如，教学“倍的认识”时，要求学生分别量出两条线段的长度，并说说较长线段是较短线段的几倍。又如，教学“解决两步计算的实际问题”时，要求学生利用线段图分析数量关系，并补充完成线段图，引导学生慢慢学会绘制和运用线段图。在新旧教材的对比中，笔者发现打了马赛克的不仅是“苹果”，还有更重要的。
二、打了“马赛克”的量值大小
心理学研究表明，思维发展都是从直观的形象思维过渡到抽象思维的，这个过程分为四个阶段：初步感知、依靠表象、形象思维、抽象思维。教师必须先依靠学具、实物图等感性材料，让学生充分观察了解，再逐步淡化实物、提炼抽象，从而概括出概念定理。如，新教材第一单元“100以内的加法和减法（三）”中有一组习题。
观察上面这组习题，稍加分析就知道是加减法计算的基本题型。三道习题分别考查的是两数之差、多退少补、求比一个数多几是什么数。除图3隐约露出实物外，图4和图5就只有横条了。对比这组图片，可以发现都是用横条的长短来刻画数量的，长短与数量多少成正比，长横条比短横条多出的一截，既是差量又是较长横条的局部。在一步步的抽象中，学生不仅学会了解答类似题型的方法，还更加深入地理解了减法的含义。
三、打了“马赛克”的计算模型
学生思维的发展是一个渐进的过程，在抽象某些概念的过程中，仍能看到直观思维的影子。具体感性的素材在大脑中留下印记，形成表象，再抽象概括成理性思维。新教材分布在第三、六单元中的另一组习题就体现了不同的思维阶段。
这组习题是典型的乘除法计算，详加查看就能发现内在关联。图6中的8个苹果都只露出一部分；图7只在第一截横条中标明★号，其他横条一律空置；图8的横条中没有任何填充物，只是在括弧线上旁注了球形图标。这种编排顺序是为了展现“实物—半实物—图形”的抽象过程，让学生经历“完全直观—局部抽象—整体抽象”的思维过程，逐步把实物抽象为数学字符，加强了客观现实与抽象理论之间的联系。
乘除法都可以概括为“几个几”，如果求总数就用乘法，如果求份数或者个数就用除法。优等生能够在这种反复的抽象活动中联系前后知识，建筑自己的知识大厦；学困生遇到这样的题型，也能形成一些抽象认知。如，看到—截横条里包含3个★，就能推理出每截横条也都是这样。又如，由每段横条的长度一致，判断出每段横条里含有的[○]数量相等。
两组习题都是从实物一步步渐渐抽象成横条的，大同小异的横条背后隐藏着迥然不同的信息。第一组习题反映的是部分与整体之间的大小关系，第二组习题反映的是倍数关系。对比发现，横条可以表示等量和不等量，也可以刻画倍数或者量差关系，有了这样的比较、抽象、概括之后，学生理解起来就会更加透彻。
数学的抽象可以看作一种重组活动，这种活动站在原有知识的高度上构筑新的认知。正如布鲁纳所言，儿童接受数学概念是一个线性过程，从动作到图像最后再抽象成凭空推理。在动作表征中，儿童的思维必须依赖实物进行直观操作，图像表征则是撤销实物后的残留印象继续进行的思维活动，当达到抽象思考的境界时，学生就可以运用数学符号来演示纯理论活动。因此，在培养低年级学生的抽象能力时，教师要由浅入深、循序渐进。
（责编 李琪琦）
[关键词]马赛克；苹果；抽象；模型；数量关系
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0051-02
2001年适逢课程改革，新教材给笔者的第一印象就像一本连环画，图片一幅接一幅，让人目不暇接！与旧教材相比，新教材的插图色彩鲜艳、画面生动。到了2013年课程标准修订后，苏教版教材二年級上册的插图色彩更丰富、数量更多了。仔细阅读这些插图，让人新奇的是，有些插图打了“马赛克”（如图1、图2），这在旧教材中是从未出现过的。为什么要打“马赛克”？这样做的目的是什么？
一、打了“马赛克”的抽象作用
数学和所有科学一样，都要以生活实际为依托，从真实现象中抽象出数量关系和虚拟的空间形式。数学的抽象过程不是一步到位的，需要借助具体情境循序渐进地抽象。
打了“马赛克”的部分淡化了苹果的物理直观，突出了它在数量上的抽象表征意义。图1将10个苹果抽象成一根横条，用稍长的横条表征17个梨，将数量多少转化为横条长短。将此时的苹果和梨作为普通水果的物理属性（颜色、味道、大小、形状）被淡化了，蜕变为一个抽象的数学符号、一个数码，它们的数量已经被抽象为一根横条。图2与图1有明显区别，图1挡住中间部分，两端各露出半个苹果，留下合理联想的提示，帮助学生形成量感；图2让每个苹果露出“上半身”，隐去“下半身”。目的何在？笔者以为这是为了直观呈现4个2的运算基础，揭示乘法的含义，将数量从实物中剥离出来。
线段图可以直观地揭示数量关系。如，教学“倍的认识”时，要求学生分别量出两条线段的长度，并说说较长线段是较短线段的几倍。又如，教学“解决两步计算的实际问题”时，要求学生利用线段图分析数量关系，并补充完成线段图，引导学生慢慢学会绘制和运用线段图。在新旧教材的对比中，笔者发现打了马赛克的不仅是“苹果”，还有更重要的。
二、打了“马赛克”的量值大小
心理学研究表明，思维发展都是从直观的形象思维过渡到抽象思维的，这个过程分为四个阶段：初步感知、依靠表象、形象思维、抽象思维。教师必须先依靠学具、实物图等感性材料，让学生充分观察了解，再逐步淡化实物、提炼抽象，从而概括出概念定理。如，新教材第一单元“100以内的加法和减法（三）”中有一组习题。
观察上面这组习题，稍加分析就知道是加减法计算的基本题型。三道习题分别考查的是两数之差、多退少补、求比一个数多几是什么数。除图3隐约露出实物外，图4和图5就只有横条了。对比这组图片，可以发现都是用横条的长短来刻画数量的，长短与数量多少成正比，长横条比短横条多出的一截，既是差量又是较长横条的局部。在一步步的抽象中，学生不仅学会了解答类似题型的方法，还更加深入地理解了减法的含义。
三、打了“马赛克”的计算模型
学生思维的发展是一个渐进的过程，在抽象某些概念的过程中，仍能看到直观思维的影子。具体感性的素材在大脑中留下印记，形成表象，再抽象概括成理性思维。新教材分布在第三、六单元中的另一组习题就体现了不同的思维阶段。
这组习题是典型的乘除法计算，详加查看就能发现内在关联。图6中的8个苹果都只露出一部分；图7只在第一截横条中标明★号，其他横条一律空置；图8的横条中没有任何填充物，只是在括弧线上旁注了球形图标。这种编排顺序是为了展现“实物—半实物—图形”的抽象过程，让学生经历“完全直观—局部抽象—整体抽象”的思维过程，逐步把实物抽象为数学字符，加强了客观现实与抽象理论之间的联系。
乘除法都可以概括为“几个几”，如果求总数就用乘法，如果求份数或者个数就用除法。优等生能够在这种反复的抽象活动中联系前后知识，建筑自己的知识大厦；学困生遇到这样的题型，也能形成一些抽象认知。如，看到—截横条里包含3个★，就能推理出每截横条也都是这样。又如，由每段横条的长度一致，判断出每段横条里含有的[○]数量相等。
两组习题都是从实物一步步渐渐抽象成横条的，大同小异的横条背后隐藏着迥然不同的信息。第一组习题反映的是部分与整体之间的大小关系，第二组习题反映的是倍数关系。对比发现，横条可以表示等量和不等量，也可以刻画倍数或者量差关系，有了这样的比较、抽象、概括之后，学生理解起来就会更加透彻。
数学的抽象可以看作一种重组活动，这种活动站在原有知识的高度上构筑新的认知。正如布鲁纳所言，儿童接受数学概念是一个线性过程，从动作到图像最后再抽象成凭空推理。在动作表征中，儿童的思维必须依赖实物进行直观操作，图像表征则是撤销实物后的残留印象继续进行的思维活动，当达到抽象思考的境界时，学生就可以运用数学符号来演示纯理论活动。因此，在培养低年级学生的抽象能力时，教师要由浅入深、循序渐进。
（责编 李琪琦）