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[摘 要] 数学课堂教学是一门艺术，课堂中教师要抓住“留白”契机，在导入处留白、重难点处留白、认识冲突时留白、自我小结时留白，让学生发现问题和提出问题，通过自主思考和合作学习等方式生解决问题，使思维过程在课堂上得到充分的展现. 教学实践中掌握一定的留白技巧和方法，可以增强教学的艺术性，使课堂更精彩.
[关键词] 课堂留白；自主发现；合作探究；放飞思维
留白，是国画的一种手法，即在整幅画中留下空白，计白当黑，可创造出虚实相生、形神兼备的艺术境界，留下空白，以无胜有，让人浮想，叫人回味.课堂教学也是一门艺术，是否也需要“留白”？
江苏省教育科学研究院李善良教授曾说过，数学教学的核心是理清每节课的主线：①知识的主线；②知识生成的主线；③学生思维的主线，而学生思维的主线是第一位的.笔者前段时间参加了江苏省优质课比赛，在准备过程中，笔者根据李教授的观点一直在思考学生已经会什么知识，学生能通过预习自己解决哪些知识，学生会认为哪处是难点. 而现代课堂要放飞学生思维，教师在课堂上就不能“满堂灌”，在适当处“留白”，给学生探索、思考、动手、阅读的机会. 根据这样一种教学理念，针对函数y=Asin（ωx φ）的图象，笔者设计了以下教学思路.
导入处留白——激起思维
课堂实录片段一
1. 引入
①（播放flash动画——弹簧振子做简谐运动）
教师问：弹簧振子做简谐运动时，位移s与时间t所描绘的图象，它与我们学过的什么函数图象类似？（给学生一定时间观察，让学生联想具备“周而复始”这种性质的函数，感受其“周而复始”的周期性.）
众生：正弦函数y=sinx的图象.
教师：实际上，物体做简谐运动时，位移s与时间t的关系式都可以写成s=Asin（ωt φ）的形式，其中A，ω，φ为常数，A>0，ω>0.
2. 三个量的物理意义
教师：在s=Asin（ωt φ）（其中A>0，ω>0）中，A是物体离开平衡位置的最大距离，称振动的振幅；往复振动一次所需的时间T=成为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==称为振动的频率；ωt φ称为相位，t=0时的相位φ称为初相.
对这几个量的物理意义，同学们记住了吗？（给学生留出一分钟的记忆时间.）
【检测1】 若函数y=3sin2x-表示一个振动量，则这个振动的振幅为______，周期为______，？摇频率为______，相位为______，初相为______. （生齐答）
【设计意图】 数学的学习特别强调新知识产生的背景，从学生的现有知识出发，引导学生感知数学知识的产生和发展是水到渠成的.直观性的生活实例引入，能拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性.
对于这个函数模型学生比较陌生，对于几个量的物理意义，学生第一次接触，此时“留白”让学生记忆这些量的物理意义，可减少卡壳现象，增加学生信心，为后续的学习奠定基础.
教学重点处留白——放飞思维
教学重点是学生必须掌握的基础知识与基本技能，是基本概念、规律及方法，可以称为学科教学的核心知识.函数y=Asin（ωx φ）的图象及参数A，ω，φ对函数图象的影响是本节课的重点，在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想. 同时还力图向学生展示观察、类比、归纳、联想等数学思想方法. 笔者通过以下几个环节力求突出这一重点.
课堂实录片段二
1. “化繁为简”，制定方案
教师问：这个解析中含有三个参数，如何研究φ，A，ω对函数图象的影响呢？
学生1：三个参数分开研究.
教师：想法很好，我们可以分而治之，逐个击破.比如我们先研究参数φ，那么A和ω的值怎么处理呢？
学生2：可以令A=1，ω=1.
教师：很好，我们可以再“退”.
（留白，让学生体会，回答，对于另外两个量研究顺序可以让学生来定.）
【设计意图】
在教学中教师不在于全盘授予，而在于相机诱导. 对一个问题的提出，教师要给学生留有自主探究的思维空间.首先，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化. 伟大的数学家华罗庚说：“要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”这里的“分而治之、逐个击破”就是“退”的方法. 从而让学生体会从简单到复杂的研究问题的一般方法. 其次，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法，激发学生学习的迫切欲望，点燃学生思考的烈焰，以此培养学生宏观分析问题、细化问题的能力.
2. 层层递进，探究结论
对函数y=Asin（ωx φ）的图象的研究，授课时通过五点作图和几何画板帮助学生更好地观察规律，最后形成对图象变化的具体认识，然后再推广到一般情形. 这样安排既化解了难点，又让学生有清晰的讨论线索，从中能使学生学习如何将复杂的问题分解为简单的问题并“各个击破”，然后“归纳整合”，培养学生思考问题有条理的习惯，有利于培养他们的逻辑思维能力.
课堂实录片段三
探究1：函数y=sin（x φ）（φ≠0）的图象与函数y=sinx的图象的关系
教师：我们首先研究由函数y=sinx的图象通过什么变换可以得到函数y=sin（x φ）（φ≠0）的图象.
众生：左加右减（学生熟知）
教师：为什么φ>0时，图象向左平移？φ<0时，图象向右平移？
（很多学生陷入沉思，然后学生之间会小声议论，此时老师并不急切地要结果，而是引导学生从特殊函数入手去研究，给学生留有思考和探究的时间，学生会进入“自求得之”的“忘师”境界，乐意去学，去思考.） 教师：我们先从特殊函数入手，y=sinx和y=sin（x-），请同学们在刚发的探究案上快速完成列表，作出一个周期内的图象，并观察两个图象有何关系？
（留白，给学生留5分钟时间列表，作图，并观察图象关系. 此时老师应该多关注学困生的列表作图情况.）
（通过作图和动画展示，并引导学生通过列表中的点的坐标来解释变换，相同的横坐标时看纵坐标的变化，借助“特殊到一般”的思想方法发现规律.）
板书：
y=sinxy=sin（x φ）.
教师：如何规范表述这种变换呢？（学生齐读课本35页中的“变换规律”，强化语言的规范表述.）
教师补充板书：“所有的点”（强调“所有的点”都发生了变化）.
教师：你学会规范表述了吗？（试一试.）
【检测2】
（1）将函数y=sin（x-1）的图象_______，可以得到y=sinx的图象.
（2）将函数y=f（x）的图象________，可以得到y=f（x-1）的图象.
（留点时间让学生自己叙述，然后生4、5尝试规范回答.）
【设计意图】
1. 通过复习五点法作图，让学生体会“整体”的思想；从而引导学生说明“为什么φ>0时，图象向左平移？φ<0时，图象向右平移”，在探讨这个问题中，很多学生停留在旧知识层面上，如“数轴左负右正”，极易混淆. 此时几处短时间的留白，老师巧妙地设置了台阶，从具体函数y=sinx和y=sinx-入手研究，让学生列表，作图，观察规律，从形上说出图象变换是图象上每点的位置变化，从列表中观察出点的坐标变化进而从点的坐标来理解所有点的变化，可以让学生真正地参与到学习过程中来.
2. 通过齐读课本和练习，让学生规范语言表达能力，并让学生理解三角函数的平移变换实际上是一般函数平移变换的特例，做到知识的同化与顺应.
3. 而对于另外两个参数的探究，更多时间的留白可放手给学生独立研究、分组探究、展示交流、相互印证的方式来完成. 安排如下：
探究2：探究函数y=Asinx（A>0）的图象与函数y=sinx的图象的关系，探究函数y=sinωx（ω>0）的图象与函数y=sinx的图象的关系.
1. 学生探究，教师巡视.
教师：请在同一直角坐标系中分别作出学案上另两组函数一个周期内的图象.
①y=sinx，y=3sinx，？摇y=sinx；
②y=sinx，y=sin2x，y=sinx.
教师：结合以下三个探究步骤观察比较另两组图象间的关系，并总结变换规则.
①“五点”作图；②观察比较；③总结规律
2. 学生展示各组图象的探究成果，教师点评.
从“形”的角度得到结论；从“数”的角度解释结论；两者结合总结一般结论（强化语言的规范表述）；
得到一般函数y=f（x）与y=Af（x）图象的关系与一般函数y=f（x）与y=f（ωx）图象的关系.
【设计意图】 根据建构主义学习理论“学习不是由教师直接传递给学生，而是由学生自己主动建构知识的过程，这种建构无法由他人来替代”，本阶段第一个规律凭借提问和追问，巧设台阶，让学生把握正确的探究方向. 第二个和第三个规律留足学生自主发现与探究展示的空间，通过数形结合，借助图象观察，发现、总结一般规律，培养学生的“问题意识”，在探索中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的. 在探究过程的节点处，又让学生开口表述，可以让学生在头脑中整理思路，加深了对数学知识的理解，同时也训练学生数学语言的组织表达能力. 课堂中我们要舍得留白，耐得住等待，等待学生学会探究知识的方法，这样做有利于充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答，对于教师，也要抓住学生的想法及时引导，有效驾驭课堂.
认识冲突时的“留白”——升华思维
学生的困惑是知识的生长点，也是教学的出发点、立足点，只有最大限度地消除学生知识上的困惑的教学才是真正有效的教学. 对函数y=Asin（ωx φ）的图象的研究，在从一个参数上升为两个参数时，是学习中的难点. 为了突破难点，笔者把发现留给学生，把时间留给学生，把讲台留给学生，让学生通过独立思考、自主探索、合作交流的学习方式，在思考交流中解决问题.
课堂实录片段四
【问题1】 通过刚刚的探究，我们已经由y=sinx的图象，通过图象变换可以得到y=sin2x的图象，那么想得到函数y=sin2x-的图象，又该做怎样的变换？请同学们描述具体变换？（留出一分钟的思考时间，然后生作答.）
学生1：（基于思维定式，错误套用法则）将函数y=sin2x的图象，向右平移个单位，就可以得到函数y=sin2x-的图象. （大多数学生点头.）
学生2：我不赞同他的观点，我认为应该将函数y=sin2x的图象，向右平移个单位，就可以得到函数y=sin2x-的图象. （很多学生露出惊讶的神色.）
（老师根据学生说的两种步骤分别板书.）
教师：根据两位学生所叙述的两种不同的步骤，我们用几何画板作图，同学们看看，变换之后的图象还一样吗？
（学生观察后）生齐答：不一样.
教师：看来大家在这个地方遇到了一点问题，遇到问题不可怕！大家敢于表述自己的观点是非常值得表扬的.那么同学们一起讨论交流：问题出在哪？如何做出解释？
（此时留出五分钟时间，让学生讨论交流.）
学生3：还和前面方法一样，我们组从点的坐标角度来分析： y=sin2x y=sin2x-
点M（x0，y0） 点Nx0 ，y0
故向右平移个单位是正确的.有不同的想法吗？
学生4：我们组同意他们的观点，但是我们组认为只要将x前的系数提取出来，就可以很快看出来了，y=sin2x-=sin2x-，然后看x本身发生的变化就可以了. 还有其他想法吗？
（多数学生露出质疑不解的神色.）
学生5：我再补充下上个同学的观点，如果将函数y=sin2x记为y=f（x）=sin2x的图象，那么y=sin2x-=sin2x-=fx-，这样由y=f（x）的图象通过向右平移个单位可以得到函数y=fx-的图象. 同学们，这样好理解了吗？
（学生露出笑容，立刻爆发出热烈掌声.）
教师：很好. 三位同学表述得非常清晰，分别从坐标的变化和一般函数的角度解释了这样变换：左右平移只对x本身发生了变化. 那么我们将开始的这位同学的作答订正一下，将函数y=sin2x的图象，若向右平移个单位，应该可以得到函数y=sin2x-=sin2x-的图象.
【设计意图】
心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.” 而本课中两个参数复合对函数图象的影响，“相位变换与周期变换”次序改变，其中平移的量、周期变换的量的确定，不少学生理解上有困难，很容易混淆，构成教学的难点. 对于这部分知识，很多学生机械地套用法则，而不理解算理，新知识没有成为学生“自己的可用知识”，只能仿效，致使发生错误. 这些错误更易引起学生的警惕与清醒，对学生的心理智力产生刺激，更能激起学生强烈的探索欲望. 《论语》言：“不愤不启，不悱不发！”这里正是通过学生的回答和图象上的直观否定使学生感觉“有惑而无解”，而任何眉飞色舞、精辟绝伦的讲解、列举，都取代不了学生自己对所学内容的深切感悟. 这应该是学生激烈讨论的时候，让学生通过比较、讨论，思维上经历了“直觉—矛盾—思考—验证”，真正地理解了图形的变换归根结底是点的变换，从点的坐标和函数的角度理解数学知识. 所以解疑的过程需适当“留白”，在分组合作探究中给学生留出“想的时间”、“说的机会”以及“展示思维过程”的舞台，促进了学生学习方式的改变，提高了学生的数学学习信心. 这一“留白”充分发挥了学生的主体作用，让学生体会到正是因为有了错误才会有经验，因为有了经验才会有成功. 让学生在体验成功的快乐氛围中激发其探究热情，升华学生的数学思维能力和探究能力.
探究3：
教师：我们已经由y=sinx的图象，通过周期变换可以得到y=sin2x的图象，又通过相位变换得到了函数y=sin2x-的图象，同学们思考：由函数y=sinx的图象，还可以通过哪些变换得到y=sin2x-？
学生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-
学生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-=sin2x-
（类似于前面一个问题的探究，自主回答（发现问题）——合作探究（辨析问题）——纠错订正（解决问题）.）
在自我小结中“留白”——完善思维
课堂实录片段五
课堂小结：本节课学习了哪些知识？又体现了哪些思想方法和探究策略？
（留时间让学生回味、反思，并引导学生从三个方面小结.）
1. 知识方面：作图方法（图象变换法）；
2. 思想方法：数形结合、局部到整体；
3. 探究策略：特殊到一般.
教师：你还有哪些收获能和大家分享吗？
（两个学生将做题时的易错点与注意点和大家分享，同学们纷纷鼓掌.）
【设计意图】 俗话说“编筐编篓，重在收口”. 课堂小结是一节课的“终曲”，是对一节课反思的很好机会. 此时教师要舍得花一些时间在课尾设置留白，让学生回顾与升华所学知识，分享一节课的心得体会，可以激发学生进一步探究的兴趣，给课堂再次留下精彩的瞬间.
几点思考
1. 留白前——做到“穿针引线”
现代教育理论和教学实践都证明，老师如果在教学时把知识像剥橘子一样，一块一块掰开，喂给学生，实际上就剥夺了学生思考的权力，所以在课堂上要给学生设计一些内容悬念和有思考价值的问题，或者有意地留下学生感兴趣的空白，让学生自主发挥，反而会激起学生强烈的认知冲突和参与课堂教学过程的热情，“欲达彼岸”的心理需求与“乐此不疲”的求知欲望，才能推动学生主动参与问题的探究. 如果没有教师的“穿针引线”，学生的探究之旅能走多远？课堂留白又意义何在？
2. 留白中——做到“留而不流”
课堂留白不是教学过程的“断流”，是笔断意连式的意味深长. 如果一节课中无原则地到处留白，留白过多，留白时间过长，看似发挥了学生的主观能动性，课堂上也热闹，但热闹的背后是学生不知所措的一片茫然，宝贵的课堂时间就在这无谓的空守中白白浪费掉了，会造成教学节奏松散，反而阻碍学生思维，会让我们的教学效果因为“断流”而大打折扣. 课堂上提出问题后，教师注意观察学生的表情变化，当看到成功的喜悦洋溢在学生脸上时，意味着“留白”有了丰盛的收获. 这其实不需要太久，只需那么一两分钟，学生就可以得到一些缓冲和放松，为更好地迎接下一轮的冲刺做好准备.
课堂留白不能“放任自流”，教学过程中往往为了追求探讨的形式，探究的问题没有价值，完全地放手让学生去做，认为这样才不会阻碍学生的思维，其实这恰是对留白的一种错误认识. 这样的探究难免有活动无体验，有经历无感悟，看似热热闹闹，学生却丝毫没有得到思维挑战和认知冲突的历练. 教师进行教学设计时要了解学生，把握教材，一定要根据实际情况和学习目标对所要探讨的问题做好足够的预设，要有任务的留白，只有学生清楚自己该探究什么，才会使探究更有意义，才会使“留白”更有价值.
3. 留白后——收获“未曾预约”的精彩
留白的意义就在于让学生真正成为课堂的主人. 在交流展示中，不要变成“教师秀”，把黑板和讲台还给学生，让学生想一想，悟一悟，让学生讲出来.由于每个学生在观察思考时抓住问题的特点不同，运用知识不同，因而，同一个问题可能得到几种不同的参与途径，更易激发起学生不同的观点和别具一格的想法，这正是教师所追求的理想课堂. 经常这样做，可以逐步打造“善思、善练、善说、善写”相互渗透的智慧课堂，学生身上就能喷发出探究的火花，思维才能得到真正的提升.
总之，留白也是一门课堂教学艺术，在课堂教学中学会“留白”，善于“留白”，必将收到意想不到的精彩.
[关键词] 课堂留白；自主发现；合作探究；放飞思维
留白，是国画的一种手法，即在整幅画中留下空白，计白当黑，可创造出虚实相生、形神兼备的艺术境界，留下空白，以无胜有，让人浮想，叫人回味.课堂教学也是一门艺术，是否也需要“留白”？
江苏省教育科学研究院李善良教授曾说过，数学教学的核心是理清每节课的主线：①知识的主线；②知识生成的主线；③学生思维的主线，而学生思维的主线是第一位的.笔者前段时间参加了江苏省优质课比赛，在准备过程中，笔者根据李教授的观点一直在思考学生已经会什么知识，学生能通过预习自己解决哪些知识，学生会认为哪处是难点. 而现代课堂要放飞学生思维，教师在课堂上就不能“满堂灌”，在适当处“留白”，给学生探索、思考、动手、阅读的机会. 根据这样一种教学理念，针对函数y=Asin（ωx φ）的图象，笔者设计了以下教学思路.
导入处留白——激起思维
课堂实录片段一
1. 引入
①（播放flash动画——弹簧振子做简谐运动）
教师问：弹簧振子做简谐运动时，位移s与时间t所描绘的图象，它与我们学过的什么函数图象类似？（给学生一定时间观察，让学生联想具备“周而复始”这种性质的函数，感受其“周而复始”的周期性.）
众生：正弦函数y=sinx的图象.
教师：实际上，物体做简谐运动时，位移s与时间t的关系式都可以写成s=Asin（ωt φ）的形式，其中A，ω，φ为常数，A>0，ω>0.
2. 三个量的物理意义
教师：在s=Asin（ωt φ）（其中A>0，ω>0）中，A是物体离开平衡位置的最大距离，称振动的振幅；往复振动一次所需的时间T=成为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f==称为振动的频率；ωt φ称为相位，t=0时的相位φ称为初相.
对这几个量的物理意义，同学们记住了吗？（给学生留出一分钟的记忆时间.）
【检测1】 若函数y=3sin2x-表示一个振动量，则这个振动的振幅为______，周期为______，？摇频率为______，相位为______，初相为______. （生齐答）
【设计意图】 数学的学习特别强调新知识产生的背景，从学生的现有知识出发，引导学生感知数学知识的产生和发展是水到渠成的.直观性的生活实例引入，能拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性.
对于这个函数模型学生比较陌生，对于几个量的物理意义，学生第一次接触，此时“留白”让学生记忆这些量的物理意义，可减少卡壳现象，增加学生信心，为后续的学习奠定基础.
教学重点处留白——放飞思维
教学重点是学生必须掌握的基础知识与基本技能，是基本概念、规律及方法，可以称为学科教学的核心知识.函数y=Asin（ωx φ）的图象及参数A，ω，φ对函数图象的影响是本节课的重点，在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、特殊到一般的化归数学思想. 同时还力图向学生展示观察、类比、归纳、联想等数学思想方法. 笔者通过以下几个环节力求突出这一重点.
课堂实录片段二
1. “化繁为简”，制定方案
教师问：这个解析中含有三个参数，如何研究φ，A，ω对函数图象的影响呢？
学生1：三个参数分开研究.
教师：想法很好，我们可以分而治之，逐个击破.比如我们先研究参数φ，那么A和ω的值怎么处理呢？
学生2：可以令A=1，ω=1.
教师：很好，我们可以再“退”.
（留白，让学生体会，回答，对于另外两个量研究顺序可以让学生来定.）
【设计意图】
在教学中教师不在于全盘授予，而在于相机诱导. 对一个问题的提出，教师要给学生留有自主探究的思维空间.首先，面对多变量问题，学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化. 伟大的数学家华罗庚说：“要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍！”这里的“分而治之、逐个击破”就是“退”的方法. 从而让学生体会从简单到复杂的研究问题的一般方法. 其次，让学生去规划研究思路，重在引导学生思考解决问题的方法，激发学生学习的迫切欲望，点燃学生思考的烈焰，以此培养学生宏观分析问题、细化问题的能力.
2. 层层递进，探究结论
对函数y=Asin（ωx φ）的图象的研究，授课时通过五点作图和几何画板帮助学生更好地观察规律，最后形成对图象变化的具体认识，然后再推广到一般情形. 这样安排既化解了难点，又让学生有清晰的讨论线索，从中能使学生学习如何将复杂的问题分解为简单的问题并“各个击破”，然后“归纳整合”，培养学生思考问题有条理的习惯，有利于培养他们的逻辑思维能力.
课堂实录片段三
探究1：函数y=sin（x φ）（φ≠0）的图象与函数y=sinx的图象的关系
教师：我们首先研究由函数y=sinx的图象通过什么变换可以得到函数y=sin（x φ）（φ≠0）的图象.
众生：左加右减（学生熟知）
教师：为什么φ>0时，图象向左平移？φ<0时，图象向右平移？
（很多学生陷入沉思，然后学生之间会小声议论，此时老师并不急切地要结果，而是引导学生从特殊函数入手去研究，给学生留有思考和探究的时间，学生会进入“自求得之”的“忘师”境界，乐意去学，去思考.） 教师：我们先从特殊函数入手，y=sinx和y=sin（x-），请同学们在刚发的探究案上快速完成列表，作出一个周期内的图象，并观察两个图象有何关系？
（留白，给学生留5分钟时间列表，作图，并观察图象关系. 此时老师应该多关注学困生的列表作图情况.）
（通过作图和动画展示，并引导学生通过列表中的点的坐标来解释变换，相同的横坐标时看纵坐标的变化，借助“特殊到一般”的思想方法发现规律.）
板书：
y=sinxy=sin（x φ）.
教师：如何规范表述这种变换呢？（学生齐读课本35页中的“变换规律”，强化语言的规范表述.）
教师补充板书：“所有的点”（强调“所有的点”都发生了变化）.
教师：你学会规范表述了吗？（试一试.）
【检测2】
（1）将函数y=sin（x-1）的图象_______，可以得到y=sinx的图象.
（2）将函数y=f（x）的图象________，可以得到y=f（x-1）的图象.
（留点时间让学生自己叙述，然后生4、5尝试规范回答.）
【设计意图】
1. 通过复习五点法作图，让学生体会“整体”的思想；从而引导学生说明“为什么φ>0时，图象向左平移？φ<0时，图象向右平移”，在探讨这个问题中，很多学生停留在旧知识层面上，如“数轴左负右正”，极易混淆. 此时几处短时间的留白，老师巧妙地设置了台阶，从具体函数y=sinx和y=sinx-入手研究，让学生列表，作图，观察规律，从形上说出图象变换是图象上每点的位置变化，从列表中观察出点的坐标变化进而从点的坐标来理解所有点的变化，可以让学生真正地参与到学习过程中来.
2. 通过齐读课本和练习，让学生规范语言表达能力，并让学生理解三角函数的平移变换实际上是一般函数平移变换的特例，做到知识的同化与顺应.
3. 而对于另外两个参数的探究，更多时间的留白可放手给学生独立研究、分组探究、展示交流、相互印证的方式来完成. 安排如下：
探究2：探究函数y=Asinx（A>0）的图象与函数y=sinx的图象的关系，探究函数y=sinωx（ω>0）的图象与函数y=sinx的图象的关系.
1. 学生探究，教师巡视.
教师：请在同一直角坐标系中分别作出学案上另两组函数一个周期内的图象.
①y=sinx，y=3sinx，？摇y=sinx；
②y=sinx，y=sin2x，y=sinx.
教师：结合以下三个探究步骤观察比较另两组图象间的关系，并总结变换规则.
①“五点”作图；②观察比较；③总结规律
2. 学生展示各组图象的探究成果，教师点评.
从“形”的角度得到结论；从“数”的角度解释结论；两者结合总结一般结论（强化语言的规范表述）；
得到一般函数y=f（x）与y=Af（x）图象的关系与一般函数y=f（x）与y=f（ωx）图象的关系.
【设计意图】 根据建构主义学习理论“学习不是由教师直接传递给学生，而是由学生自己主动建构知识的过程，这种建构无法由他人来替代”，本阶段第一个规律凭借提问和追问，巧设台阶，让学生把握正确的探究方向. 第二个和第三个规律留足学生自主发现与探究展示的空间，通过数形结合，借助图象观察，发现、总结一般规律，培养学生的“问题意识”，在探索中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的. 在探究过程的节点处，又让学生开口表述，可以让学生在头脑中整理思路，加深了对数学知识的理解，同时也训练学生数学语言的组织表达能力. 课堂中我们要舍得留白，耐得住等待，等待学生学会探究知识的方法，这样做有利于充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同结论进行探讨，找出问题的正确解答，对于教师，也要抓住学生的想法及时引导，有效驾驭课堂.
认识冲突时的“留白”——升华思维
学生的困惑是知识的生长点，也是教学的出发点、立足点，只有最大限度地消除学生知识上的困惑的教学才是真正有效的教学. 对函数y=Asin（ωx φ）的图象的研究，在从一个参数上升为两个参数时，是学习中的难点. 为了突破难点，笔者把发现留给学生，把时间留给学生，把讲台留给学生，让学生通过独立思考、自主探索、合作交流的学习方式，在思考交流中解决问题.
课堂实录片段四
【问题1】 通过刚刚的探究，我们已经由y=sinx的图象，通过图象变换可以得到y=sin2x的图象，那么想得到函数y=sin2x-的图象，又该做怎样的变换？请同学们描述具体变换？（留出一分钟的思考时间，然后生作答.）
学生1：（基于思维定式，错误套用法则）将函数y=sin2x的图象，向右平移个单位，就可以得到函数y=sin2x-的图象. （大多数学生点头.）
学生2：我不赞同他的观点，我认为应该将函数y=sin2x的图象，向右平移个单位，就可以得到函数y=sin2x-的图象. （很多学生露出惊讶的神色.）
（老师根据学生说的两种步骤分别板书.）
教师：根据两位学生所叙述的两种不同的步骤，我们用几何画板作图，同学们看看，变换之后的图象还一样吗？
（学生观察后）生齐答：不一样.
教师：看来大家在这个地方遇到了一点问题，遇到问题不可怕！大家敢于表述自己的观点是非常值得表扬的.那么同学们一起讨论交流：问题出在哪？如何做出解释？
（此时留出五分钟时间，让学生讨论交流.）
学生3：还和前面方法一样，我们组从点的坐标角度来分析： y=sin2x y=sin2x-
点M（x0，y0） 点Nx0 ，y0
故向右平移个单位是正确的.有不同的想法吗？
学生4：我们组同意他们的观点，但是我们组认为只要将x前的系数提取出来，就可以很快看出来了，y=sin2x-=sin2x-，然后看x本身发生的变化就可以了. 还有其他想法吗？
（多数学生露出质疑不解的神色.）
学生5：我再补充下上个同学的观点，如果将函数y=sin2x记为y=f（x）=sin2x的图象，那么y=sin2x-=sin2x-=fx-，这样由y=f（x）的图象通过向右平移个单位可以得到函数y=fx-的图象. 同学们，这样好理解了吗？
（学生露出笑容，立刻爆发出热烈掌声.）
教师：很好. 三位同学表述得非常清晰，分别从坐标的变化和一般函数的角度解释了这样变换：左右平移只对x本身发生了变化. 那么我们将开始的这位同学的作答订正一下，将函数y=sin2x的图象，若向右平移个单位，应该可以得到函数y=sin2x-=sin2x-的图象.
【设计意图】
心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.” 而本课中两个参数复合对函数图象的影响，“相位变换与周期变换”次序改变，其中平移的量、周期变换的量的确定，不少学生理解上有困难，很容易混淆，构成教学的难点. 对于这部分知识，很多学生机械地套用法则，而不理解算理，新知识没有成为学生“自己的可用知识”，只能仿效，致使发生错误. 这些错误更易引起学生的警惕与清醒，对学生的心理智力产生刺激，更能激起学生强烈的探索欲望. 《论语》言：“不愤不启，不悱不发！”这里正是通过学生的回答和图象上的直观否定使学生感觉“有惑而无解”，而任何眉飞色舞、精辟绝伦的讲解、列举，都取代不了学生自己对所学内容的深切感悟. 这应该是学生激烈讨论的时候，让学生通过比较、讨论，思维上经历了“直觉—矛盾—思考—验证”，真正地理解了图形的变换归根结底是点的变换，从点的坐标和函数的角度理解数学知识. 所以解疑的过程需适当“留白”，在分组合作探究中给学生留出“想的时间”、“说的机会”以及“展示思维过程”的舞台，促进了学生学习方式的改变，提高了学生的数学学习信心. 这一“留白”充分发挥了学生的主体作用，让学生体会到正是因为有了错误才会有经验，因为有了经验才会有成功. 让学生在体验成功的快乐氛围中激发其探究热情，升华学生的数学思维能力和探究能力.
探究3：
教师：我们已经由y=sinx的图象，通过周期变换可以得到y=sin2x的图象，又通过相位变换得到了函数y=sin2x-的图象，同学们思考：由函数y=sinx的图象，还可以通过哪些变换得到y=sin2x-？
学生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-
学生：y=sinx y=sinx- y=sin2x-=sin2x-
（类似于前面一个问题的探究，自主回答（发现问题）——合作探究（辨析问题）——纠错订正（解决问题）.）
在自我小结中“留白”——完善思维
课堂实录片段五
课堂小结：本节课学习了哪些知识？又体现了哪些思想方法和探究策略？
（留时间让学生回味、反思，并引导学生从三个方面小结.）
1. 知识方面：作图方法（图象变换法）；
2. 思想方法：数形结合、局部到整体；
3. 探究策略：特殊到一般.
教师：你还有哪些收获能和大家分享吗？
（两个学生将做题时的易错点与注意点和大家分享，同学们纷纷鼓掌.）
【设计意图】 俗话说“编筐编篓，重在收口”. 课堂小结是一节课的“终曲”，是对一节课反思的很好机会. 此时教师要舍得花一些时间在课尾设置留白，让学生回顾与升华所学知识，分享一节课的心得体会，可以激发学生进一步探究的兴趣，给课堂再次留下精彩的瞬间.
几点思考
1. 留白前——做到“穿针引线”
现代教育理论和教学实践都证明，老师如果在教学时把知识像剥橘子一样，一块一块掰开，喂给学生，实际上就剥夺了学生思考的权力，所以在课堂上要给学生设计一些内容悬念和有思考价值的问题，或者有意地留下学生感兴趣的空白，让学生自主发挥，反而会激起学生强烈的认知冲突和参与课堂教学过程的热情，“欲达彼岸”的心理需求与“乐此不疲”的求知欲望，才能推动学生主动参与问题的探究. 如果没有教师的“穿针引线”，学生的探究之旅能走多远？课堂留白又意义何在？
2. 留白中——做到“留而不流”
课堂留白不是教学过程的“断流”，是笔断意连式的意味深长. 如果一节课中无原则地到处留白，留白过多，留白时间过长，看似发挥了学生的主观能动性，课堂上也热闹，但热闹的背后是学生不知所措的一片茫然，宝贵的课堂时间就在这无谓的空守中白白浪费掉了，会造成教学节奏松散，反而阻碍学生思维，会让我们的教学效果因为“断流”而大打折扣. 课堂上提出问题后，教师注意观察学生的表情变化，当看到成功的喜悦洋溢在学生脸上时，意味着“留白”有了丰盛的收获. 这其实不需要太久，只需那么一两分钟，学生就可以得到一些缓冲和放松，为更好地迎接下一轮的冲刺做好准备.
课堂留白不能“放任自流”，教学过程中往往为了追求探讨的形式，探究的问题没有价值，完全地放手让学生去做，认为这样才不会阻碍学生的思维，其实这恰是对留白的一种错误认识. 这样的探究难免有活动无体验，有经历无感悟，看似热热闹闹，学生却丝毫没有得到思维挑战和认知冲突的历练. 教师进行教学设计时要了解学生，把握教材，一定要根据实际情况和学习目标对所要探讨的问题做好足够的预设，要有任务的留白，只有学生清楚自己该探究什么，才会使探究更有意义，才会使“留白”更有价值.
3. 留白后——收获“未曾预约”的精彩
留白的意义就在于让学生真正成为课堂的主人. 在交流展示中，不要变成“教师秀”，把黑板和讲台还给学生，让学生想一想，悟一悟，让学生讲出来.由于每个学生在观察思考时抓住问题的特点不同，运用知识不同，因而，同一个问题可能得到几种不同的参与途径，更易激发起学生不同的观点和别具一格的想法，这正是教师所追求的理想课堂. 经常这样做，可以逐步打造“善思、善练、善说、善写”相互渗透的智慧课堂，学生身上就能喷发出探究的火花，思维才能得到真正的提升.
总之，留白也是一门课堂教学艺术，在课堂教学中学会“留白”，善于“留白”，必将收到意想不到的精彩.