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摘 要：随着国内各大城市轨道交通行业的快速发展，地铁运量大、速度快、安全、准点、舒适等优点已经受到广大市民的认可，越来越多的人开始选择地铁作为首要出行工具。每逢工作日早晚高峰、节假日或大型活动举办日，地铁车站的客流量都会大幅攀升，很多车站都会出现大量乘客排队购票的情况。在组织大客流时，车站一般会采用开放人工售票窗口的方式加快疏散速度，提高服务率。乘客总是希望能开放的窗口数量越多越好，车站在客流组织过程中虽然也想更好的为乘客服务，但为了提高运输组织工作效率，人工售票窗口不可能无限制的开放。
本文以运筹学中的排队论原理为基础，首先以地铁车站售票工作为研究对象，建立了地铁站购票多窗口等待制排队模型，其次依据此模型计算出了开放人工售票窗口数量的最优解，最后对计算结果进行了研究和分析，为车站大客流运输组织方案的优化提供了有力的数据论证。
关键词：客流组织；排队论模型；M／M／C模型；客流组织优化
引言
随着城市的快速发展，地铁作为一种特殊的交通运输方式，以其运量大、速度快、能耗低、安全、准点、环境舒适等优势，成为很多市民首选的出行工具。地铁承载着城市交通运输中的重要任务，在一些大型商业圈、火车站、长途汽车站、大型体育场馆、展览馆附近的地铁站，经常会出现短时间瞬间大客流和持续大客流。乘客在购票的过程中的等待时间则会因乘客的增多而变长，大量乘客长时间排队不但影响乘客的出行质量，而且会导致站厅人员聚集、拥挤，进而发生通道被排队人流及伴行等候人员堵塞，人员流动速度明显下降，甚至阻滞不前，极易引发事故。因此尽快疏导购票客流往往成为大客流组织工作的重中之重。
在运能满足条件的前提下，通常大客流组织的过程中，车站为了加快客流的疏散速度，节省乘客购票的排队时间，通常会开放人工售票窗口方便乘客购票。
由于受到人员、设备、场地的限制，人工售票窗口不可能无限制的开放。如何合理的确定开放人工售票窗口的数量，从而达到既能保证客流顺利疏导，又能最大程度节省人力的效果，成为大客流组织工作优化的重点问题。这就需要对乘客排队购票情况建立数学模型进行分析研究。
一、排队系统的组成
任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1-1表示。从图1-1可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。通常，排队系统都有输入过程、服务台、服务时间、服务规则等3个组成部分。
图1-1 排队过程示意图
1、输入过程
这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流，一般可以从3个方面来描述-个输入过程。
(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床数则是有限的。
(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、 )的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2、服务台
服务台可以从以下3方面来描述：
(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有：
①单队——单服务台式；（开放一个服务窗口，一列等候服务的队伍。实例：公交汽车排队刷卡服务。）
②单队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，不同服务窗口同时开展同类或类似业务，一列等候服务的队伍，按既定顺序随机到各窗口实施有关业务。实例：银行取号排队等候服务。）
③多队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，同时开展同类或类似业务，多列等候服务的队伍，按各窗口排定序列实施有关业务。实例：食堂窗口排队领餐服务。）
④单队——多服务台串联式；（开放多个服务窗口，顺序开展不同类业务。实例：政务超市办理跨部门审批有关业务。）
⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队--多服务台并串联混合式等等。
(2)服务方式。取决于在某一特定时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。
(3)服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。
3、服务时间
服务时间是指顾客接收服务的时间规律。顾客接受服务的时间规律往往也通过概率分布描述。一般来说,简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布,即每位顾客接受服务的时间是独立同分布的,其分布函数为B(t)=1-e-mt(t≥0),其中m＞0为一常数,代表单位时间的平均服务率,而1/m则是平均服务时间。
4、服务规则。这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则： ①先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务。仓库中叠放的钢材，后叠放上去的都先被领走，就属于这种情况。
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。
二、排队系统的主要指标
研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：
1、队长和排队长（队列长）
队长是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)，其期望值记为Ls。
排队长是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数，其期望值记为Lq。若正在接受服务的顾客数记为Ln，它们之间的关系为：
Ls=Ln+Lq
式2-1 队长关系式
队长和排队长一般都是随机变量。希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队长的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定合理的等待空间。
2、等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止，这段时间称为等待时间，其期望值记为Wq，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待时间越短越好。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止，这段时间称为逗留时间，其期望值记为Ws，也是随机变量，同样为顾客非常关心。另外，把平均服务时间记为τ，则三者之间的关系表现为：
Ws=Wq+τ
式2-2 逗留时间关系式
对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。
3、忙期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。
三、乘客购票排队模型的建立及性能分析
1、模型选取
以A市C站为例，C站现设有自动售票机（TVM）共16台，出站闸机6台，双向闸机6台，边门3个，应急售票窗口3个、充值窗口1个、补票窗口1个。以目前车站的AFC设备状态及A市市民对AFC设备的使用熟悉程度来看，市民使用TVM购票的速度为2张/分钟，而在人工售票窗口购票的速度为12张/分钟。
C站目前为止最大的单日客流量出现在2010年5月1日，当日C站共进站81587人次，当日最大断面客流量为每小时进站6800人次，其中25%的乘客持IC卡乘车，75%的乘客需要购票。在如此大的客流组织过程中，以最少的人力，保证所有设备及窗口的平均排队人数少于5人，是建立排队系统模型所解决的问题，以此来优化C站的客流组织工作。
2、模型建立
一个实际问题作为排队问题求解时,首先要研究它属于哪个模型。这就需要分析乘客排队购票的情况。由于一个城市或其他城市的所有人都被认为是C站的可能“乘客”, 这样大的数目可以认为乘客的总体是无限的。因此可以假定地铁站系统的容量一般是无限的。C站到达的情况是随机的,服务时间也是随机的, 且乘客到达间隔时间和服务时间(购票时间)是相互独立的。这样以来,考虑数学模型M/M/C模型。M/M/C模型:即指乘客到达服从泊松分布,服务时间服从负指数分布,单服务台的情形。标准的M/M/C模型是指适合下列条件的排队系统。
(1)输入过程——乘客源是无限的,单个到来且相互独立, 一定时间的到达数服从泊松分布,到达过程已是平稳的(到达间隔时间及期望值、方差均不受时间影响)。
(2)服务台——多服务台,各乘客的排队购票时间是相互独立的, 服从相同的负指数分布。
(3)服务时间——排队系统的服务时间服从负指数分布,乘客到达间隔时间和排队购票时间是相互独立的。
(4)服务规则——等待制，且对队长设有限制,先到先服务。
在M/M/C模型中，系统处于稳态时，稳态概率的关系表现为：
3、性能分析
以目前C站最大断面客流量来计算，平均到达率λ=6800*0.75/60=85人/分钟。
（1）以开放5个人工售票窗口计算，窗口数C=21个，
平均服务率μ=（16*2+12*5）/21=4.38人/分钟，
系统负荷强度系数ρ=λ/Cμ=85/（21*4.38）=0.92。
代入公式计算可得:
所有窗口都空闲的概率:P0=2.50×10-9
队列长： Lq=7.13
队长： Ls=Ln+Lq=Lq+ρ=7.13+0.92=8.05
在开放5个窗口的情况下,这样的排队系统其主要的数量指标为: 乘客平均排队的队列长是7.13，总队长8.05，尚且无法满足客流组织的要求。
（2）以开放6个人工售票窗口计算，窗口数C=22个，
平均服务率μ=（16*2+12*6）/22=4.72人/分钟，
系统负荷强度系数ρ=λ/Cμ=85/（22*4.72）=0.82。
代入公式计算可得:
所有窗口都空闲的概率:P0=1.32×10-8
队列长： Lq=1.29
队长： Ls=Ln+Lq=Lq+ρ=1.29+0.82=2.11
在开放6个窗口的情况下，这样的排队系统其主要的数量指标为: 乘客平均排队的队列长是1.29，总队长为2.11，已经可以满足客流组织的要求。而且在计算中不难看出，在开放6个窗口的基础上，队列长Lq已经接近1，每增加一个人工售票窗口，对队列长的影响并不明显，对客流疏导的意义也不大。开放6个窗口，既能符合目前C站大客流的运输需要，又不会造成人员的浪费，是现有客流状况下的最优解。 4、排队系统的过程控制
排队论的计算是基于一种理想化的假定，假定所有乘客会按照一定的规律到达，假定所有乘客了解整个服务流程，假定乘客会自主的选择服务窗口。现实情况却绝非如此，乘客的构成群体复杂多样，这就造成了整个排队系统也变得复杂多样。但是可以通过对现场的控制，使客流接近排队论中的客流规律。
（1）控制乘客进站速率
排队论模型是基于系统中的输入过程符合泊松分布的前提进行分析和研究的，这样的输入过程使整个排队系统更稳定，更高效。但在实际的运输组织工作中，不同车站进站客流量特点不尽相同，不可能完全符合柏松分布，如果无限制让乘客进站，非但不能快速的疏导客流进站，相反只会造成站厅客流的不断挤压，形成拥堵。站厅乘客挤压的越多，疏散速度越慢。因此，必须对进站客流进行现场控制，使输入过程接近柏松分布。首先，需要做好对进站客流的预测工作。要对以往客流进行分析和研究，重点关注客流高密度到达的时间段并做合理预测，以便在重点时间段到来之前做好人员及备品准备。其次，在现场做好出入口分流限流工作。安排专人，做好进站客流的疏导，使客流分散从不同的出入口进站，同时控制乘客进站速度，使进站客流有所缓冲，平稳均匀的进站。
（2）加强对站厅乘客的引导
临时售票点会受到站厅条件限制分散且不明显，由于地铁站站厅条件特殊，大部分车站站厅内会有不少立柱，而且一旦站厅客流爆满，乘客视线会被遮挡，无法很快找到临时售票点；而且大部分乘客并不知道在大客流情况下车站会开放人工售票窗口，因此在无人引导的情况下，大部分乘客不会自主选择服务率更好的人工售票窗口购票。这就需要我们的工作人员不断的引导乘客前往人工售票窗口购票，通过人工干预的方式迫使系统尽快达到稳态并长期保持稳态。此外，对于特殊乘客群体，如携带大体积行李的乘客、携老人小孩儿的乘客、大批团体乘客、残疾乘客等等，对此特殊乘客群体要给予特别引导，尽快将其妥善安排，避免因人、物堆积，阻碍通行，导致排队系统拥堵。
（3）提高系统服务率
以目前的服务窗口状态来看，人工售票窗口的服务率取决于售票员的业务水平，虽有好坏之分，但总体差别不大，售票速度一般比较平稳。但自动售票机的情况大不相同。首先，部分乘客可能是第一次使用自动售票机，往往不了解操作步骤，从而延长了购票时间。其次，目前各大城市在用的售票机一般有选择目的地购票和选择票价购票两种购票方法，选择票价购票非常便捷，只需选择相应票价及车票张数投币即可，而部分乘客因不了解选票价购票功能，或者不知道所乘坐里程的票价是多少，只能采用选择目的地购票的方法，必须先从线路图中找到目的地站才能购票，从而导致了服务时间大大延长。如果在每台售票机边安排1名志愿者，协助乘客采用快捷购票功能购票，会将服务率提高30%-40%。在节假日大客流期间，可以向各大高校招募学生志愿者协助服务，从而大大提高系统的服务率。
四、结语
排队模型的建立只是一种理想化的分析和计算，理论计算得出的结果与现实情况存在一定差别。这是因为在现实情况中，除了在计算中所用到的各项参数之外，还存在着大量的可变因素，如多人同行一人购票等情况，这些可变因素都会对排队系统造成不同程度的影响。但是排队论模型一般规律是不变的，只要利用好排队论模型的原理，找到影响排队系统的重要因素及重点环节，对其进行重点控制，就可以大大提高客流组织效率，优化客流组织方案。
随着轨道交通行业的不断发展，地铁客流也将不断攀升，客流组织方案不应该是一成不变的，必须从实际情况出发，随时分析和研究客流的变化情况。在排队论模型建立以后，只需及时更新相关数据，重新计算模型中的各项指标，即可快速调整运输组织方案，以满足运输组织的要求。
参考文献
[1] 盛友招．排队论在计算机通信中的应用[M].北京邮电大学出版社,1998.
[2] 唐应辉,唐小我．排队论--基础与分析技术[M].科学出版社,2006.
[3] 钱颂迪．运筹学[M]．清华大学出版社,2005.
本文以运筹学中的排队论原理为基础，首先以地铁车站售票工作为研究对象，建立了地铁站购票多窗口等待制排队模型，其次依据此模型计算出了开放人工售票窗口数量的最优解，最后对计算结果进行了研究和分析，为车站大客流运输组织方案的优化提供了有力的数据论证。
关键词：客流组织；排队论模型；M／M／C模型；客流组织优化
引言
随着城市的快速发展，地铁作为一种特殊的交通运输方式，以其运量大、速度快、能耗低、安全、准点、环境舒适等优势，成为很多市民首选的出行工具。地铁承载着城市交通运输中的重要任务，在一些大型商业圈、火车站、长途汽车站、大型体育场馆、展览馆附近的地铁站，经常会出现短时间瞬间大客流和持续大客流。乘客在购票的过程中的等待时间则会因乘客的增多而变长，大量乘客长时间排队不但影响乘客的出行质量，而且会导致站厅人员聚集、拥挤，进而发生通道被排队人流及伴行等候人员堵塞，人员流动速度明显下降，甚至阻滞不前，极易引发事故。因此尽快疏导购票客流往往成为大客流组织工作的重中之重。
在运能满足条件的前提下，通常大客流组织的过程中，车站为了加快客流的疏散速度，节省乘客购票的排队时间，通常会开放人工售票窗口方便乘客购票。
由于受到人员、设备、场地的限制，人工售票窗口不可能无限制的开放。如何合理的确定开放人工售票窗口的数量，从而达到既能保证客流顺利疏导，又能最大程度节省人力的效果，成为大客流组织工作优化的重点问题。这就需要对乘客排队购票情况建立数学模型进行分析研究。
一、排队系统的组成
任何一个排队问题的基本排队过程都可以用图1-1表示。从图1-1可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。通常，排队系统都有输入过程、服务台、服务时间、服务规则等3个组成部分。
图1-1 排队过程示意图
1、输入过程
这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流，一般可以从3个方面来描述-个输入过程。
(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无限的。例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的，而某个工厂因故障待修的机床数则是有限的。
(2)顾客到达方式。这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还是成批到达。病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔的分布。这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K个顾客(K=1、2、 )的概率是多大。顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2、服务台
服务台可以从以下3方面来描述：
(1)服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看，服务台有：
①单队——单服务台式；（开放一个服务窗口，一列等候服务的队伍。实例：公交汽车排队刷卡服务。）
②单队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，不同服务窗口同时开展同类或类似业务，一列等候服务的队伍，按既定顺序随机到各窗口实施有关业务。实例：银行取号排队等候服务。）
③多队——多服务台并联式；（开放多个服务窗口，同时开展同类或类似业务，多列等候服务的队伍，按各窗口排定序列实施有关业务。实例：食堂窗口排队领餐服务。）
④单队——多服务台串联式；（开放多个服务窗口，顺序开展不同类业务。实例：政务超市办理跨部门审批有关业务。）
⑤单队——多服务台并串联混合式,以及多队--多服务台并串联混合式等等。
(2)服务方式。取决于在某一特定时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属于成批服务。
(3)服务时间的分布。一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等。
3、服务时间
服务时间是指顾客接收服务的时间规律。顾客接受服务的时间规律往往也通过概率分布描述。一般来说,简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布,即每位顾客接受服务的时间是独立同分布的,其分布函数为B(t)=1-e-mt(t≥0),其中m＞0为一常数,代表单位时间的平均服务率,而1/m则是平均服务时间。
4、服务规则。这是指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
(2)等待制。这是指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有如下四种规则： ①先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务，这是最普遍的情形。
②后到先服务。仓库中叠放的钢材，后叠放上去的都先被领走，就属于这种情况。
③随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就是一例。
④优先权服务。如老人、儿童先进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等，均属于此种服务规则。
二、排队系统的主要指标
研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：
1、队长和排队长（队列长）
队长是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)，其期望值记为Ls。
排队长是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数，其期望值记为Lq。若正在接受服务的顾客数记为Ln，它们之间的关系为：
Ls=Ln+Lq
式2-1 队长关系式
队长和排队长一般都是随机变量。希望能确定它们的分布，或至少能确定它们的平均值(即平均队长和平均排队长)及有关的矩(如方差等)。队长的分布是顾客和服务员都关心的，特别是对系统设计人员来说，如果能知道队长的分布，就能确定队长超过某个数的概率，从而确定合理的等待空间。
2、等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止，这段时间称为等待时间，其期望值记为Wq，是随机变量，也是顾客最关心的指标，因为顾客通常希望等待时间越短越好。从顾客到达时刻起到他接受服务完成止，这段时间称为逗留时间，其期望值记为Ws，也是随机变量，同样为顾客非常关心。另外，把平均服务时间记为τ，则三者之间的关系表现为：
Ws=Wq+τ
式2-2 逗留时间关系式
对这两个指标的研究当然是希望能确定它们的分布，或至少能知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间。
3、忙期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。
三、乘客购票排队模型的建立及性能分析
1、模型选取
以A市C站为例，C站现设有自动售票机（TVM）共16台，出站闸机6台，双向闸机6台，边门3个，应急售票窗口3个、充值窗口1个、补票窗口1个。以目前车站的AFC设备状态及A市市民对AFC设备的使用熟悉程度来看，市民使用TVM购票的速度为2张/分钟，而在人工售票窗口购票的速度为12张/分钟。
C站目前为止最大的单日客流量出现在2010年5月1日，当日C站共进站81587人次，当日最大断面客流量为每小时进站6800人次，其中25%的乘客持IC卡乘车，75%的乘客需要购票。在如此大的客流组织过程中，以最少的人力，保证所有设备及窗口的平均排队人数少于5人，是建立排队系统模型所解决的问题，以此来优化C站的客流组织工作。
2、模型建立
一个实际问题作为排队问题求解时,首先要研究它属于哪个模型。这就需要分析乘客排队购票的情况。由于一个城市或其他城市的所有人都被认为是C站的可能“乘客”, 这样大的数目可以认为乘客的总体是无限的。因此可以假定地铁站系统的容量一般是无限的。C站到达的情况是随机的,服务时间也是随机的, 且乘客到达间隔时间和服务时间(购票时间)是相互独立的。这样以来,考虑数学模型M/M/C模型。M/M/C模型:即指乘客到达服从泊松分布,服务时间服从负指数分布,单服务台的情形。标准的M/M/C模型是指适合下列条件的排队系统。
(1)输入过程——乘客源是无限的,单个到来且相互独立, 一定时间的到达数服从泊松分布,到达过程已是平稳的(到达间隔时间及期望值、方差均不受时间影响)。
(2)服务台——多服务台,各乘客的排队购票时间是相互独立的, 服从相同的负指数分布。
(3)服务时间——排队系统的服务时间服从负指数分布,乘客到达间隔时间和排队购票时间是相互独立的。
(4)服务规则——等待制，且对队长设有限制,先到先服务。
在M/M/C模型中，系统处于稳态时，稳态概率的关系表现为：
3、性能分析
以目前C站最大断面客流量来计算，平均到达率λ=6800*0.75/60=85人/分钟。
（1）以开放5个人工售票窗口计算，窗口数C=21个，
平均服务率μ=（16*2+12*5）/21=4.38人/分钟，
系统负荷强度系数ρ=λ/Cμ=85/（21*4.38）=0.92。
代入公式计算可得:
所有窗口都空闲的概率:P0=2.50×10-9
队列长： Lq=7.13
队长： Ls=Ln+Lq=Lq+ρ=7.13+0.92=8.05
在开放5个窗口的情况下,这样的排队系统其主要的数量指标为: 乘客平均排队的队列长是7.13，总队长8.05，尚且无法满足客流组织的要求。
（2）以开放6个人工售票窗口计算，窗口数C=22个，
平均服务率μ=（16*2+12*6）/22=4.72人/分钟，
系统负荷强度系数ρ=λ/Cμ=85/（22*4.72）=0.82。
代入公式计算可得:
所有窗口都空闲的概率:P0=1.32×10-8
队列长： Lq=1.29
队长： Ls=Ln+Lq=Lq+ρ=1.29+0.82=2.11
在开放6个窗口的情况下，这样的排队系统其主要的数量指标为: 乘客平均排队的队列长是1.29，总队长为2.11，已经可以满足客流组织的要求。而且在计算中不难看出，在开放6个窗口的基础上，队列长Lq已经接近1，每增加一个人工售票窗口，对队列长的影响并不明显，对客流疏导的意义也不大。开放6个窗口，既能符合目前C站大客流的运输需要，又不会造成人员的浪费，是现有客流状况下的最优解。 4、排队系统的过程控制
排队论的计算是基于一种理想化的假定，假定所有乘客会按照一定的规律到达，假定所有乘客了解整个服务流程，假定乘客会自主的选择服务窗口。现实情况却绝非如此，乘客的构成群体复杂多样，这就造成了整个排队系统也变得复杂多样。但是可以通过对现场的控制，使客流接近排队论中的客流规律。
（1）控制乘客进站速率
排队论模型是基于系统中的输入过程符合泊松分布的前提进行分析和研究的，这样的输入过程使整个排队系统更稳定，更高效。但在实际的运输组织工作中，不同车站进站客流量特点不尽相同，不可能完全符合柏松分布，如果无限制让乘客进站，非但不能快速的疏导客流进站，相反只会造成站厅客流的不断挤压，形成拥堵。站厅乘客挤压的越多，疏散速度越慢。因此，必须对进站客流进行现场控制，使输入过程接近柏松分布。首先，需要做好对进站客流的预测工作。要对以往客流进行分析和研究，重点关注客流高密度到达的时间段并做合理预测，以便在重点时间段到来之前做好人员及备品准备。其次，在现场做好出入口分流限流工作。安排专人，做好进站客流的疏导，使客流分散从不同的出入口进站，同时控制乘客进站速度，使进站客流有所缓冲，平稳均匀的进站。
（2）加强对站厅乘客的引导
临时售票点会受到站厅条件限制分散且不明显，由于地铁站站厅条件特殊，大部分车站站厅内会有不少立柱，而且一旦站厅客流爆满，乘客视线会被遮挡，无法很快找到临时售票点；而且大部分乘客并不知道在大客流情况下车站会开放人工售票窗口，因此在无人引导的情况下，大部分乘客不会自主选择服务率更好的人工售票窗口购票。这就需要我们的工作人员不断的引导乘客前往人工售票窗口购票，通过人工干预的方式迫使系统尽快达到稳态并长期保持稳态。此外，对于特殊乘客群体，如携带大体积行李的乘客、携老人小孩儿的乘客、大批团体乘客、残疾乘客等等，对此特殊乘客群体要给予特别引导，尽快将其妥善安排，避免因人、物堆积，阻碍通行，导致排队系统拥堵。
（3）提高系统服务率
以目前的服务窗口状态来看，人工售票窗口的服务率取决于售票员的业务水平，虽有好坏之分，但总体差别不大，售票速度一般比较平稳。但自动售票机的情况大不相同。首先，部分乘客可能是第一次使用自动售票机，往往不了解操作步骤，从而延长了购票时间。其次，目前各大城市在用的售票机一般有选择目的地购票和选择票价购票两种购票方法，选择票价购票非常便捷，只需选择相应票价及车票张数投币即可，而部分乘客因不了解选票价购票功能，或者不知道所乘坐里程的票价是多少，只能采用选择目的地购票的方法，必须先从线路图中找到目的地站才能购票，从而导致了服务时间大大延长。如果在每台售票机边安排1名志愿者，协助乘客采用快捷购票功能购票，会将服务率提高30%-40%。在节假日大客流期间，可以向各大高校招募学生志愿者协助服务，从而大大提高系统的服务率。
四、结语
排队模型的建立只是一种理想化的分析和计算，理论计算得出的结果与现实情况存在一定差别。这是因为在现实情况中，除了在计算中所用到的各项参数之外，还存在着大量的可变因素，如多人同行一人购票等情况，这些可变因素都会对排队系统造成不同程度的影响。但是排队论模型一般规律是不变的，只要利用好排队论模型的原理，找到影响排队系统的重要因素及重点环节，对其进行重点控制，就可以大大提高客流组织效率，优化客流组织方案。
随着轨道交通行业的不断发展，地铁客流也将不断攀升，客流组织方案不应该是一成不变的，必须从实际情况出发，随时分析和研究客流的变化情况。在排队论模型建立以后，只需及时更新相关数据，重新计算模型中的各项指标，即可快速调整运输组织方案，以满足运输组织的要求。
参考文献
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