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数学活动在现代数学课程改革中占有非常重要的地位，《义务教育数学课程标准（2011）》中指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。本文通过对小学数学——“分数的意义”的教学设计研究，学生借助折纸拼图活动，亲自经历动手操作和知识的形成过程，积累数学活动经验。
一、问题的提出
积累数学活动经验已经是我国现代义务教育中的一个重要目标，在《义务教育数学课程标准（2011）》的课程基本理念中提出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习关系，引导学生独立思考，主动探索，合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”如何帮助学生积累数学活动经验，感悟数学思想，一直是数学教育工作者在思考的问题，不同的教育研究者对数学活动经验有不同的理解和认识，如张奠宙提出数学活动经验有这样的特征：“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。比如作为数学活动的折纸，其目的是学习数学。”可见，将折纸应用到数学教学活动是学生积累数学活动经验的重要途径。
“分数的意义”是整个小学数学知识的重难点之一，学生普遍对“部分与整体”的理解有困难，在这部分的教学设计中，教师常常借助具体实物来帮助学生理解，但这会弱化弗赖登塔尔提出的数学化思想，而通过几何折纸操作却能解决这个问题，学生既能亲自动手操作，使学习不显得枯燥乏味，又不影响数学本身，能更深入理解“分数的意义”，在实践操作、体验思考的过程中积淀数学活动经验。
二、教学设计
1.教材分析
（1）功能分析：“分数的意义”是人教版义务教育课程标准实验教科书五年级下册第四单元“分数的意义和性质”的第一课时，也是整个小学数学知识的重点和难点，是对数系扩充的重要环节，有助于学生理解现实生活中数的意义，初步建立数感。
（2）呈现方式分析：用正方形纸进行[14]不同形状的多边形分解，帮助学生认识
和理解分数的意义和单位“1”的意义。
2.学情分析
学生在三年级上学期的学习中通过操作对分数已经有了一个初步的认识，对折纸操作有
一定的经验，会对正方形纸进行相同形状的[12]和[14]分解，但对分数的认识还不够深入。
3.教学目标分析
（1）知识与技能：了解分数的产生；理解分数的意义和单位“1”的意义；
（2）数学思考：在分数的折纸操作中，初步形成对分数的感悟；
（3）问题解决：通过一张正方形纸分解成不同形状的多边形来帮助理解分数的意义；
（4）情感态度：通过折纸活动，增强对数学学习的兴趣和主动参与数学活动的主动性
4.教学重、难点分析
（1）重点分析：分数的意义和单位“1”的意义
（2）难点分析：正方形纸的[14]分解；单位“1”的意义
5.教学方法：活动教学方法
6.教学过程设计
（1）折一折，拼一拼——理解[14]的含义
教师活动：请同学们拿出课前准备好的正方形纸，对正方形纸进行分解和说明（示范）（如图1——图4）。
学生活动：折叠操作，观察思考，理解[14]的含义。
设计意图：教师用语言叙述折叠方法，并通过具体的示范操作，培养学生的观察能力和折纸操作能力，对正方形纸进行不同形状的[14]分解，使学生真正理解[14]的含义。
事实上，在三年级时，学生已经接触过分数，对分数也有了简单的认识，学生很容易想到对正方形进行图1——图4式的[14]分解，也能理解其中[14]的含义：把正方形平均分成4份，即分解成4份相同形状的图形，则其中的一份就是整个正方形的[14]。
教师活动：请同学们拿出图形板组拼下列图形：用四个不同颜色的等腰直角三角板拼一个正方形（如图5）、用四个不同颜色的正方形板组拼一个正方形（如图6）、用四个不同颜色的含300的直角三角板拼一个长方形（如图7），并写出所拼的每个图形中，其中某种颜色的图形板占正方形的几分之几。
学生活动：拿出已准备好的图形板按老师要求进行拼图操作，并按要求写下分数，写完后与同桌相互分享，并读一读所写分数。
设计意图：教师只是给出图片展示，学生自己组拼，利用图形组拼，提高学生的学习兴趣，并进一步理解分数的意义：“一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。”因为在对正方形纸进行折叠操作时，可以把正方形纸（一个物体）看作一个整体，把这个整体（正方形纸）平均分成4份，而对图形板进行组拼操作时，可以把4个图形板（一些物体）拼成一个长方形看作一个整体，把这个整体平均分成4份，这样的一份可以用分数表示：[14]。
（2）想一想，拼一拼——理解单位“1”的意义
教师活动：展示出用6个含300的直角三角板拼平行四边形、长方形和六边形的阴影图，让学生进行组拼，并告诉学生：一个整体可以用自然数1来表示，把它叫作“单位1”.
学生活动：按照老师要求拿出图形板进行组拼，体会折纸拼图的乐趣，用相同的图形板拼出不同图形，从中理解单位“1”的意义。
设计意图：学生在理解可以把一些物体看作一个整体后，进一步认识分数：把6个含300的直角三角板拼出的长方形看作一个整体，同样的可以把平行四边形看作一个整体，把六边形看作一个整体，虽然它们的形状不同，却都可以把它们用自然数1来表示，让学生理解单位“1”。通过相同个数、相同形状的图形板组拼出不同的几何图形，既是对具体实物的操作，却不失弗赖登塔尔的数学化的思想，而且这也让学生能较容易理解单位“1”这个难点。
（3）做一做——几分之几
教师活动：把学生所拼的图形进行划分，以平行四边形为例，把平行四边形平均分成2份，分成了两个梯形，如图11，让学生用分数表示其中的一份梯形；把平行四边形平均分成3份，分成了三个小的平行四边形，如图12，让学生用分数表示其中的两份小平行四边形，并说明分数单位。
学生活动：按老师要求表示出分数并从中理解分数单位。
设计意图：通过对图形的分解，并用分数表示其中的部分图形，可以让学生进一步理解“部分与整体”的关系，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位，让学生加深对分数和单位“1”的理解。
（4）小结
本节课通过折纸拼图来理解“分数的意义”，纸片除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。在折纸操作过程中，学生既能提高学习的兴趣，又能清晰地理解分数的意义，应用自己已有的数学活动经验进行折纸拼图活动，完成教师布置的教学任务，通过教师的指导，经历“折一折，拼一拼”“想一想，拼一拼”“做一做”的学习活动，借助折纸拼图的直观操作从操作经验内化为数学活动经验。
三、教学建议
1.本节课需要学生准备多种几何图形板，几何图形板的折叠方法不是本节课的重点，教师应该在课前教学生学会等腰直角三角形板、含30度的直角三角形板和正方形板等三种几何图形板的折叠。
2.学生在学习过程中不应该是被动地接受知识，应该通过已有的数学经验，经历数学的发生发展过程，主动去探索，通过折纸操作和拼图操作，主动积累和丰富数学活动经验，自主获取知识，做到学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
3.尽管积累数学活动经验是数学教学的重要目标，但在教学实施过程中，应避免数学活动的形式化，不能为了活动而活动，数学活动的设计应基于本节课的教学目标和学生的数学学习认知规律，综合考虑数学学科的特殊性——符合数学知识的逻辑关系。
【作者单位：西南大学数学与统计学院 重庆】
一、问题的提出
积累数学活动经验已经是我国现代义务教育中的一个重要目标，在《义务教育数学课程标准（2011）》的课程基本理念中提出：“教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习关系，引导学生独立思考，主动探索，合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”如何帮助学生积累数学活动经验，感悟数学思想，一直是数学教育工作者在思考的问题，不同的教育研究者对数学活动经验有不同的理解和认识，如张奠宙提出数学活动经验有这样的特征：“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。比如作为数学活动的折纸，其目的是学习数学。”可见，将折纸应用到数学教学活动是学生积累数学活动经验的重要途径。
“分数的意义”是整个小学数学知识的重难点之一，学生普遍对“部分与整体”的理解有困难，在这部分的教学设计中，教师常常借助具体实物来帮助学生理解，但这会弱化弗赖登塔尔提出的数学化思想，而通过几何折纸操作却能解决这个问题，学生既能亲自动手操作，使学习不显得枯燥乏味，又不影响数学本身，能更深入理解“分数的意义”，在实践操作、体验思考的过程中积淀数学活动经验。
二、教学设计
1.教材分析
（1）功能分析：“分数的意义”是人教版义务教育课程标准实验教科书五年级下册第四单元“分数的意义和性质”的第一课时，也是整个小学数学知识的重点和难点，是对数系扩充的重要环节，有助于学生理解现实生活中数的意义，初步建立数感。
（2）呈现方式分析：用正方形纸进行[14]不同形状的多边形分解，帮助学生认识
和理解分数的意义和单位“1”的意义。
2.学情分析
学生在三年级上学期的学习中通过操作对分数已经有了一个初步的认识，对折纸操作有
一定的经验，会对正方形纸进行相同形状的[12]和[14]分解，但对分数的认识还不够深入。
3.教学目标分析
（1）知识与技能：了解分数的产生；理解分数的意义和单位“1”的意义；
（2）数学思考：在分数的折纸操作中，初步形成对分数的感悟；
（3）问题解决：通过一张正方形纸分解成不同形状的多边形来帮助理解分数的意义；
（4）情感态度：通过折纸活动，增强对数学学习的兴趣和主动参与数学活动的主动性
4.教学重、难点分析
（1）重点分析：分数的意义和单位“1”的意义
（2）难点分析：正方形纸的[14]分解；单位“1”的意义
5.教学方法：活动教学方法
6.教学过程设计
（1）折一折，拼一拼——理解[14]的含义
教师活动：请同学们拿出课前准备好的正方形纸，对正方形纸进行分解和说明（示范）（如图1——图4）。
学生活动：折叠操作，观察思考，理解[14]的含义。
设计意图：教师用语言叙述折叠方法，并通过具体的示范操作，培养学生的观察能力和折纸操作能力，对正方形纸进行不同形状的[14]分解，使学生真正理解[14]的含义。
事实上，在三年级时，学生已经接触过分数，对分数也有了简单的认识，学生很容易想到对正方形进行图1——图4式的[14]分解，也能理解其中[14]的含义：把正方形平均分成4份，即分解成4份相同形状的图形，则其中的一份就是整个正方形的[14]。
教师活动：请同学们拿出图形板组拼下列图形：用四个不同颜色的等腰直角三角板拼一个正方形（如图5）、用四个不同颜色的正方形板组拼一个正方形（如图6）、用四个不同颜色的含300的直角三角板拼一个长方形（如图7），并写出所拼的每个图形中，其中某种颜色的图形板占正方形的几分之几。
学生活动：拿出已准备好的图形板按老师要求进行拼图操作，并按要求写下分数，写完后与同桌相互分享，并读一读所写分数。
设计意图：教师只是给出图片展示，学生自己组拼，利用图形组拼，提高学生的学习兴趣，并进一步理解分数的意义：“一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。”因为在对正方形纸进行折叠操作时，可以把正方形纸（一个物体）看作一个整体，把这个整体（正方形纸）平均分成4份，而对图形板进行组拼操作时，可以把4个图形板（一些物体）拼成一个长方形看作一个整体，把这个整体平均分成4份，这样的一份可以用分数表示：[14]。
（2）想一想，拼一拼——理解单位“1”的意义
教师活动：展示出用6个含300的直角三角板拼平行四边形、长方形和六边形的阴影图，让学生进行组拼，并告诉学生：一个整体可以用自然数1来表示，把它叫作“单位1”.
学生活动：按照老师要求拿出图形板进行组拼，体会折纸拼图的乐趣，用相同的图形板拼出不同图形，从中理解单位“1”的意义。
设计意图：学生在理解可以把一些物体看作一个整体后，进一步认识分数：把6个含300的直角三角板拼出的长方形看作一个整体，同样的可以把平行四边形看作一个整体，把六边形看作一个整体，虽然它们的形状不同，却都可以把它们用自然数1来表示，让学生理解单位“1”。通过相同个数、相同形状的图形板组拼出不同的几何图形，既是对具体实物的操作，却不失弗赖登塔尔的数学化的思想，而且这也让学生能较容易理解单位“1”这个难点。
（3）做一做——几分之几
教师活动：把学生所拼的图形进行划分，以平行四边形为例，把平行四边形平均分成2份，分成了两个梯形，如图11，让学生用分数表示其中的一份梯形；把平行四边形平均分成3份，分成了三个小的平行四边形，如图12，让学生用分数表示其中的两份小平行四边形，并说明分数单位。
学生活动：按老师要求表示出分数并从中理解分数单位。
设计意图：通过对图形的分解，并用分数表示其中的部分图形，可以让学生进一步理解“部分与整体”的关系，把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位，让学生加深对分数和单位“1”的理解。
（4）小结
本节课通过折纸拼图来理解“分数的意义”，纸片除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。在折纸操作过程中，学生既能提高学习的兴趣，又能清晰地理解分数的意义，应用自己已有的数学活动经验进行折纸拼图活动，完成教师布置的教学任务，通过教师的指导，经历“折一折，拼一拼”“想一想，拼一拼”“做一做”的学习活动，借助折纸拼图的直观操作从操作经验内化为数学活动经验。
三、教学建议
1.本节课需要学生准备多种几何图形板，几何图形板的折叠方法不是本节课的重点，教师应该在课前教学生学会等腰直角三角形板、含30度的直角三角形板和正方形板等三种几何图形板的折叠。
2.学生在学习过程中不应该是被动地接受知识，应该通过已有的数学经验，经历数学的发生发展过程，主动去探索，通过折纸操作和拼图操作，主动积累和丰富数学活动经验，自主获取知识，做到学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
3.尽管积累数学活动经验是数学教学的重要目标，但在教学实施过程中，应避免数学活动的形式化，不能为了活动而活动，数学活动的设计应基于本节课的教学目标和学生的数学学习认知规律，综合考虑数学学科的特殊性——符合数学知识的逻辑关系。
【作者单位：西南大学数学与统计学院 重庆】