一、蝴蝶定理的起源
　　在圆O内,有一条弦MN,其弦中点为P,过P任意作两条相交弦AB和CD(如图1),连结BC、AD,分别交弦MN于E、F,则PE=PF.从这个几何图形上看,它就像是一只翩翩起舞的蝴蝶,因此称之为蝴蝶定理.这是一只在圆中飞舞的蝴蝶.
　　而在梯形中,也存在着一只美丽的蝴蝶(如图2).在梯形ABCD中,AB//CD,对角线AC、BD相交于点O,则:
　　①S△AOD =S△BOC;
　　②S△AOD•S△BOC=S△AOB•S△DOC.
　　这是梯形中飞舞的蝴蝶,故称之为梯形蝴蝶定理.
　　二、梯形蝴蝶定理的证明
　　①根据等底等高的两个三角形的面积相等,可知S△ADC=S△BCD,即S△AOD+S△DOC=S△BOC+S△DOC,所以S△AOD=S△BOC .
　　②分别过点A、C作AE⊥BD于E,CF⊥BD于F(如图3),
　　则S△AOD=DO•AE,S△BOC =BO•CF,S△AOB=BO•AE,S△DOC=DO•CF
　　故S△AOD•S△BOC =S△AOB•S△DOC .
　　利用梯形蝴蝶定理中的这两个结论,解决某些面积计算或等积(面积相等)变形问题,可起到事半功倍的效果.
　　三、梯形蝴蝶定理的应用
　　例1如图4所示,B、C、F三点在同一条直线上,线段AF与平行四边形ABCD的CD边交于点E,如果△DEF的面积为6平方厘米,求△BCE的面积.
　　解:连接AC.
　　∵AD//CF,由梯形蝴蝶定理可得S△ACE = S△DEF =6
　　∵AB//CE,则有S△BCE = S△ACE =6.
　　例2如图5所示,EF为△ABC边上的点,CE与BF交于点P,已知△PBC的面积为12,并且△BEP、△CFP、四边形AEPF的面积相等.求△BEP的面积.
　　解:连接EF.
　　∵S△BPE =S△CFP
　　∴△BEF与△CFE的高相等,则有EF//BC
　　设△BEP的面积为S,由梯形蝴蝶定理,可得:S△EFP=,则S△AEF =S-
　　由△AEF∽△ABC,△EFP∽△CBP可知:=()2 ,=()2
　　∴=, 即=,解得:S=4.
　　例3如图6所示,矩形ABCD中,AB=3cm,AD=3cm,AD=6cm,点E为AB边上的任意一点,四边形EFGB也是矩形,且EF=2BE,求S△AFC .
　　解:连接FE,由 tan∠FBG=,tan∠ACB=,可知:∠FBG=∠ACB,∴FB//AC,令FC与AB相交于点O,则:S△AFO = S△BCO ,S△AFC= S△ABC =×3×6=9.
　　例4 如图7所示,P是边长为8的正方形ABCD形外一点,PB=PC,△PBD的面积等于48.求△PBC的面积.
　　解:如图7所示,设PD与BC交点为O,取BC中点E,连接PE 、DE,则S△CEP = S△BEP
　　由PE//DC,则有S△COP = S△DOE
　　由于 S△PBD =S△DBE +S△DOE + S△POE + S△BEP = S△DBE +S△COP +S△POE +S△BEP=S△DBE +S△PBC
　　而S△PBD =48,所以S△DBE =BE•CD=×4×8=16
　　故48=16+S△PBC,所以 S△PBC =32.
　　本栏责任编辑罗峰