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【摘要】根据素质教育的要求，中考的趋势以课程标准为依据，不拘泥于教材，强调能力和教育价值，注重考查学生知识与技能的掌握情况及综合运用所学知识分析、解决问题能力。因此，只有上好中考数学复习课，提高复习质量，才能最大限度地取得复习效果。在教学实践中，复习课却显得枯燥无味，我们以“一元二次方程复习课”为例，探索中考复习课的有效形式。
【关键词】中考数学复习；一元二次方程；素质教育
一、复习课的引入
中考数学复习课应该如何上？如何使得复习效果更有效？这是我们每一位九年级教师都在思考实践的问题。在当前的中考数学复习教学中，有些教师会有意或无意地采用“呈现一遍知识点，再配上例题、练习”的复习方式。这种课堂复习，虽然能呈现知识网络，看上去一目了然，但是學生仅仅是单纯地、机械地重复所学的知识，不仅使学生感到枯燥、疲劳，而且还会造成学生对知识的理解仍然停留在接受层面。虽然能使学生接触典型问题，解决一些数学题，但学生只是根据例题模仿，思维被动地解题，不仅可能陷入题海，而且获得的只是解题套路，并没有真正地提升分析和解决问题的能力，掌握解决问题的方法。因此，中考数学复习课还需不断探索，不断地改进。
二、复习课的依据
苏联数学家奥加涅曾说：“数学教学的成就，很大程度上取决于学生对数学课的兴趣是否能保持。”由此引申出，在复习课中，激发学生的求知欲望，保持学生的兴趣是教师必须要考虑的问题。数学复习课必须要有明确的教学目标，要达成的目标至少要有：一是重视对数学知识结构的梳理，巩固知识，强化联系，突出应用；二是学生的数学思维能得到有效地训练，有探究、发现的经历或体验，在解决问题的探究过程中能得到反思、提炼。因此，九年级数学复习课需要有明确的复习目标，也需要激发学生的学习兴趣，促成学生主动复习。
基于以上，笔者对于复习课的教学理念及其教学方式，设计了一节中考复习课“一元二次方程”，本节课用于中考第一轮复习。
三、复习课的概况
（一）教学目标
1.通过尝试解决“活动一”，使学生带问题来理解，并整理出一元二次方程的知识点，建构知识间的联系；
2.通过尝试解决“活动二，活动三”，经历自主探究，运用数学的思维及其数学思想方法分析探究的过程，获取对数学知识方法及探究途径的新理解；
（二）教学重点
梳理基础知识，认知数学思维方式，经历探究过程。
（三）教学难点
让学生在复习掌握了一元二次方程概念、解法的同时，学会分析，体会一题多解，一题多变，培养数学类比思想、整体思想、优化思想。
1.活动一：问题导入，巧设情境
⑴什么是一元二次方程？有哪些应该注意的细节？
⑵一元二次方程都有哪些解法？那么是如何求解的？结合具体例子阐述各解法特征？
⑶一元二次方程根的判别式与方程根的关系？
⑷根与系数的关系有哪些？
设计意图：以问题串的方式，让学生明确本专题的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做到课本知识面面俱到，以帮助学生更好地掌握，带着问题来听课，解决问题，实现了导入的目的。
说明：在复习过程中，教师必须做到两个“吃透”，一是吃透教材，确定恰当目标；二是吃透学生，给予学法指导。
2.活动二：典题尝练，重探旧知
（1）考点一：一元二次方程的概念
例1.当m=___值时，方程（m 1）xm?-m x-5=0是一元二次方程。
例2.已知关于x的一元二次方程（k 4）x2 3x k2 3k-4=0的一个根为0，则k的值为____。变式训练：已知关于x的方程 （k 4）x2 3x k2 3k-4=0 的一个根为0，则k的值为____。
设计意图：设置此环节可以引出一元二次方程的概念，并能体现题中的易错点。通过变式训练可以体现一题多变的思想方法，让学生逐步体会思维的发散。
说明：本环节根据易错点，常考类型来设计，通过让学生上来分析每道题的做题思路，并进行整理，而且例2的变式，让学生自主思考，如何来进行变式，最后师生共析。
反思回味：做完上面题目能得到什么知识点呢？有什么要注意的细节？
知识点：一元二次方程的概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是： ax2 bx c=0（a，b，c为常数且a≠0）。
注意要点：必为整式方程；只有一个未知数；未知数最高次数为2。
思考：现在我们知道什么是一元二次方程了，那你能求出它们的解吗？
（2）考点二：一元二次方程的解法
例1，方程x2=x的解是_____；变式训练：方程x（x-2）=x-2的解是____。（易错点）
例2，（2015广东）解方程：x2-3x 2=0（用多种解法求解）；变式训练：解方程：（x-1）2-3（x-1） 2=0。（换元法体现）
设计意图：设置此环节目的在于能够回顾一元二次方程的各种解法，通过多种解法培养学生一题多解的能力，进行思维的发散。通过变式训练，让学生能举一反三。
说明：学生口述例2的解法，每个学生一种方法，然后师生共析。而且通过题目的变式，渗透换元法及其整体代换思想，提高学生能力。只要以学生的分析，解决为主，师生共同归纳。
反思回味：①形如（x-k）2=h的方程可以用直接开平方法求解；②方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的。④公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的。因此，在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）。 知识点：一元二次方程的解法：①直接开平方法：如解（x n）2=m（m≥0）；②配方法：先将常数项移到方程右边，把二次项系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式。③因式分解法：如解x2-2x=0；a2-ab=0。④公式法：首先利用根的判别式____，判断后方可用求根公式____。
思考：根的判别式是如何来判别根的情况的呢？
（3）考点三：根的判别式与根的情况
例如：（2015广东）若关于x的一元二次方程x2 x-a 2.25=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是____（A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 ）。跟踪训练：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足____。（A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 ）
设计意图：通过对比，一元二次方程与方程，两个不等实根与有实根的字眼的变化，体会其中分类讨论思想与思维的严密性。
说明：让学生在2分钟做完，然后进行对比并分析。
反思回味：做完题目后我们能从中得到什么？
知识点：一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac。①当Δ>0时，原方程有_____的实数根；②当Δ=0时，原方程有_____的实数根；③当Δ<0时，原方程_____实数根。引出：若原方程有实根或是有两实根，Δ____0。
思考：若是有实根，那么方程根与系数又存在什么关系呢？
（4）考点四：一元二次方程根与系数的关系
例如：已知x1，x2是3x2-3x-1=0的两个根，则x1 x2=___，x1x2=___。变式：已知x1，x2是x2-3x-1-=0的两个根，则x1 x2=___，x1x2=___。
反思回味：做完题目后我们能从中得到什么？
知识点：ax2 bx c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，那么x1 x2=___，x1x2 =___。若a=1时，x1 x2=___，x1x2=___。
设计意图：利用题型的对比，体会二次项系数的改变，感受题型的变式及从特殊到一般的数学思想方法。在变式中解决易错点，培养了学生观察，发现，探索的能力。
3.活动三：综合训练，拓展提高
例如：已知：关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0。①求证：方程有两个不相等的实数根；②如果方程的两实根为x1，x2，且x12 x22-x1x2=7，求m的值.
设计意图：设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，将知识点进行综合应用，重点在于规范学生格式。
说明：让学生思考并说出思路，然后书写解题格式；师生共析解题的格式及注意要点，公式的变形。
变式训练：（2017，湖北）已知关于x的一元二次方程x2 （m 3）x m 1=0。①求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；②若x1、x2是原方程的两根，且|x1-x2 |=3，求m的值和此时方程的两根。
反思回味：利用根与系数的关系，求与根有关代数式的值，要注意把所求代数式转化成含两根之和、两根之积的形式，然后整体带入既可求解。
说明：让学生观察上述两题并对比，发现题目的关键点，并进行针对性讲解，突破变形就可以了。
四、复习课的收获及反思
反思这节中考复习课的教学实践，笔者尝试将复习课的教学理念融入教学的各环节的设计当中，不断地进行反思及改善：
第一，以问题串的形式来引入，搭建学生参与复习的平台，让学生在自主活动后，理解与整理了一元二次方程的知识点，这种复习教学具有导向性，针对性。让学生带着问题听课，有思考，有探索，自主学习，从中解决问题。
第二，以组题质量为支点，引出知识点、思维方法、注意的细节的一种复习形式。形式新颖，其利用学生的易错点来设置题型，更具有针对性；能由原题到变式训练，并让学生感受类比思想，整体思想，优化思想，步步深入，有梯度。在课堂中渗透一题多变，一题多解，让学生在潜移默化中领会学习方法。当然，要运用这种复习方式，需要好的问题，需要教师对一些典型例题进行改编、拓展，还要不断地积累素材。最重要的是，这节复习课设计的数学活动，能激发学生兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考。
第三，对于例题的处理方式有自己的见解，通过让学生来分析解题思路，并且在做完题进行反思总结。这种方法让学生逐渐形成好的学习方法。
第四，每个环节所需要的时间必须得去想如何更好地掌控，因为一节课只有45分钟，所以要合理地利用好时间，争取呈现最好的教学效果。
进行“课研”，绝不只是一节课的教学设计，更重要的是设计一节课的教育教学理念，是通过这节课帮助我们找准教学中的问题与今后努力的方向，让我们在这条路上“慢慢来”，告別对传统的依赖，走向对探究的独立。课堂教学没有最好，只有更好，只要大家能用自己的智慧和专研的精神去进行探索，定能创造出更多的精彩。
其实，数学家波利亚在上个世纪提出的观点，“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”，这也印证本次复习实践是有价值的，也是需要的。
五、复习课的效果
笔者在一元二次方程复习前与复习后，对于班内学生进行针对性习题训练，检查反馈，收集数据，统计正确率，即对于每个知识点的掌握情况进行分析，对比，如下表：
教学效果是课堂教学所必须追求的最大价值，从学生的原有知识结构切入，重视学生存在的问题，引导学生自主学习探究、自主质疑解惑，才能更多激发学生兴趣和积极性，让学生变“要我学”为“我要学”，这样，复习效果才更显著。由表格数据可以知道，虽然利用本节课的教学形式来上中考数学复习课是可以使得知识点的掌握得到初步地提升，但还是需要不断地探索，不断地改进，不断地学习，争取将教学效果更好地提升。
参考文献：
[1]中国数学教育·初中版.辽宁北方教育出版社，2017，11.
[2]中学数学·初中版. 湖北省数学学会， 2018，1.
[3]课时导学案·中考总复习. 广东省中考导学案研究组，2018.
【关键词】中考数学复习；一元二次方程；素质教育
一、复习课的引入
中考数学复习课应该如何上？如何使得复习效果更有效？这是我们每一位九年级教师都在思考实践的问题。在当前的中考数学复习教学中，有些教师会有意或无意地采用“呈现一遍知识点，再配上例题、练习”的复习方式。这种课堂复习，虽然能呈现知识网络，看上去一目了然，但是學生仅仅是单纯地、机械地重复所学的知识，不仅使学生感到枯燥、疲劳，而且还会造成学生对知识的理解仍然停留在接受层面。虽然能使学生接触典型问题，解决一些数学题，但学生只是根据例题模仿，思维被动地解题，不仅可能陷入题海，而且获得的只是解题套路，并没有真正地提升分析和解决问题的能力，掌握解决问题的方法。因此，中考数学复习课还需不断探索，不断地改进。
二、复习课的依据
苏联数学家奥加涅曾说：“数学教学的成就，很大程度上取决于学生对数学课的兴趣是否能保持。”由此引申出，在复习课中，激发学生的求知欲望，保持学生的兴趣是教师必须要考虑的问题。数学复习课必须要有明确的教学目标，要达成的目标至少要有：一是重视对数学知识结构的梳理，巩固知识，强化联系，突出应用；二是学生的数学思维能得到有效地训练，有探究、发现的经历或体验，在解决问题的探究过程中能得到反思、提炼。因此，九年级数学复习课需要有明确的复习目标，也需要激发学生的学习兴趣，促成学生主动复习。
基于以上，笔者对于复习课的教学理念及其教学方式，设计了一节中考复习课“一元二次方程”，本节课用于中考第一轮复习。
三、复习课的概况
（一）教学目标
1.通过尝试解决“活动一”，使学生带问题来理解，并整理出一元二次方程的知识点，建构知识间的联系；
2.通过尝试解决“活动二，活动三”，经历自主探究，运用数学的思维及其数学思想方法分析探究的过程，获取对数学知识方法及探究途径的新理解；
（二）教学重点
梳理基础知识，认知数学思维方式，经历探究过程。
（三）教学难点
让学生在复习掌握了一元二次方程概念、解法的同时，学会分析，体会一题多解，一题多变，培养数学类比思想、整体思想、优化思想。
1.活动一：问题导入，巧设情境
⑴什么是一元二次方程？有哪些应该注意的细节？
⑵一元二次方程都有哪些解法？那么是如何求解的？结合具体例子阐述各解法特征？
⑶一元二次方程根的判别式与方程根的关系？
⑷根与系数的关系有哪些？
设计意图：以问题串的方式，让学生明确本专题的内容，在学生充分思考、交流的基础上，引导学生扎实掌握本专题基本知识，真正做到课本知识面面俱到，以帮助学生更好地掌握，带着问题来听课，解决问题，实现了导入的目的。
说明：在复习过程中，教师必须做到两个“吃透”，一是吃透教材，确定恰当目标；二是吃透学生，给予学法指导。
2.活动二：典题尝练，重探旧知
（1）考点一：一元二次方程的概念
例1.当m=___值时，方程（m 1）xm?-m x-5=0是一元二次方程。
例2.已知关于x的一元二次方程（k 4）x2 3x k2 3k-4=0的一个根为0，则k的值为____。变式训练：已知关于x的方程 （k 4）x2 3x k2 3k-4=0 的一个根为0，则k的值为____。
设计意图：设置此环节可以引出一元二次方程的概念，并能体现题中的易错点。通过变式训练可以体现一题多变的思想方法，让学生逐步体会思维的发散。
说明：本环节根据易错点，常考类型来设计，通过让学生上来分析每道题的做题思路，并进行整理，而且例2的变式，让学生自主思考，如何来进行变式，最后师生共析。
反思回味：做完上面题目能得到什么知识点呢？有什么要注意的细节？
知识点：一元二次方程的概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是： ax2 bx c=0（a，b，c为常数且a≠0）。
注意要点：必为整式方程；只有一个未知数；未知数最高次数为2。
思考：现在我们知道什么是一元二次方程了，那你能求出它们的解吗？
（2）考点二：一元二次方程的解法
例1，方程x2=x的解是_____；变式训练：方程x（x-2）=x-2的解是____。（易错点）
例2，（2015广东）解方程：x2-3x 2=0（用多种解法求解）；变式训练：解方程：（x-1）2-3（x-1） 2=0。（换元法体现）
设计意图：设置此环节目的在于能够回顾一元二次方程的各种解法，通过多种解法培养学生一题多解的能力，进行思维的发散。通过变式训练，让学生能举一反三。
说明：学生口述例2的解法，每个学生一种方法，然后师生共析。而且通过题目的变式，渗透换元法及其整体代换思想，提高学生能力。只要以学生的分析，解决为主，师生共同归纳。
反思回味：①形如（x-k）2=h的方程可以用直接开平方法求解；②方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个根丢失了，要利用因式分解法求解；③当我们不能利用上边的方法求解的时候就可以用公式法求解，公式法是万能的。④公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的。因此，在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）。 知识点：一元二次方程的解法：①直接开平方法：如解（x n）2=m（m≥0）；②配方法：先将常数项移到方程右边，把二次项系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方式。③因式分解法：如解x2-2x=0；a2-ab=0。④公式法：首先利用根的判别式____，判断后方可用求根公式____。
思考：根的判别式是如何来判别根的情况的呢？
（3）考点三：根的判别式与根的情况
例如：（2015广东）若关于x的一元二次方程x2 x-a 2.25=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是____（A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 ）。跟踪训练：关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足____。（A.a≥1 B.a>1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 ）
设计意图：通过对比，一元二次方程与方程，两个不等实根与有实根的字眼的变化，体会其中分类讨论思想与思维的严密性。
说明：让学生在2分钟做完，然后进行对比并分析。
反思回味：做完题目后我们能从中得到什么？
知识点：一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac。①当Δ>0时，原方程有_____的实数根；②当Δ=0时，原方程有_____的实数根；③当Δ<0时，原方程_____实数根。引出：若原方程有实根或是有两实根，Δ____0。
思考：若是有实根，那么方程根与系数又存在什么关系呢？
（4）考点四：一元二次方程根与系数的关系
例如：已知x1，x2是3x2-3x-1=0的两个根，则x1 x2=___，x1x2=___。变式：已知x1，x2是x2-3x-1-=0的两个根，则x1 x2=___，x1x2=___。
反思回味：做完题目后我们能从中得到什么？
知识点：ax2 bx c=0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，那么x1 x2=___，x1x2 =___。若a=1时，x1 x2=___，x1x2=___。
设计意图：利用题型的对比，体会二次项系数的改变，感受题型的变式及从特殊到一般的数学思想方法。在变式中解决易错点，培养了学生观察，发现，探索的能力。
3.活动三：综合训练，拓展提高
例如：已知：关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m=0。①求证：方程有两个不相等的实数根；②如果方程的两实根为x1，x2，且x12 x22-x1x2=7，求m的值.
设计意图：设置本环节的目的就是检查学生对基础知识的掌握情况，将知识点进行综合应用，重点在于规范学生格式。
说明：让学生思考并说出思路，然后书写解题格式；师生共析解题的格式及注意要点，公式的变形。
变式训练：（2017，湖北）已知关于x的一元二次方程x2 （m 3）x m 1=0。①求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；②若x1、x2是原方程的两根，且|x1-x2 |=3，求m的值和此时方程的两根。
反思回味：利用根与系数的关系，求与根有关代数式的值，要注意把所求代数式转化成含两根之和、两根之积的形式，然后整体带入既可求解。
说明：让学生观察上述两题并对比，发现题目的关键点，并进行针对性讲解，突破变形就可以了。
四、复习课的收获及反思
反思这节中考复习课的教学实践，笔者尝试将复习课的教学理念融入教学的各环节的设计当中，不断地进行反思及改善：
第一，以问题串的形式来引入，搭建学生参与复习的平台，让学生在自主活动后，理解与整理了一元二次方程的知识点，这种复习教学具有导向性，针对性。让学生带着问题听课，有思考，有探索，自主学习，从中解决问题。
第二，以组题质量为支点，引出知识点、思维方法、注意的细节的一种复习形式。形式新颖，其利用学生的易错点来设置题型，更具有针对性；能由原题到变式训练，并让学生感受类比思想，整体思想，优化思想，步步深入，有梯度。在课堂中渗透一题多变，一题多解，让学生在潜移默化中领会学习方法。当然，要运用这种复习方式，需要好的问题，需要教师对一些典型例题进行改编、拓展，还要不断地积累素材。最重要的是，这节复习课设计的数学活动，能激发学生兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考。
第三，对于例题的处理方式有自己的见解，通过让学生来分析解题思路，并且在做完题进行反思总结。这种方法让学生逐渐形成好的学习方法。
第四，每个环节所需要的时间必须得去想如何更好地掌控，因为一节课只有45分钟，所以要合理地利用好时间，争取呈现最好的教学效果。
进行“课研”，绝不只是一节课的教学设计，更重要的是设计一节课的教育教学理念，是通过这节课帮助我们找准教学中的问题与今后努力的方向，让我们在这条路上“慢慢来”，告別对传统的依赖，走向对探究的独立。课堂教学没有最好，只有更好，只要大家能用自己的智慧和专研的精神去进行探索，定能创造出更多的精彩。
其实，数学家波利亚在上个世纪提出的观点，“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”，这也印证本次复习实践是有价值的，也是需要的。
五、复习课的效果
笔者在一元二次方程复习前与复习后，对于班内学生进行针对性习题训练，检查反馈，收集数据，统计正确率，即对于每个知识点的掌握情况进行分析，对比，如下表：
教学效果是课堂教学所必须追求的最大价值，从学生的原有知识结构切入，重视学生存在的问题，引导学生自主学习探究、自主质疑解惑，才能更多激发学生兴趣和积极性，让学生变“要我学”为“我要学”，这样，复习效果才更显著。由表格数据可以知道，虽然利用本节课的教学形式来上中考数学复习课是可以使得知识点的掌握得到初步地提升，但还是需要不断地探索，不断地改进，不断地学习，争取将教学效果更好地提升。
参考文献：
[1]中国数学教育·初中版.辽宁北方教育出版社，2017，11.
[2]中学数学·初中版. 湖北省数学学会， 2018，1.
[3]课时导学案·中考总复习. 广东省中考导学案研究组，2018.