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【关键词】儿童眼光 概念教学 儿童发展
关于数学教学，笔者一直在倡导一种观点：教师要具备三种眼光——成人眼光、专家眼光和儿童眼光，这三种眼光分别对应于三种程度——人格、升格和够格，有同行称其为“三格关系”。“三格关系”强调：有了成人眼光称得上人格，具备了专家眼光称得上升格，但无论是成人眼光还是专家眼光，都要具有儿童眼光。只有具备了儿童眼光，才能称得上够格;只有具备了儿童眼光，才能有效地把学术形态的数学转化为教育形态的数学。概念教学贯穿于数学教学的全过程。概念教学固然需要遵循概念教学的规律和特点，但它与其他所有内容的教学一样，更要具备儿童眼光，遵循儿童立场。
一、基于儿童经验。找到教学起点
“有效教学的主要特征就是从儿童那儿抽取出所教学科知识的前拥理解和提供建构。”对于“角的初步认识”这一知识的学习，儿童的“前拥理解”在哪里？
我们进行了相关的前测调查。调查表明：一方面，儿童看到“角”字，绝大多数联想到的词语是几角钱、三角形、牛（羊）角等，绝大部分儿童画出的是三角形、长方形等，只有約五分之一的儿童能够准确画出角的图形。另一方面，“角”对于儿童来说并不陌生，在此之前，儿童已完整地认识了长方形、正方形、三角形等常见的平面图形，知道了组成这些平面图形的基本“材料”就是角。精准的分析必然带来教学策略的优化，我们可以呈现图1中的画面，让儿童猜想被小动物遮住的是什么图形，然后揭示“长方形、正方形、三角形中都藏有数学上的角”的结论，或者出示三角形和五角星图形，让儿童观察一下它们的名字，找到相同的地方，然后揭示课题：“原来三角形和五角星里都藏着角呢，角是怎样的图形？又有什么特点呢？”
这样的教学，基于儿童已有的经验，从儿童熟悉的几何图形切入，顺势打开新知的学习，使“数学角”先人为主，帮助儿童建立正确的数学角的表象，使负效经验得到及时纠正，已有浅表的、零散的正确经验得到汇聚提升，有利于儿童对角特征的自然建构。同时，将所学的新知“角”和已学的平面图形关联起来，凸显出角和已学平面图形的关系是部分与整体的关系，角是平面图形的一部分。这样，“角”就能顺利地融入儿童原有的认知结构中去，促进儿童对“角”的认识，形成初步的认知结构。
二、基于儿童思维，驱动学习过程
从知识的源头来看，“图形与几何”的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用。其一，虽然数学中的图形是抽象的，但儿童的理解也是需要背景的，需要在现实生活中找到它们的“影子”。因此，在教学中应使儿童通过丰富的实例，在具体的背景中理解这些基本元素及其关系，了解它们的广泛应用。其二，仅仅停留在丰富的背景中是不够的，儿童需要进一步概括和抽象，从而得到数学中的图形。根据如上分析，我们根据徐利治先生曾提出的关于儿童数学的“三象一作”（数学现象、心智图像、数学抽象与实践操作）原理，努力搜集、观察身边的数学现象，再通过多种策略帮助儿童在头脑中形成科学规范的心智图像，最后通过层层抽象，帮助儿童完成知识的建构。
在“角的初步认识”教学中，我们可以设计“指角、描角、找角、析角、画角、辨角、数角”等连续、递进的活动环节，帮助儿童建立角的完整表象和抽象，深入理解角的特征;不断丰富角的样式，扩大角的外延，同时不断剥离无关的信息，从中提炼出角的要素，并在运用中检验学习效果，深化理解水平。
俞正强老师说：“我希望自己上的课，有以下两个特征：其一，基本知识、基本技能扎实，有利于儿童考个好分数。其二，体会到数学思考带来的愉悦，有利于儿童喜欢上数学。”因此，我们在加强“双基”教学的同时，还要努力提高儿童的思维能力。比如，可以让儿童观察五边形、六边形、七边形……并引导思考：“你发现了什么？发挥想象，角继续增多，最后会变成什么图形？”儿童会发现，原来角越变越多，最后竟会变成圆。这样，既有机渗透了极限思想，使儿童养成良好的思维习惯，同时又让儿童感受到数学的神奇，激发了学生学习数学的兴趣。此外，我们还可以引导儿童用圆片或纸片创造角，从无到有，从单一到丰富，在创造的过程中进一步感受角的特点，如引发思考“扇形角”究竟有几个角，使儿童得以进一步思考、争辩、归纳和总结，在你来我往、畅所欲言的氛围中，促进深度思维不断发生。
三、基于儿童创造，理解概念本质
对于二年级的儿童而言，角是比较抽象的概念，角的表象在儿童头脑中的形成不是一蹴而就的，而是要经历一个慢慢沉淀、深化的过程。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出：“学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义上创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看创造。”因此，教学要尽可能地给儿童提供时间和空间，为儿童打开更为广阔的“做数学…‘再创造”的过程，让他们充分经历直观形象、逐渐抽象的探究过程，进而建立相应的空间观念。
在“角的初步认识”教学中，我们可以精心准备绳子、小棒、扣条和白纸等学具，让儿童创造出数学中的角。在丰盈的学习过程中，儿童有着充分的操作、感受、体验和顿悟，在心智上逐渐建立了关于概念“角”本质的元素——用绳子做角，感受到角的两条边是要直的;小棒摆角，感受到角的顶点是两条线相交的地方;扣条做角，理解到角的两条边可以张开，角有大小之分;而白纸画角，则可以把感受到的数学角的特点外显出来，强化生活角与数学角之间的差别。这样，儿童在多层次操作中，不断修正模糊的经验，在反思中加深对角的特征的认识，内化角的表象，丰富角的认知，直观感知与数学思考并行。
四、基于儿童发展。促进素养提升
注重语言与形象的结合。语言是促进儿童空间观念发展仅次于直观的重要手段。从图形的认识来看，儿童空间观念的年龄特点决定了他们正处在由以依据表象为主的直观辨认水平，逐步向以依据特征为主的初级概念判断水平发展的阶段。这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体特征。“角的初步认识”作为一节起始课，教材中没有明确给出角的定义，也没有明确什么是角的大小。儿童对角的描述往往处于“感性”的阶段，所以教师应该充分让儿童用自己的语言来描述对角的认识过程，由起初的“直直的、尖尖的”的直观感觉逐渐过渡到规范的角的数学语言。如此，巧妙利用了“儿童化的语言”，可以化抽象为形象，让教学更贴近儿童。
注重数与形的结合。数学家华罗庚曾说过，数让形更人微。无论是研究形体的形状、大小，还是研究它们的位置关系，既需要定性描述，又离不开定量刻画。比如，我们可以出示几幅图（如图2），让儿童数出每个图形各有几个角;还可以让儿童在圆形纸片上折角，折好后引发思考：“数数看，你折出了几个角？…‘三角形3个角，四边形4个角，如果是五边形，会有几个角？六边形呢？”这样，儿童在辨认、数数、思考中剔除非本质属性的干扰，逐渐建立起关于数学角的清晰概念。
注重近与远的结合。真正的学习过程绝非像孙悟空给唐僧画定的圆圈一样，“不能越雷池一步”;也不会像网格那样，一格一格地规划得那么齐整。好的数学教学有着合适的隐性目标，它一定是朝向远方的。比如，我们可以在课的结束阶段把儿童的视线拉向生活（如图3），呈现足球比赛中的“下底传中”画面，引导儿童思考：为什么要下底传中呢？这一做法与我们今天学习的知识有哪些关联呢？以此促使儿童深刻体会到角的知识在生活中广泛的应用价值，并为后续知识的学习形成良好的心理趋向。
关于数学教学，笔者一直在倡导一种观点：教师要具备三种眼光——成人眼光、专家眼光和儿童眼光，这三种眼光分别对应于三种程度——人格、升格和够格，有同行称其为“三格关系”。“三格关系”强调：有了成人眼光称得上人格，具备了专家眼光称得上升格，但无论是成人眼光还是专家眼光，都要具有儿童眼光。只有具备了儿童眼光，才能称得上够格;只有具备了儿童眼光，才能有效地把学术形态的数学转化为教育形态的数学。概念教学贯穿于数学教学的全过程。概念教学固然需要遵循概念教学的规律和特点，但它与其他所有内容的教学一样，更要具备儿童眼光，遵循儿童立场。
一、基于儿童经验。找到教学起点
“有效教学的主要特征就是从儿童那儿抽取出所教学科知识的前拥理解和提供建构。”对于“角的初步认识”这一知识的学习，儿童的“前拥理解”在哪里？
我们进行了相关的前测调查。调查表明：一方面，儿童看到“角”字，绝大多数联想到的词语是几角钱、三角形、牛（羊）角等，绝大部分儿童画出的是三角形、长方形等，只有約五分之一的儿童能够准确画出角的图形。另一方面，“角”对于儿童来说并不陌生，在此之前，儿童已完整地认识了长方形、正方形、三角形等常见的平面图形，知道了组成这些平面图形的基本“材料”就是角。精准的分析必然带来教学策略的优化，我们可以呈现图1中的画面，让儿童猜想被小动物遮住的是什么图形，然后揭示“长方形、正方形、三角形中都藏有数学上的角”的结论，或者出示三角形和五角星图形，让儿童观察一下它们的名字，找到相同的地方，然后揭示课题：“原来三角形和五角星里都藏着角呢，角是怎样的图形？又有什么特点呢？”
这样的教学，基于儿童已有的经验，从儿童熟悉的几何图形切入，顺势打开新知的学习，使“数学角”先人为主，帮助儿童建立正确的数学角的表象，使负效经验得到及时纠正，已有浅表的、零散的正确经验得到汇聚提升，有利于儿童对角特征的自然建构。同时，将所学的新知“角”和已学的平面图形关联起来，凸显出角和已学平面图形的关系是部分与整体的关系，角是平面图形的一部分。这样，“角”就能顺利地融入儿童原有的认知结构中去，促进儿童对“角”的认识，形成初步的认知结构。
二、基于儿童思维，驱动学习过程
从知识的源头来看，“图形与几何”的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用。其一，虽然数学中的图形是抽象的，但儿童的理解也是需要背景的，需要在现实生活中找到它们的“影子”。因此，在教学中应使儿童通过丰富的实例，在具体的背景中理解这些基本元素及其关系，了解它们的广泛应用。其二，仅仅停留在丰富的背景中是不够的，儿童需要进一步概括和抽象，从而得到数学中的图形。根据如上分析，我们根据徐利治先生曾提出的关于儿童数学的“三象一作”（数学现象、心智图像、数学抽象与实践操作）原理，努力搜集、观察身边的数学现象，再通过多种策略帮助儿童在头脑中形成科学规范的心智图像，最后通过层层抽象，帮助儿童完成知识的建构。
在“角的初步认识”教学中，我们可以设计“指角、描角、找角、析角、画角、辨角、数角”等连续、递进的活动环节，帮助儿童建立角的完整表象和抽象，深入理解角的特征;不断丰富角的样式，扩大角的外延，同时不断剥离无关的信息，从中提炼出角的要素，并在运用中检验学习效果，深化理解水平。
俞正强老师说：“我希望自己上的课，有以下两个特征：其一，基本知识、基本技能扎实，有利于儿童考个好分数。其二，体会到数学思考带来的愉悦，有利于儿童喜欢上数学。”因此，我们在加强“双基”教学的同时，还要努力提高儿童的思维能力。比如，可以让儿童观察五边形、六边形、七边形……并引导思考：“你发现了什么？发挥想象，角继续增多，最后会变成什么图形？”儿童会发现，原来角越变越多，最后竟会变成圆。这样，既有机渗透了极限思想，使儿童养成良好的思维习惯，同时又让儿童感受到数学的神奇，激发了学生学习数学的兴趣。此外，我们还可以引导儿童用圆片或纸片创造角，从无到有，从单一到丰富，在创造的过程中进一步感受角的特点，如引发思考“扇形角”究竟有几个角，使儿童得以进一步思考、争辩、归纳和总结，在你来我往、畅所欲言的氛围中，促进深度思维不断发生。
三、基于儿童创造，理解概念本质
对于二年级的儿童而言，角是比较抽象的概念，角的表象在儿童头脑中的形成不是一蹴而就的，而是要经历一个慢慢沉淀、深化的过程。弗赖登塔尔在《作为教育任务的数学》一书中指出：“学习过程必须含有直接创造的侧面，即并非客观意义上创造而是主观意义上的创造，即从学生的观点看创造。”因此，教学要尽可能地给儿童提供时间和空间，为儿童打开更为广阔的“做数学…‘再创造”的过程，让他们充分经历直观形象、逐渐抽象的探究过程，进而建立相应的空间观念。
在“角的初步认识”教学中，我们可以精心准备绳子、小棒、扣条和白纸等学具，让儿童创造出数学中的角。在丰盈的学习过程中，儿童有着充分的操作、感受、体验和顿悟，在心智上逐渐建立了关于概念“角”本质的元素——用绳子做角，感受到角的两条边是要直的;小棒摆角，感受到角的顶点是两条线相交的地方;扣条做角，理解到角的两条边可以张开，角有大小之分;而白纸画角，则可以把感受到的数学角的特点外显出来，强化生活角与数学角之间的差别。这样，儿童在多层次操作中，不断修正模糊的经验，在反思中加深对角的特征的认识，内化角的表象，丰富角的认知，直观感知与数学思考并行。
四、基于儿童发展。促进素养提升
注重语言与形象的结合。语言是促进儿童空间观念发展仅次于直观的重要手段。从图形的认识来看，儿童空间观念的年龄特点决定了他们正处在由以依据表象为主的直观辨认水平，逐步向以依据特征为主的初级概念判断水平发展的阶段。这种发展的中介，就是用语言概括、描述形体特征。“角的初步认识”作为一节起始课，教材中没有明确给出角的定义，也没有明确什么是角的大小。儿童对角的描述往往处于“感性”的阶段，所以教师应该充分让儿童用自己的语言来描述对角的认识过程，由起初的“直直的、尖尖的”的直观感觉逐渐过渡到规范的角的数学语言。如此，巧妙利用了“儿童化的语言”，可以化抽象为形象，让教学更贴近儿童。
注重数与形的结合。数学家华罗庚曾说过，数让形更人微。无论是研究形体的形状、大小，还是研究它们的位置关系，既需要定性描述，又离不开定量刻画。比如，我们可以出示几幅图（如图2），让儿童数出每个图形各有几个角;还可以让儿童在圆形纸片上折角，折好后引发思考：“数数看，你折出了几个角？…‘三角形3个角，四边形4个角，如果是五边形，会有几个角？六边形呢？”这样，儿童在辨认、数数、思考中剔除非本质属性的干扰，逐渐建立起关于数学角的清晰概念。
注重近与远的结合。真正的学习过程绝非像孙悟空给唐僧画定的圆圈一样，“不能越雷池一步”;也不会像网格那样，一格一格地规划得那么齐整。好的数学教学有着合适的隐性目标，它一定是朝向远方的。比如，我们可以在课的结束阶段把儿童的视线拉向生活（如图3），呈现足球比赛中的“下底传中”画面，引导儿童思考：为什么要下底传中呢？这一做法与我们今天学习的知识有哪些关联呢？以此促使儿童深刻体会到角的知识在生活中广泛的应用价值，并为后续知识的学习形成良好的心理趋向。